文理聯(lián)賽數(shù)學(xué)真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\geq1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)答案：B2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(4\)B.\(-4\)C.\(1\)D.\(-1\)答案：B3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=100\)，則\(n\)等于（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)答案：B4.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)答案：B5.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)答案：A6.已知\(a\gtb\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\ltb^2\)B.\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(ac^2\gtbc^2\)答案：C7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)答案：A8.若函數(shù)\(f(x)=\log_a(x+1)\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域和值域都是\([0,1]\)，則\(a\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\sqrt{2}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(2\)答案：D9.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為\(2\)，則球的表面積是（）A.\(8\pi\)B.\(12\pi\)C.\(16\pi\)D.\(20\pi\)答案：B10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x(1+x)\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(f(x)=-x(1-x)\)B.\(f(x)=x(1-x)\)C.\(f(x)=-x(1+x)\)D.\(f(x)=x(1+x)\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\ln(x^2+1)\)D.\(y=2^x\)答案：ABC2.以下說法正確的是（）A.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(A_1B_2-A_2B_1=0\)B.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)垂直，則\(A_1A_2+B_1B_2=0\)C.點(diǎn)\((x_0,y_0)\)到直線\(Ax+By+C=0\)的距離公式為\(d=\frac{\vertAx_0+By_0+C\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)D.兩平行直線\(Ax+By+C_1=0\)與\(Ax+By+C_2=0\)間的距離為\(d=\frac{\vertC_1-C_2\vert}{\sqrt{A^2+B^2}}\)答案：ABCD3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比\(q\neq1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(a_1a_5=a_3^2\)B.\(a_3+a_7\gt2a_5\)C.若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_2+a_4+\cdots+a_{2n}=\frac{2(4^n-1)}{3}\)D.若\(a_1\gt0\)，則\(a_{n+1}\lta_n\)答案：AC4.對(duì)于函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期\(T=\pi\)B.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對(duì)稱C.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對(duì)稱D.在區(qū)間\([-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}]\)上單調(diào)遞增答案：ACD5.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq2\\x-y\leq2\\y\leq2\end{cases}\)，則（）A.\(z=3x-y\)的最大值為\(4\)B.\(z=3x-y\)的最小值為\(-2\)C.\(z=x+2y\)的最大值為\(8\)D.\(z=x+2y\)的最小值為\(2\)答案：BC6.下列關(guān)于圓錐曲線的說法正確的是（）A.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距），且\(0\lte\lt1\)B.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)D.橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線答案：ABCD7.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為非零實(shí)數(shù)，且\(a\gtb\)，則下列不等式一定成立的是（）A.\(ac^2\gtbc^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)C.\(a^3\gtb^3\)D.\(a^2\gtb^2\)答案：C8.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則（）A.\(f(x)\)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.\(f(x)\)在區(qū)間\((-1,1)\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)的極大值為\(2\)D.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)答案：ABCD9.一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，其長度分別為\(1\)，\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{3}\)，則這個(gè)三棱錐的外接球的表面積為（）A.\(6\pi\)B.\(12\pi\)C.外接球半徑為\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)D.外接球半徑為\(\sqrt{6}\)答案：AC10.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象與函數(shù)\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱，若\(f(2)=1\)，則（）A.\(a=2\)B.\(f(x)=\log_2x\)C.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增D.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減答案：ABC三、判斷題1.空集是任何集合的子集。（）答案：對(duì)2.若\(a\)，\(b\)為實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則\(ab\leq\frac{1}{4}\)。（）答案：對(duì)3.函數(shù)\(y=\tanx\)的最小正周期是\(\pi\)。（）答案：對(duì)4.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）答案：錯(cuò)5.直線\(y=kx+b\)與圓\(x^2+y^2=r^2\)相切的充要條件是\(b^2=r^2(1+k^2)\)。（）答案：錯(cuò)6.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，則\(ac\ltbd\)。（）答案：對(duì)7.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）答案：錯(cuò)8.函數(shù)\(y=\cos^2x-\sin^2x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）答案：對(duì)9.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的長軸長為\(8\)。（）答案：對(duì)10.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的圖象是連續(xù)不斷的，且\(f(a)f(b)\lt0\)，則函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)。先解不等式左邊得\(2k\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\leq2x\)，即\(2k\pi-\frac{\pi}{3}\leq2x\)，\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\)；再解右邊得\(2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)，即\(2x\leq2k\pi+\frac{2\pi}{3}\)，\(x\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)。所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。因?yàn)閈(a_5-a_3=2d\)，已知\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，所以\(2d=9-5=4\)，則\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，把\(d=2\)代入可得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。那么數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。3.已知圓\(C\)的方程為\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)，求圓心坐標(biāo)和半徑。答案：將圓\(C\)的方程\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。配方可得\((x-2)^2-4+(y+1)^2-1-4=0\)，整理得\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)。根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（圓心\((a,b)\)，半徑\(r\)），可知圓心坐標(biāo)為\((2,-1)\)，半徑\(r=3\)。4.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)分別為\(\triangleABC\)三個(gè)內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對(duì)邊，且\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)，求角\(C\)的大小。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)為\(\triangleABC\)外接圓半徑），可得\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。將其代入\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)得：\(2R\sinA\cosB+2R