專題02等腰三角形（解析版）目錄A題型建模?專項突破題型一、等腰三角形的性質(zhì) 1題型二、等邊三角形的性質(zhì) 2題型三、角平分線的性質(zhì) 3題型四、線段垂直平分線的性質(zhì) 5題型五、等腰三角形的額判定 6題型六、等邊三角形的判定 8題型七、角平分線的判定 9題型八、線段垂直平分線的判定 11題型九、尺規(guī)作圖 13題型十、無刻度尺作圖 15題型十一、等腰（邊）三角形的手拉手 16題型十二、角平分線與垂直平分線的結(jié)合求解 18題型十三、等腰三角形的動點求t 19題型十四、等腰三角形的新定義21B綜合攻堅?能力躍升題型一、等腰三角形的性質(zhì)1．等腰三角形的一個底角為，則其頂角為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形兩底角相等，三角和為180度，即可求解．【詳解】解：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個底角為，則另一個底角也為．頂角的度數(shù)為：，故選C．2．已知等腰三角形周長等于19，其中一邊長7，那么該等腰三角形的底邊等于．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；由于長為7的邊可能為腰，也可能為底邊，故應(yīng)分兩種情況討論求出底邊長即可．【詳解】解：當(dāng)腰為7時，另一腰也為7，則底為，∵，符合題意，當(dāng)?shù)诪?時，腰為，符合題意，∴該三角形的底邊長為或．故答案為：或．3．如圖，在中，，，平分，交于點，過點作，交于點．(1)求的度數(shù)．(2)若與的周長分別為和，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由三角形內(nèi)角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，（2）證明是等邊三角形，則，由三角形周長得到，則，即可得到．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∴，（2）∵∴，∴，∴是等邊三角形，∴∵與的周長分別為和，∴，∴，∴．題型二、等邊三角形的性質(zhì)1．如圖，把等邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、交于點，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形與等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)可得，都是等腰直角三角形，得到，又是等邊三角形，得到，從而根據(jù)角的和差求出，，由三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∵是由等邊旋轉(zhuǎn)得到，∴是等邊三角形，∴，∴，，∴．故選：C2．如圖，在等邊三角形中，，，交于點F，則．【答案】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，再根據(jù)即可得到答案．【詳解】解：在等邊三角形中，，在和中，，，，，故答案為：．3．如圖1，為等邊內(nèi)一點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，的延長線與交于點，與交于點．(1)求證：；(2)________度；(3)如圖2，連接，平分嗎？請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)平分．理由見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明即可得出結(jié)論；（2）過點作，，垂足分別為，，利用（1）中證得的全等得到；（3）利用面積相等求得，可證得，從而得到，則平分．【詳解】（1）證明：線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，為等邊三角形，，，，在和中，，，；（2）解：，，，，故答案為：；（3）解：平分．理由如下，如圖，過點作，，垂足分別為，，

，，，，在和中，，，，平分．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．題型三、角平分線的性質(zhì)1．如圖，是的角平分線，于點E，，，，則長是（

）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【答案】D【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，過D作于F，由角平分線的性質(zhì)定理即可求出，再計算出，最后根據(jù)，即可求出的值．【詳解】解：過D作于F，∵是的角平分線，，∴，∵，∵的面積為7，∴即，解得：，故選：D．2．如圖，是的角平分線，若，，則點到的距離是．【答案】2【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，∴的長為點到的距離，∵是的角平分線，∴點到的距離等于點到的距離，即為的長，∵，∴點到的距離等于2；故答案為：2．3．如圖，為斜邊上的高，的平分線分別交，于點E、F，，垂足為點G．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)詳見解析(2)54【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形面積，熟練掌握它們的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，,再證，由對頂角相等可知，故可得出，那么，由此可得出結(jié)論；（2）先證，再根據(jù)即可解答；【詳解】（1）證明：∵是的平分線，，，∴，,,,∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴．題型四、線段垂直平分線的性質(zhì)1．如圖，在中，分別以，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，與交于點，與交于點，連接．若的周長為10，，則的周長為（

）A．17 B．19 C．20 D．21【答案】B【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，由作圖方法可知，是的垂直平分線，，則，根據(jù)三角形周長計算公式可推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由作圖知：是的垂直平分線，∴，∵的周長為10，∴，∴，又，∴的周長為，故選：B．2．如圖，在△中，的垂直平分線分別與、交于點、，的垂直平分線分別與、交于點，，若，則的周長是．【答案】18【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，熟記線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形周長公式計算，得到答案．【詳解】解：是的垂直平分線，，是的垂直平分線，，的周長，故答案為：18．3．如圖，在中，垂直平分，連接，，延長交的延長線于點F，，過點D作于點E，．(1)請判定與是否相等？為什么？(2)與互補(bǔ)嗎？請說明理由．【答案】(1)，見解析(2)與互補(bǔ)，見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵。（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再證明，則可證明．（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由平角的定義可得，則，即與互補(bǔ)．【詳解】（1）解：，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：與互補(bǔ)，理由如下：∵，∴，∴，∴，即與互補(bǔ)．題型五、等腰三角形的額判定1．如圖，在四邊形中，F(xiàn)是的延長線上一點，連接交于點E，，點G在邊上，連接，平分．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】本題考查的是等腰三角形的判定，先證明，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：平分，，，，，是等腰三角形．2．如圖，，的平分線交于點．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】此題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)角平分線定義求出，則，根據(jù)“等角對等邊”即可得證．【詳解】證明：，，平分，，，，是等腰三角形．3．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)判斷并說明的形狀；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)為等腰三角形，見解析(2)的度數(shù)為．【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可推出結(jié)論；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴的形狀為等腰三角形；（2）解：∵將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，∴．．∴，∴的度數(shù)為．題型六、等邊三角形的判定1．如圖，已知點A、F、E、B在同一條直線上，與交于點M，，，，若，求證：是等邊三角形．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定．先證明，得到，進(jìn)而有，進(jìn)而由即可得證．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．2．如圖，在中，，是上的一點，過點作的垂線交于點，連接，交于點．(1)求證：平分；(2)若，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)是等邊三角形，見解析【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．（1）證明，得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．（2）根據(jù)，得出，結(jié)合，得出，結(jié)合，即可證明．【詳解】（1）證明：，，，，，，，平分，即平分．（2）解：是等邊三角形，理由：，，，，，，，3．如圖，在中，，在邊上取點，連接，使．以為一邊作等邊，且使點與點位于直線的同側(cè)，．(1)求的度數(shù)；(2)點在上，連接，請判斷是否是等邊三角形，并說明理由．【答案】(1)(2)等邊三角形，理由見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識．靈活運(yùn)用等邊三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出，從而根據(jù)求解即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)求出，然后根據(jù)證明是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：在等邊中，，，，，，，，．（2）解：是等邊三角形．理由如下：由（1）可得，，，，，是等邊三角形．題型七、角平分線的判定1．如圖，在中，點D為下方一點，連接、、，，過點D作于點F，交的延長線于點G，．求證：平分．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定定理．根據(jù)條件證明，得出，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】證明：，，，在和中，，，，，平分．2．如圖，，M是的中點，平分，求證：平分．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，作于，由角平分線性質(zhì)定理可得，結(jié)合題意推出，再由角平分線的判定定理判斷即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：如圖，作于，∵平分，，，∴，∵M(jìn)是的中點，∴，∴，∵，，∴點在的角平分線上，∴平分．3．【定理】如圖1．因為于于，所以___________．【運(yùn)用】如圖2，在四邊形中，，求證：平分．【答案】【定理】平分；【運(yùn)用】證明見解析【分析】本題考查角平分線的判定定理、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）利用角平分線的判定定理，通過于于，即可判定平分；（2）通過作垂線構(gòu)造全等三角形，得，進(jìn)而利用角平分線的判定定理，即可完成證明．【詳解】解：定理：于于，平分，故答案為：平分；運(yùn)用：如圖所示，過點作于點，過點作交的延長線于點，，，，，，，，，，，，，平分．題型八、線段垂直平分線的判定1．如圖，是內(nèi)一點，的延長線交于點，連接，，且，．(1)請判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)試說明垂直平分線段．【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的判定，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得到，，進(jìn)而得出結(jié)論（2）根據(jù)垂直平分線的判定定理，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，即，∴；（2）∵∴垂直平分線段．2．如圖，是的角平分線，，，垂足分別是，，連接，與交于點．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)證明，得出，，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定即可得證；（2）根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，∴，∵，，∴，又，∴，∴，，∴A、D都在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，，，∴．3．已知，如圖，，，點E、F分別為垂足，，．(1)證明：；(2)延長相交于點D，聯(lián)結(jié)．證明：垂直平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，等角對等邊，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等角對等邊得到，再證明，即可證明；（2）證明，得到，則可證明，再根據(jù)線段垂直平分線的判定定理即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴垂直平分線．題型九、尺規(guī)作圖1．如圖，在中，點在的延長線上，其中，．(1)在內(nèi)部，求作射線，使得（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)作圖見解析；(2)．【分析】本題考查了作一個角等于已知角，平行線的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．（）作，則，射線就是所求作的直線；（）依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到和的度數(shù)，進(jìn)而得出的度數(shù)．【詳解】（1）解：如圖，作，則，∴射線即為所求；（2）解：由作圖可知：，∴，∴，∴．2．如圖，已知．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：作交于點D，作的角平分線交于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)圖見解析(2)【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線和角平分線，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角，熟掌握尺規(guī)作圖的方法，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)尺規(guī)作圖—作垂線和作角平分線的方法作圖即可；（2）三角形的外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：由題意，作圖如下：（2）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．3．如圖，在中，請解答下列問題：(1)請用尺規(guī)作圖的方法作邊的垂直平分線，交于點，連接．（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查尺規(guī)作圖-線段垂直平分線、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作出線段的垂直平分線即可．（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）解：線段的垂直平分線，如圖所示：；（2）解：垂直平分線段，，∴的周長．題型十、無刻度尺作圖1．如圖，所有的小正形的邊長都是1，小正方形的頂點叫做格點．請僅用無刻度直尺完成畫圖(不寫畫法)．(1)在圖1中，A、B、C均為格點，作；(2)在圖2中A、C為格點，B、D不是格點，且D為中點．在線段上找一點E，連接，使得與面積相等．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查平移作圖，三角形的中線平分面積：（1）利用平移思想，格點向下平移1個單位，再向左平移2個單位得到格點，連接即可；（2）取的中點，連接該點與點形成一條中線，連接，連接與兩條中線的交點并延長，交于點，則為的中線，即可得到與面積相等．【詳解】（1）解：如圖即為所求；（2）如圖，為所求；2．如圖，所有的小正方形的邊長都是都在格點上（小正方形的頂點叫做格點請僅用無刻度直尺完成畫圖（不要求寫畫法）(1)在圖1中作線段，使，；(2)在圖2中作線段于點A，交于點．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖，對于（1），將線段向右平移6個單位長度，使點B與點C重合，點A與長為2，寬為1的對角線的頂點D，則即為所求作；對于（2），連接點A和長為2，寬為1的長方形的對角線頂點E，可知，再根據(jù)，延長交于點H，則即為所求作.【詳解】（1）解：如圖所示，（2）如圖所示，3．如圖，將等邊和的一邊重合放置，其中為中點．請僅用無刻度直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，過點作于點．(2)如圖2，過點作的平分線交于點．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角平分線，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）延長交于點，連接，即為所求作，可以通過證明是等邊三角形，證明點為中點，再利用三線合一即可證明；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接，交于點，連接并延長，交于點，則即為所求，可以通過證明平分，平分，得出是三條角平分線的交點，即可證明．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點，連接，即為所求作，理由：∵和是等邊三角形，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵為中點，，∴，即點為中點，∴；（2）解：如圖，在（1）的基礎(chǔ)上，連接，交于點，連接并延長，交于點，則即為所求作，理由：由（1）可得，又∵是等邊三角形，∴平分，∵為中點，∴平分，∴是三條角平分線的交點，∴是的角平分線．題型十一、等腰（邊）三角形的手拉手1．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”．興趣小組進(jìn)行了如下探究：(1)如圖1，兩個等腰三角形和中，，，，連接、，如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和全等的三角形是，此時和的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，兩個等腰直角三角形和中，，，，連接、，兩線交于點，請判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，已知，請完成作圖：以、為邊分別向外作等邊和等邊（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于），連接，，兩線交于點，并直接寫出線段和的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)．【答案】(1)，(2)，，理由見解析(3)圖見解析，，【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，正確找出兩個全等三角形是解題關(guān)鍵．（1）先證出，再利用定理可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得；（2），，理由：先證出，再利用定理可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得；（3）先根據(jù)題意完成作圖，再證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，故答案為：，．（2）解：，，理由如下：∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即，∴，∴．（3）解：完成作圖如下：∵和都是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，∴．2．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，若和均是頂角為的等腰三角形，，分別是底邊，從圖中找出一對全等三角形并說明理由；(2)【拓展探究】如圖2，若和和均為等邊三角形，點、、在同一條直線上，連接，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．（1）先判斷出，進(jìn)而利用判斷出，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法判斷出，得出，最后用角的差，即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：．理由如下：和均是頂角為的等腰三角形，，．，即．．（2）為等邊三角形，點B、D、E在同一條直線上，．．

由（1）知，

為等邊三角形，．

．3．在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且有公共頂角頂點的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型”．這個數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)如圖1，在和中，，，，連接，，當(dāng)點落在邊上，且，，三點共線時，則在這個“手拉手模型”中，和全等的三角形是____________，的度數(shù)為____________．(2)如圖2，已知，分別以、為直角邊向兩側(cè)作等腰直角和等腰直角，其中，連接、，線段和交于點．①證明：且；②若與在同一直線上，如圖3，延長與交于點，連接并延長，的延長線與邊交于點，且，若和的面積之和為20，的面積為6，求線段的長．【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②4【分析】（1）利用證明，得出，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可得出，即可求解；（2）①利用證明，得出，，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得出；②利用①中，得出，則可求，利用等角對等邊得出，可得出，由的面積可求，由和的面積之和為20，可求，利用完全平方公式變形求出，，求出、，進(jìn)而求出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1中，在和中，，，，，故答案為：，；（2）解：①和均為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，，，；②和的面積之和為20，和均為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，，的面積為6，，，即，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，明確題意，尋找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型十二、角平分線與垂直平分線的結(jié)合求解1．如圖，在中，直線是邊的垂直平分線，點D是直線上一點，連接，，滿足，求證：為的外角的角平分線．

【答案】見詳解【分析】連接交于O，過D作于L，于K，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，由等腰三角形的性質(zhì)得到，而，因此，由三角形內(nèi)角和定理得到，又，，判定，推出，即可求證．【詳解】證明：連接交于O，過D作于L，于K，

∵直線是邊的垂直平分線，∴，，∴，∵，∴，，且，∴，∵，，∴，∴，∵于L，于K，∴為的外角的角平分線．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)得到，判定，推出．2．已知：如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點D，垂足分別為E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若求的周長．【答案】(1)詳見解析(2)17【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，即可得到結(jié)論；（2）證明，則，由（1）可知，即可得到答案．【詳解】（1）證明：連接．∵D在的中垂線上∴∵．平分∴∴

∴（2）∵平分∴∵∴

又∵．∴∴由(1)可知

∴的周長為：3．已知是邊的垂直平分線，是的外角的角平分線，兩線交于點，，垂足為，，垂足為．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明，可得；（2）證明，可得，然后利用線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵是邊的垂直平分線，∴，∵平分，，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．題型十三、等腰三角形的動點求t1．如圖1，在等邊中，，點O在邊上，且，動點P從點A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點運(yùn)動的時間為．．(1)用含t的代數(shù)式表示的長；(2)如圖2，當(dāng)點D落在邊上時，求證：；(3)當(dāng)平行于的一邊時，直接寫出t的值；(4)作點D關(guān)于點O的對稱點E，經(jīng)過，點E恰好落在射線上．【答案】(1)(2)見解析(3)的值為4或6(4)10【分析】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及動點問題等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，；（2）由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，可得，而是等邊三角形，有，故，即得，由可證；（3）當(dāng)時，是等邊三角形，可得，；當(dāng)時，可得，重合，，故；（4）由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，又關(guān)于點的對稱點，有，故，再證，，即可得，，可得，，從而．【詳解】（1）解：由已知得，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；；（2）證明：線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，；（3）解：當(dāng)時，如圖：，，，是等邊三角形，，，；當(dāng)時，如圖：，，，重合，，，綜上所述，的值為4或6；（4）解：如圖：線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，關(guān)于點的對稱點，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：10．2．如圖，在長方形中，，，點P以的速度從點A出發(fā)，沿運(yùn)動，同時點Q以的速度從點A出發(fā)，沿運(yùn)動，當(dāng)P、Q兩點有一個點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．(1)當(dāng)點P在運(yùn)動的過程中，用含t的代數(shù)式表示和的長；(2)①用含t的代數(shù)式表示的面積；②當(dāng)是以為底的等腰三角形時，求t的值及此時的面積；(3)在整個運(yùn)動過程中（點P與點B、C重合時除外），當(dāng)點P到長方形的相鄰兩邊的距離相等時，直接寫出t的值．【答案】(1)，(2)①；②，(3)或2【分析】本題主要考查了列代數(shù)式，等腰三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，注意分類討論．（1）根據(jù)點P運(yùn)動的速度和時間即可表示出，然后根據(jù)即可表示出；（2）①根據(jù)題意分三種情況：點P在上運(yùn)動和點P在上運(yùn)動，以及點在上，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；②首先畫出圖形，然后根據(jù)題意得到，，然后根據(jù)題意列方程求出，然后根據(jù)三角形面積求出的面積為；（3）根據(jù)題意分三種情況討論：點P在上時，點P在上和點P在上，經(jīng)分析排除點P在上和點P在上，然后列方程求解．【詳解】（1）解：∵點以的速度從點出發(fā)，沿運(yùn)動，∴，∵，∴；（2）解：①當(dāng)點P在上運(yùn)動時，如圖：∵，，∴；當(dāng)點P在上運(yùn)動時，如圖：∵，，∴；當(dāng)點P在上運(yùn)動時，如圖：此時，∴綜上所述，；②如圖所示，過點P作交于點E，則，

∵是以為底的等腰三角形，∴∵，∴，可得四邊形是長方形，∴∵，∴解得∴∴；（3）解：當(dāng)點P在上時，即，∵點P到的距離，點P到的距離，點P到的距離，∴點P到的距離點P到的距離，點P到的距離點P到的距離，∴不符合題意；當(dāng)點P在上時，即，∵點P到的距離，點P到的距離，點P到的距離根據(jù)題意得，或解得或；當(dāng)點P在上時，即，∵，故點P到和的距離均小于點P到的距離為長，∴不符合題意；綜上：點P到長方形的相鄰兩邊的距離相等時，或2．3．如圖，是邊長為的等邊三角形，動點P從點B出發(fā)以的速度沿著路線向終點B運(yùn)動，同時動點Q從點C出發(fā)以的速度沿著路線向終點C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為．(1)當(dāng)P在邊上運(yùn)動時，______，______；(2)當(dāng)是等邊三角形時，求t的值．【答案】(1)；(2)2或8【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，再進(jìn)一步可得到結(jié)論；（2）當(dāng)點P在邊上運(yùn)動時，當(dāng)點P在邊上時，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵是邊長為的等邊三角形，∴，由題意可得：，，∴；（2）解：∵是等邊三角形，∴．當(dāng)點在邊上時（此時點在邊上），有，解得；當(dāng)點在邊上時（此時點在邊上），有，解得．綜上所述，當(dāng)是等邊三角形時，的值為2或8．題型十四、等腰三角形的新定義1．綜合與實踐：在學(xué)習(xí)特殊三角形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗．請運(yùn)用已有經(jīng)驗，對“兄弟三角形”進(jìn)行研究，新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．(1)操作判斷：如圖1，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點．請直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：______．(2)性質(zhì)探究：如圖2，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點，，均在外，連結(jié)、，試說明（1）中和之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，給出證明過程．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點，，點，，在同一條直線上，為的高，連結(jié)，請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】(1)(2)成立；見解析(3)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）通過和互為“兄弟三角形”，得出，，，從而證明，即可得出答案；（2）通過和互為“兄弟三角形”，得出，，，從而證明，即可完成證明；（3）通過已知條件，證明，得出，在等腰中，由為的高，得為的中點，即，根據(jù)，即可完成證明．【詳解】（1）解：和互為“兄弟三角形”，，，，，即，，，故答案為：；（2）依然成立，理由如下：和互為“兄弟三角形”，，，，，即，，；（3）和互為“兄弟三角形”，點為重合的頂角頂點，，，，，，；在等腰中，，為的中點，，，．2．定義：如果1條線段將一個三角形分割成2個等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“雙等腰線”．如果2條線段將一個三角形分割成3個等腰三角形，我們把這2條線段叫做這個三角形的“三等腰線”．如圖1，線段將頂角為的等腰三角形分成了兩個等腰三角形，則線段是的“雙等腰線”；線段，將頂角為的等腰三角形分成了三個等腰三角形，則線段是的“三等腰線”．(1)請在圖2中，作出的“雙等腰線”，并標(biāo)出分成的等腰三角形的底角的度數(shù)：①，；②．(2)請在圖3中，畫出頂角為的等腰三角形的“三等腰線”，并標(biāo)出每個等腰三角形頂角的度數(shù)（畫出一種即可）；(3)畫圖和計算：在中，，點在邊上，點在邊上，和是的“三等腰線”，且，請試畫出示意圖，并求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查三角形的綜合應(yīng)用，結(jié)合材料和所學(xué)知識進(jìn)行分析解題．（1）根據(jù)“雙等腰線”的定義，作圖即可；（2）根據(jù)“三等腰線”的定義，作圖即可；（3）由題意設(shè)，分情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，利用三角形內(nèi)角和定理，列式求解即．【詳解】（1）①如圖1所示：；②如圖2所示：（2）如圖3所示：（3）設(shè)，①當(dāng)時，如圖，②當(dāng)時，如圖，③當(dāng)時，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴此時不存在，應(yīng)舍去．綜合上述，的度數(shù)為或．3．能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．（1）下列圖形：①邊長都為的兩個正方形；②邊長都為的兩個四邊形；③邊長都為的兩個三角形；④半徑都是的兩個圓．其中是全等圖形的有______（填序號）；（2）數(shù)學(xué)課上，我們學(xué)習(xí)了直角三角形全等的判定（即“”）后，好學(xué)的小明繼續(xù)對直角三角形全等判定進(jìn)行研究，如圖①，在和中，，，和的周長相等．求證：．證明：如圖②，在和中，分別延長至G，H，使得，，連接．根據(jù)小明的思考，請繼續(xù)完成小明的證明；（3）根據(jù)全等多邊形的定義，我們把四個角，四條邊分別相等的兩個凸四邊形叫做全等四邊形，記作：四邊形四邊形．如圖③，若，，，，，求證：四邊形四邊形，并用一句話概括第（3）問中四邊形全等的判定方法．【答案】（1）①④；（2）見解析；（3）證明見解析；有三個角以及兩條鄰邊分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等【分析】（1）根據(jù)全等多邊形的定義，即可求解；（2）在和中，分別延長至G，H，使得，，連接，根據(jù)和的周長相等，可得，可證明，從而得到，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，即可求證；（3）連接，證明，可得，，再證明，可得，即可求證．【詳解】解：（1）①邊長都為的兩個正方形；②邊長都為的兩個四邊形；③邊長都為的兩個三角形；④半徑都是的兩個圓．其中是全等圖形的有①④；故答案為：①④（2）證明：如圖②，在和中，分別延長至G，H，使得，，連接．∵和的周長相等，∴，∵，，∴，即，∵，∴，在和中，∵，，，∴，∴，∵，∵，，∴，∴，在和中，∵，，，∴；（3）如圖，連接，在四邊形和四邊形中，∵四邊形的內(nèi)角和等于360度，，，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，∵，，∴，，在和中，∵，，，∴，∴，在四邊形和四邊形中，∵，，，，，，，∴四邊形四邊形．判定方法：有三個角以及兩條鄰邊分別對應(yīng)相等的兩個四邊形全等【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，并靈活做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．1．如圖，，點A在射線上，以點O為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點B．若分別以點A，B為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在內(nèi)部交于點C，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，熟練掌握各知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．連接，則由作圖可得，那么為等邊三角形，可證明，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，由作圖可得，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，，∴，故選：B．2．如圖，，點E在上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等邊對等角，先證明，再利用可證明得到，利用三角形內(nèi)角和定理可證明，據(jù)此根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可求出答案．【詳解】解：∵，∴，即，在和中，，∴，∴；如圖所示，設(shè)交于O，∵，，，∴，∵，，∴，故選：C．3．如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．4．如圖，左圖為傳統(tǒng)建筑中的一種窗格，右圖為其窗框的示意圖，多邊形為正八邊形，連接，，與交于點，．【答案】【分析】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角問題，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)正多邊形內(nèi)角計算公式求出，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵八邊形是正八邊形，∴，∴，同理可得，∴，故答案為：．5．等腰三角形的一個底角為，則它的頂角的度數(shù)是．【答案】/100度【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，掌握等腰三角形兩底角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數(shù)即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個底角的度數(shù)為，∴它的頂角度數(shù)為：．故答案為：．6．如圖，已知，點為內(nèi)部一點，點為射線、點為射線上的兩個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則．【答案】/度【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；作點P關(guān)于，的對稱點．連接．則當(dāng)，是與，的交點時，的周長最短，根據(jù)對稱的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作關(guān)于，的對稱點．連接．則當(dāng)，是與，的交點時，的周長最短，連接，關(guān)于對稱，∴，同理，，，，，是等腰三角形．，故答案為：．7．用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：．求作：點P，使，且點P在邊的高上．

【答案】見解析【分析】作的垂直平分線和邊上的高，它們的交點為P點．【詳解】解：如圖，點P為所作．

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．8．如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請從中選擇適當(dāng)信息，將對應(yīng)的序號填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明．

【答案】②③，①或①②，③；證明見詳解【分析】情況一：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，最后利用全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答；情況二：根據(jù)題意補(bǔ)全部圖形，連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)可知，最后利用角平分線的定義及全等三角形的判定與性質(zhì)即可解答．【詳解】情況一：，，證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

∵垂直平分，∴，在與中，，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，即，∴平分；故答案為：．情況二：，，證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：∵垂直平分，∴，在與中，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案為：②③，①或①②，③【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差關(guān)系，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．小明正在進(jìn)行探究活動：分割梯形并將其拼成等腰三角形，請你幫他一起探究．(1)如圖（1）所示，在梯形中，，．設(shè)為邊中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，點旋轉(zhuǎn)至點的位置，得到的是等腰三角形，其中，設(shè)，求邊的長（用表示）；(2)如圖（2）所示，已知梯