立體幾何第八章第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)【考綱導(dǎo)學(xué)】1．以立體幾何的有關(guān)定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理，并能夠證明相關(guān)性質(zhì)定理．2．能運用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題．欄目導(dǎo)航01課前基礎(chǔ)診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓(xùn)練課前基礎(chǔ)診斷11．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理此平面內(nèi)l∥a

a?α

l?α

交線l∥α

l?β

α∩β＝b

2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理相交直線a∥β

b∥β

a∩b＝P

a?α，b?α

相交交線α∥β

α∩γ＝a

β∩γ＝b

1．下列命題中，正確的是(

)A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α【答案】D【解析】根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知D正確．2．設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α，則“m∥β”是“α∥β”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)m∥β時，可能α∥β，也可能α與β相交．當(dāng)α∥β時，由m?α可知m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要不充分條件．3．過三棱柱ABC—A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有______條．【答案】6【解析】記AC，BC，A1C1，B1C1的中點分別為E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，則直線EF，E1F1，EE1，F(xiàn)F1，E1F，EF1均與平面ABB1A1平行，故符合題意的直線共有6條．4．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的條件是________(填上所有正確的序號)．【答案】②④【解析】在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交．由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足．在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．【答案】平行【解析】連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO.在△BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO.而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.1．在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤．2．在面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．3．如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．(

)(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√課堂考點突破2直線與平面平行的判定與性質(zhì)

(2016年新課標(biāo)Ⅲ)如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．(1)求證：MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM的體積．【規(guī)律方法】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的定義(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．【解析】(1)證明：因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．平面與平面平行的判定與性質(zhì)

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因為GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC.所以B，C，H，G四點共面．【規(guī)律方法】證明面面平行的方法：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．【跟蹤訓(xùn)練】2．如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點，求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.【證明】(1)如圖所示，連接AE，設(shè)DF與GN的交點為O，則AE必過點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線．所以BD∥MN.又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.又DE?平面BDE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.空間平行關(guān)系在作圖中的應(yīng)用

如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝4，AB＝8，M，N分別是A1D1，AB的中點．過MN的截面α與BD1平行，且平面α與長方體的面相交．(1)求作交線(只畫出圖，不要求證明或說明)；(2)求該截面將長方體分成的兩部分的體積之比．【規(guī)律方法】根據(jù)條件求作幾何體截面的三種思想方法：(1)平面的確定公理；(2)線面平行與面面平行的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；(3)作圖的合理性(注意題目中隱含條件的挖掘和分析)．【跟蹤訓(xùn)練】3．如圖所示，E是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中點，過A，C，E三點作平面α與正方體的面相交．(1)畫出平面α與正方體ABCD－A1B1C1D1各面的交線；(2)求證：BD1∥平面α.【解析】(1)如圖所示，交線即為EC，AC，AE，平面α即為平面AEC.(2)證明：連接BD，設(shè)BD與AC交于點O，連接EO.因為平面ABCD為正方形，所以O(shè)是BD的中點．又E為DD1的中點，所以O(shè)E∥BD1.又OE?平面α，BD1?平面α，所以BD1∥平面α.課后感悟提升31個轉(zhuǎn)化——三種平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化2個注意點——證明平行問題應(yīng)注意的兩個問題(1)在推證線面平行時，必須滿足三個條件：一是直線a在已知平面外，二是直線b在已知平面內(nèi)，三是兩直線平行．(2)把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面與已知平面相交，則該直線與交線平行．1．(2017年新