線性代數(shù)期末試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，則必有（）A.\(A=0\)或\(B=0\)B.\(A+B=0\)C.\(\vertA\vert=0\)或\(\vertB\vert=0\)D.\(\vertA\vert+\vertB\vert=0\)答案：C2.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(A^\)是\(A\)的伴隨矩陣，則（）A.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)B.\(\vertA^\vert=\vertA\vert\)C.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^n\)D.\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{-1}\)答案：A3.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個(gè)零向量B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有兩個(gè)向量成比例C.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示答案：C4.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，齊次線性方程組\(Ax=0\)僅有零解的充分必要條件是（）A.\(A\)的列向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)C.\(A\)的行向量組線性無關(guān)D.\(A\)的行向量組線性相關(guān)答案：A5.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對稱矩陣，\(P\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B=P^TAP\)，則（）A.\(A\)與\(B\)相似且合同B.\(A\)與\(B\)相似但不合同C.\(A\)與\(B\)合同但不相似D.\(A\)與\(B\)既不相似也不合同答案：A6.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值和特征向量B.\(A\)與\(B\)都相似于同一個(gè)對角陣C.\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式D.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)答案：C7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的兩個(gè)不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是屬于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.對任意\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都是\(A\)的特征向量B.存在常數(shù)\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，使\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量C.當(dāng)\(k_1=k_2=0\)時(shí)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量D.對任意\(k_1\neq0,k_2\neq0\)，\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)都不是\(A\)的特征向量答案：D8.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)的秩\(r(A)=r\ltn\)，則在\(A\)的\(n\)個(gè)行向量中（）A.必有\(zhòng)(r\)個(gè)行向量線性無關(guān)B.任意\(r\)個(gè)行向量線性無關(guān)C.任意\(r\)個(gè)行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)組D.任意一個(gè)行向量都可由其它\(r\)個(gè)行向量線性表示答案：A9.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應(yīng)成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為零D.\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)答案：B10.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，將\(A\)的第\(1\)列與第\(2\)列交換得\(B\)，再把\(B\)的第\(2\)列加到第\(3\)列得\(C\)，則滿足\(AQ=C\)的可逆矩陣\(Q\)為（）A.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，下列結(jié)論正確的是（）A.若\(A\)，\(B\)都可逆，則\(A+B\)可逆B.若\(A\)，\(B\)都可逆，則\(AB\)可逆C.若\(AB\)可逆，則\(A\)，\(B\)都可逆D.若\(A+B\)可逆，則\(A\)，\(B\)都可逆答案：BC2.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是齊次線性方程組\(Ax=0\)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則（）A.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)B.\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)C.\(Ax=0\)的任意一個(gè)解向量都可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示D.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)也是\(Ax=0\)的一個(gè)基礎(chǔ)解系答案：ACD3.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對稱矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，\(\xi\)是屬于\(\lambda\)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\(\xi^TA\xi=\lambda\xi^T\xi\)C.對于\(A\)的任意特征值\(\mu\neq\lambda\)，\(\xi\)與屬于\(\mu\)的特征向量正交D.\(A\)必可相似對角化答案：ABCD4.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)與\(B\)合同，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的秩B.\(A\)與\(B\)有相同的正慣性指數(shù)C.\(A\)與\(B\)有相同的負(fù)慣性指數(shù)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值答案：ABC5.下列矩陣中，是正交矩陣的有（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\-\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)答案：ABD6.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩為\(r\)，則（）A.向量組中任意\(r\)個(gè)向量線性無關(guān)B.向量組中任意\(r+1\)個(gè)向量線性相關(guān)C.向量組中存在\(r\)個(gè)向量線性無關(guān)D.向量組中存在\(r\)個(gè)向量構(gòu)成極大線性無關(guān)組答案：BCD7.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(A\)經(jīng)過初等行變換化為\(B\)，則（）A.\(A\)與\(B\)等價(jià)B.\(A\)與\(B\)有相同的秩C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.若\(A\)可逆，則\(B\)也可逆答案：ABD8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，下列條件中，能保證\(A\)可相似對角化的是（）A.\(A\)有\(zhòng)(n\)個(gè)不同的特征值B.\(A\)是實(shí)對稱矩陣C.\(A\)的每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)D.\(A\)的特征值都是實(shí)數(shù)答案：ABC9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值B.\(A\)與\(B\)可同時(shí)相似對角化C.\(A\)的特征向量也是\(B\)的特征向量D.若\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(B\)的屬于\(\lambda\)的特征子空間是\(A\)的不變子空間答案：BD10.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，\(\xi\)是屬于\(\lambda\)的特征向量，\(k\)為非零常數(shù)，則（）A.\(k\xi\)也是屬于\(\lambda\)的特征向量B.\(\lambda+k\)是\(A+kE\)的特征值C.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值D.若\(A\)可逆，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值答案：ACD三、判斷題1.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^T=A^TB^T\)。（×）2.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)，則其中每一個(gè)向量都可由其余向量線性表示。（×）3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（√）4.齊次線性方程組\(Ax=0\)有非零解的充分必要條件是\(A\)的列向量組線性相關(guān)。（√）5.設(shè)\(A\)是\(n\)階實(shí)對稱矩陣，則\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量一定正交。（√）6.若\(A\)與\(B\)相似，則\(A\)與\(B\)有相同的特征多項(xiàng)式。（√）7.正交矩陣的行列式的值為\(1\)或\(-1\)。（√）8.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A\)的秩\(r(A)=n\)，則\(A\)可逆。（√）9.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（×）10.若\(A\)是\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個(gè)特征值，則\(\lambda\)一定是實(shí)數(shù)。（×）四、簡答題1.簡述矩陣可逆的定義及判斷方陣\(A\)可逆的常用方法。答：對于\(n\)階方陣\(A\)，若存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)為\(n\)階單位矩陣），則稱\(A\)可逆，\(B\)為\(A\)的逆矩陣。判斷方陣\(A\)可逆的常用方法有：計(jì)算行列式\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的秩等于階數(shù)；\(A\)可經(jīng)過初等變換化為單位矩陣；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)等。2.說明向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，并舉例說明判斷向量組線性相關(guān)性的方法。答：設(shè)有向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)，如果存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)，則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān)。例如判斷向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(2,4,6)\)，設(shè)\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=0\)，即\((k_1+2k_2,2k_1+4k_2,3k_1+6k_2)=0\)，可得\(k_1=-2k_2\)，有非零解，所以線性相關(guān)，常用的方法還有構(gòu)造矩陣求秩等。3.簡述矩陣的特征值和特征向量的定義，并說明求矩陣\(A\)的特征值和特征向量的步驟。答：設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，如果存在數(shù)\(\lambda\)和非零\(n\)維列向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)，則稱\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(\