人教A版高二數(shù)學(xué)（選修一）第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量基本定理及其意義.2.會用基底表示空間向量3.掌握空間向量的正交分解4.掌握用基向量解決立體幾何中簡單問題的通法(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝______交換律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝_________a·b＋a·cλ(a·b)b·a復(fù)習(xí)回顧(3)空間向量的夾角∠AOB[0，π]復(fù)習(xí)回顧兩個(gè)向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?_______②若a與b同向，則a·b＝______；若反向，則a·b＝________.特別地，a·a＝____或|a|＝③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝_______④|a·b|≤|a|·|b|a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2復(fù)習(xí)回顧情景導(dǎo)入

我們所在的教室是一個(gè)立體圖形,即一個(gè)三維立體圖,如果以教室的一個(gè)墻角為坐標(biāo)原點(diǎn),沿著三條墻縫作射線可以得到三個(gè)空間向量.這三個(gè)空間向量是不共面的,那么這個(gè)三維立體圖與這三個(gè)空間向量有什么關(guān)系呢?事實(shí)上可以建立一個(gè)空間坐標(biāo)系來研究三維立體圖形.

空間向量基本定理新知探究我們先從空間中三個(gè)不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論。

OPQ

ADCBA1B1C1D1

bcα

OPQ

提示：空間任意三個(gè)“不共面”的向量都可以作為空間向量的一個(gè)基底．因此空

間的基底不唯一探究4

基底與基向量的概念有什么不同？

探究3

空間中怎樣的向量能構(gòu)成基底？提示：基底是指一個(gè)向量組，基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念．

探究5

零向量可作為基向量嗎？

提示：不可以，因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)非零向量共線，與任意兩個(gè)非零向量共面，所以零向量不能作為基向量。反之，若某一向量能作為基向量,就說明它不是零向量.探究6類比平面向量基本定理，如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直,那么這個(gè)基底叫什么？提示：叫做正交基底.探究7如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫什么？

探究8什么叫做空間向量正交分解。提示：把一個(gè)空間向量分解成三個(gè)兩兩互相垂直的向量，叫做把空間向量正交分解。例1(1)設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有(

)A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)典例剖析題型一：基底的判斷答案

C解析

反思感悟

判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路:判斷三個(gè)空間向量是否共面,若共面,則不能構(gòu)成基底;若不共面,則能構(gòu)成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,則不能作為基底;如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示,則不能構(gòu)成基底.②假設(shè)a=λb+μc,運(yùn)用空間向量基本定理,建立λ,μ的方程組,若有解,則共面,不能作為基底;若無解,則不共面,能作為基底.概念歸納若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個(gè)基底.解

假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,∴a,b,c不共面.即不存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個(gè)基底.練一練例2如圖所示,四棱錐P-OABC的底面為一矩形,PO⊥平面OABC,設(shè)思路分析利用圖形尋找待求向量與a,b,c的關(guān)系→利用向量運(yùn)算進(jìn)行拆分→直至向量用a,b,c表示題型二：用基底表示空間向量典例剖析解

反思感悟

用基底表示空間向量的解題策略(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.(2)若沒給定基底,首先選擇基底,選擇時(shí),要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.(3)在空間幾何體中選擇基底時(shí),通常選取公共起點(diǎn)最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底.例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所對應(yīng)的向量作為基底.概念歸納答案

B練一練例3在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱CD上,且CG=CD.(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.題型三：應(yīng)用空間向量基本定理證明線線位置關(guān)系典例剖析反思感悟

應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn),選擇一個(gè)基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).概念歸納延伸探究

設(shè)這個(gè)正方體中線段A1B的中點(diǎn)為M,證明:MF∥B1C.例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長;(2)求BD1與AC所成角的余弦值.題型四：應(yīng)用空間向量基本定理求距離、夾角典例剖析反思感悟

利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟

概念歸納已知空間四邊形ABCD,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,則AB與CD所成的角是(

)A.30° B.45° C.60° D.90°練一練答案

C1.(2020廣東深圳高二檢測)若{a,b,c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則下列向量不共面的是(

)A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,c D.a+b,a+b+c,c解析

對于A,b=(b+c)+(b-c),所以A不正確;同理,B不正確;對于D,a+b+c=(a+b)+c,所以D不正確.故選C.答案

C隨堂練答案

A隨堂練3.下列說法正確的是(

)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等解析

A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底;B項(xiàng),空間基底有無數(shù)個(gè);D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.答案

C隨堂練隨堂練

用基底表示向量有三個(gè)步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．PACBONM課本例題

PACBONM本題小結(jié)：由空間向量基本定理可知，如果把三個(gè)不共面的向量作為空間的一個(gè)基底，那么所有空間向量都可以用這三個(gè)向量表示出來。

ABCDMNB1A1C1D1

ABCDMNB1A1C1D1

CABDEFG

CABDEFG

CABDEFG所以課本練習(xí)（P12）ABCOGABCOG(第3題)ABCO（P14）課本練習(xí)ABCDABCOD(第3題)ABCOD(第3題)習(xí)題1.2COABCMNABCMNABCDB1A1C1D1MABCDB1A1C1D1ABCDB1A1C1D1ABCDFGEB1A1C1D1ABCDFGEB1A1C1D1ABCDFGEB1A1C1D1ABCDFGEB1A1C1D1SABCEFMNGH8．已知四面體中三組相對棱的中點(diǎn)間的距離都相等，

求證：這個(gè)四面體相對的棱兩兩垂直．SABCEFMNGH8．已知四面體中三組相對棱的中點(diǎn)間的距離都相等，求證：這個(gè)四面體相對的棱兩兩垂直．錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)C

解析:只有選項(xiàng)C中的三個(gè)向量是不共面的,可以作為一個(gè)基底.分層練習(xí)-基礎(chǔ)A

分層練習(xí)-基礎(chǔ)3.下列說法正確的是(

)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等C

解析:A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底;B項(xiàng),空間基底有無數(shù)個(gè);D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.分層練習(xí)-基礎(chǔ)分層練習(xí)-基礎(chǔ)5.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個(gè)基底.解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,∴a,b,c不共面.即不存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b