專題訓練：25.2.2頻率與概率【知識點1用頻率估計概率】在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預測，表面上瞧似無規(guī)律可循，但當我們做大量重復試驗時，這個事件發(fā)生得頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發(fā)生得頻率作為這個事件得概率得估計值。一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生得頻率穩(wěn)定于某一個常數(shù)P，那么事件A發(fā)生得頻率P（A）=p。【題型1用頻率估計概率】【例1】（2021?河北一模）育種小組對某品種小麥發(fā)芽情況進行測試，在測試基本情況相同的條件下，得到如下數(shù)據(jù)：抽查小麥粒數(shù)1005001000200030004000發(fā)芽粒數(shù)9548696819402907a則a的值最有可能是（）A．3680 B．3720 C．3880 D．3960【分析】根據(jù)5次測試從100粒增加到3000粒時，測試某品種小麥發(fā)芽情況的頻率趨近于0.97，從而求得答案．【解答】解：∵95÷100＝0.95，486÷500＝0.972，968÷1000＝0.968，1940÷2000＝0.97，2907÷3000＝0.969，∴可估計某品種小麥發(fā)芽情況的概率為0.97，而3680÷4000＝0.92，3720÷4000＝0.93，3880÷4000＝0.97，3960÷4000＝0.99．故選：C．【變式1-1】（2021春?樂平市期末）黃豆在相同條件下發(fā)芽率試驗，結(jié)果如表．下面3個推斷：①當n＝100時，黃豆發(fā)芽的頻率是0.970，所以黃豆發(fā)芽概率為0.970；②根據(jù)表格數(shù)據(jù)，估計黃豆發(fā)芽的概率為0.95；③若n＝6000時，估計黃豆發(fā)芽的粒數(shù)約為5700．其中正確的個數(shù)為（）每批粒數(shù)n3060100500100030005000發(fā)芽的粒數(shù)m28589747995728444752發(fā)芽的頻率m0.9330.9670.9700.9580.9570.9480.950A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)表中信息，當每批粒數(shù)足夠大時，頻率逐漸接近于0.95，由于試驗次數(shù)較多，可以用頻率估計概率．【解答】解：①當n＝100時，黃豆發(fā)芽的頻率是0.970，所以黃豆發(fā)芽概率為0.970；此推斷錯誤；②根據(jù)表格數(shù)據(jù)，估計黃豆發(fā)芽的概率為0.95；此推斷正確；③若n＝6000時，估計黃豆發(fā)芽的粒數(shù)約為6000×0.95＝5700．此結(jié)論正確．故選：C．【變式1-2】（2021春?儀征市期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個，某學習小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑球的次數(shù)m65118189310482602摸到黑球的頻率m0.650.590.630.620.6030.602（1）請估計：當n很大時，摸到黑球的頻率將會接近0.6（精確到0.1）；（2）試估計袋子中有黑球30個；（3）若學習小組通過實驗結(jié)果，想使得在這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以在袋子中增加相同的白球10個或減少黑球10個．【分析】（1）觀察摸到黑球的頻率后觀察表格即可得到；（2）大量重復實驗中事件的頻率可以估計概率，然后用球的總數(shù)乘以黑球的概率即可求得黑球的個數(shù)；（3）使得黑球和白球的數(shù)量相等即可．【解答】解：（1）觀察表格得：當n很大時，摸到黑球的頻率將會接近0.6，故答案為：0.6；（2）黑球的個數(shù)為50×0.6＝30個，故答案為：30；（3）想使得在這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以使得黑球和白球的個數(shù)相同，即：在袋子中增加相同的白球10個或減少黑球10個，故答案為：10，10．【變式1-3】一個不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球共50只，這些球除顏色外都相同．小明從袋子中隨機摸一個球，記下顏色后放回，不斷重復，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息解決下列問題：（1）摸到黑球的頻率會接近0.4（精確到0.1），估計摸一次球能摸到黑球的概率是0.4；袋中黑球的個數(shù)約為20只；（2）若小明又將一些相同的黑球放進了這個不透明的袋子里，然后再次進行摸球試驗，當重復大量試驗后，發(fā)現(xiàn)黑球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則小明后來放進了多少個黑球？（寫過程）【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖找到摸到黑球的頻率穩(wěn)定到的常數(shù)即為本題的答案；大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率等于事件發(fā)生的概率；（2）設向袋子中放入了黑個紅球，根據(jù)摸到黑球最終穩(wěn)定的頻率即為概率的估計值，列出方程求解可得．【解答】解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)：隨著實驗次數(shù)的增加頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.4附近，故摸到黑球的頻率會接近0.4，∵摸到黑球的頻率會接近0.4，∴估計袋中黑球的個數(shù)為50×0.4＝20只，故答案為：0.4，0.4，20；（2）設放入黑球x個，根據(jù)題意得：20+x50+x=解得x＝25，經(jīng)檢驗：x＝25是原方程的根，故答案為：25；【題型2幾何概率】【例2】（2021?廣饒縣二模）小明隨機地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影）區(qū)域的概率為（）A．12 B．312π C．33【分析】求扎到陰影區(qū)域（不包括邊界）的概率就是正三角形面積與圓的面積的比．【解答】解：設扎到陰影區(qū)域的正三角形的概率為P，圓的半徑為R，過O作OD⊥BC與D，連接OB，OC，∵△ABC是正三角形，∴∠BOC=360°3∵OB＝OC，∴∠BOD=12×120°∴∠OBD＝30°，∵OB＝R，∴OD=R2，BD=∴BC＝2BD=3R∴S△BOC=12BC?OD∴S△ABC＝3S△BOC=3∵S圓＝πR2，∴P=3故選：C．【變式2-1】（2021?隨州）如圖，從一個大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個小正方形，若隨機向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A．49 B．59 C．25 【分析】由兩個小正方形面積可推出最大正方形的邊長及面積，從而可求陰影部分的面積，根據(jù)米粒落在圖中陰影部分的概率為陰影部分與大正方形面積比即可得到答案．【解答】解：由圖可知大正方形中的兩個小正方形邊長分別為23cm、3cm．∴大正方形的邊長為23+3=3則大正方形的面積為(33)陰影部分的面積為27﹣12﹣3＝12（cm2）．則米粒落在圖中陰影部分的概率為1227故選：A．【變式2-2】（2021?陽東區(qū)模擬）如圖是由四個直角邊長分別為2和4的全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”飛鏢板，小明站在投鏢線上向飛鏢板投擲飛鏢（假設投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則針扎在陰影部分的概率是15【分析】根據(jù)幾何概率的求法，針頭扎在陰影部分的概率為陰影部分與正方形的面積比，根據(jù)題意，可得陰影部分正方形的面積與大正方形的面積，進而可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，“趙爽弦圖”中，四個全等的直角三角形的直角邊長分別為2和4，則陰影部分的正方形的邊長為4﹣2＝2，即面積為4．由勾股定理，可得大正方形的邊長為22+4故針扎在陰影部分的概率為420故答案為：15【變式2-3】（2021?深圳模擬）如圖，⊙O與正方形ABCD各邊相切，若隨機向正方形內(nèi)投一粒米（將米?？闯梢粋€點）