第二單元矩陣第4次課程教案2課時教學內容矩陣的初等變換與線性方程組的求解教學目標掌握初等變換的概念；掌握線性方程組的求解.重點難點矩陣的初等變換、線性方程組的求解教學條件環(huán)境多媒體教室；粉筆；ppt課件教學方式課堂講授；￡混合式教學；□講授；￡案例教學；￡分組教學；□實驗演示；□作業(yè)講評；□實踐教學；□其他活動教學過程設計教學環(huán)節(jié)教學內容互動設計導入（5分）問題導入：1.在計算行列式時，可以將某一行元素都乘以k，加到另一行上，或者將某一行的公倍數(shù)提到行列式外。那么矩陣的元素，也能做類似的變換嗎？2.行列式的某一行元素都乘以k加到另一行上，行列式的值不變。如果矩陣的某一行元素都乘以k加到另一行上，變換前后的矩陣相等嗎?3.基于問題1、2，思考能否將一個矩陣中的元素化成只有0或者1？學生思考學生回答正文講授（75分）2.4矩陣的初等變換與線性方程組的求解一、矩陣的初等變換矩陣的初等變換是處理矩陣問題的一種基本方法,它在矩陣的秩、逆矩陣和線性方程組的求解中發(fā)揮著極其重要的作用.定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（1）交換矩陣中的第行（列）與第行（列）的元素，記作或；（2）用一個非零常數(shù)乘矩陣的第行（列），記作或；（3）矩陣的第行（列）元素的倍加到第行（列）對應元素上，記作或.（注意：第行（列）的元素并沒有改變）.矩陣的初等行或列變換統(tǒng)稱為初等變換.定義2如果矩陣經過有限次的初等變換變成，則稱與等價。記做或.容易得到，矩陣等價滿足以下三個性質：（1）反身性：；（2）對稱性：若，則；（3）傳遞性：若，，則.二、行最簡形矩陣在矩陣中，如果某行元素全為0，稱其為矩陣的零行，否則稱為非零行；在非零行中，從左至右數(shù)第一個不為零的元素稱為首非零元.定義3如果矩陣滿足：（1）若有零行,則零行位于矩陣的最下方；（2）首非零元前面0的個數(shù)逐行嚴格增加.則稱矩陣為行階梯形矩陣（簡稱為階梯形）.例如，，，,都是行階梯形矩陣，而不是行階梯形矩陣.定義4設矩陣是行階梯形矩陣，利用初等行變換，將化成非零行全為1，且它所在列的其它元素都是0，這樣的矩陣稱為行最簡形矩陣或最簡形.例如,為行最簡形矩陣.行最簡形矩陣是一個非常重要的概念.在線性代數(shù)A中，很多問題的求解方法都會涉及到將矩陣轉化為行最簡形矩陣這一步.三、用矩陣的初等行變換解線性方程組：(1)寫出元非齊次線性方程組的增廣矩陣；(2)對實施初等行變換，化為行最簡形矩陣；(3)寫出以為增廣矩陣的線性方程組；(4)以第一個非零元為系數(shù)的未知量作為固定未知量，留在等號的左邊，其余的未知量作為自由未知量，移到等號右邊，并令自由未知量為任意常數(shù)，從而求得線性方程組的解.四、相關結論：定理：(1)任意一個矩陣總可以經過若干次初等行變換化為行階梯形矩陣；(2)任意一個矩陣總可以經過若干次初等行變換化為行最簡形矩陣；(3)任意一個矩陣總可以經過若干次初等變換（行變換和列變換）化為它標準形，其中為行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).思政點：形變而質不變，變與不變相輔相成。認識事物，不僅要觀其表象，更要明其內里。每個矩陣都能經過初等變換化為其行最簡矩陣。人生的路雖然曲折，但明亮的目標始終在那里。命題：(1)元非齊次線性方程組有解的充分必要條件是第一個非零元不出現(xiàn)在的最后一列；(2)元非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是第一個非零元不出現(xiàn)在的最后一列，且第一個非零元的個數(shù)等于未知量的個數(shù)；(3)元非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是第一個非零元不出現(xiàn)在的最后一列，且第一個非零元的個數(shù)小于未知量的個數(shù).思政點：《九章算術》成書于公元1世紀左右，記載了世界上最早的線性方程組完整解法。在西方，直到17世紀萊布尼茲提出完整的解法。以中國古代算術的輝煌成就，增強學生民族自豪感和文化自信心，同時也要反思近代中國數(shù)學落后的原因。青年一代有理想有擔當，國家就有前途，民族就有希望！三、主要例題：例1求解線性方程組例2判斷下列矩陣是否是階梯形矩陣：(1)(2)(3)(4)例3試用矩陣行的初等變換將矩陣先化為行階梯形矩陣，再進一步化為行最簡形矩陣.例4解方程組例5解方程組例6解線性方程組例7