向量空間與線性方程組解的結(jié)構(gòu)《線性代數(shù)》03目錄/Contents3.13.23.33.4向量組及其線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩向量空間3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)向量目錄/Contents3.1向量組及其線性組合3.1.1向量的概念3.1.2向量的運(yùn)算定義13.1.1向量的概念

3.1.1向量的概念

3.1.1向量的概念這兩種運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算3.1.2向量的運(yùn)算2.向量的運(yùn)算

3.1.2向量的運(yùn)算

注：向量是特殊的矩陣，矩陣有的性質(zhì)向量都有！

例13.1.2向量的運(yùn)算設(shè)有線性方程組

3.1.2向量的運(yùn)算

目錄/Contents3.13.23.33.4向量向量組的秩與矩陣的秩向量空間3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)向量組及其線性相關(guān)性目錄/Contents3.2向量組及其線性組合3.2.1向量組的線性組合與線性表示3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)3.2.2向量組的等價(jià)3.2.4向量組線性相關(guān)定理

由若干個(gè)維數(shù)相同的向量構(gòu)成的集合，稱為向量組.定義23.2.1向量組的線性組合與線性表示

例23.2.1向量組的線性組合與線性表示

3.2.1向量組的線性組合與線性表示

定義3定義43.2.1向量組的線性組合與線性表示由此可見，一個(gè)向量組可以線性表示這個(gè)向量組中的每一個(gè)向量，零向量是任意一個(gè)向量組的線性組合.

3.2.1向量組的線性組合與線性表示

例33.2.1向量組的線性組合與線性表示

證明定理13.2.1向量組的線性組合與線性表示

3.2.1向量組的線性組合與線性表示

例4解3.2.1向量組的線性組合與線性表示

例4解3.2.1向量組的線性組合與線性表示

3.2.1向量組的線性組合與線性表示

例53.2.1向量組的線性組合與線性表示解3.2.1向量組的線性組合與線性表示

定義53.2.2向量組的等價(jià)

3.2.2向量組的等價(jià)

3.2.2向量組的等價(jià)

定理23.2.2向量組的等價(jià)證明12343.2.2向量組的等價(jià)

證明例63.2.2向量組的等價(jià)

3.2.2向量組的等價(jià)對(duì)增廣矩陣實(shí)施初等行變換，有

例73.2.2向量組的等價(jià)

證明3.2.2向量組的等價(jià)

3.2.2向量組的等價(jià)另一方面，由于

定義63.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

例83.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

01OPTION02OPTION證明證明：任一含有零向量的向量組必定線性相關(guān).3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)例9

解例

103.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

于是，問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

例

11證明3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

定理33.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

3.2.3向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

定理4證明3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

從而有：

例123.2.4向量組線性相關(guān)定理3.2.4向量組線性相關(guān)定理

證明3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

證明推論33.2.4向量組線性相關(guān)定理

證明推論4證明例133.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

例14證明3.2.4向量組線性相關(guān)定理

定理5證明3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

3.2.4向量組線性相關(guān)定理

目錄/Contents3.13.23.33.4向量向量組的秩與矩陣的秩向量空間3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)向量組及其線性相關(guān)性目錄/Contents3.3向量組的秩與矩陣的秩3.3.1向量組的秩3.3.2矩陣的秩3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

定義13.3.1向量組的秩3.3.1向量組的秩

例13.3.1向量組的秩

例2

3.3.1向量組的秩

3.3.1向量組的秩3.3.1向量組的秩

定義2定理1等價(jià)的向量組有相同的秩.因?yàn)槊總€(gè)向量組都與它的極大無關(guān)組等價(jià)，根據(jù)向量組等價(jià)的傳遞性，任意兩個(gè)等價(jià)的向量組的極大無關(guān)組也等價(jià)，因而有相同的秩.證明3.3.1向量組的秩證明：一個(gè)向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù).例3證明3.3.1向量組的秩

如果一個(gè)向量組本身線性無關(guān)，則這個(gè)向量組的極大無關(guān)組就是它自身，于是它的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)；

如果一個(gè)向量組的秩等于它所含向量的個(gè)數(shù)，則這個(gè)向量組顯然是線性無關(guān)的.

證明例43.3.1向量組的秩

定義33.3.2矩陣的秩

定義4

并規(guī)定：零矩陣的秩等于0.3.3.2矩陣的秩

3.3.2矩陣的秩

3.3.2矩陣的秩

例5證明3.3.2矩陣的秩

例6解3.3.2矩陣的秩

例7

3.3.2矩陣的秩解

于是

證明3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

經(jīng)過一次初等行變換不改變矩陣的秩，則經(jīng)過有限次初等行變換也不改變矩陣的秩.

3.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法

解例83.3.3向量組的秩與矩陣的秩的求法證明3.3.4矩陣秩的性質(zhì)定理4矩陣的行向量組的秩與它的列向量組的秩相等，都等于矩陣的秩.

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

例9解

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

3.3.4矩陣秩的性質(zhì)

目錄/Contents3.13.23.33.4向量向量組及其線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩向量空間3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)目錄/Contents3.4向量空間3.4.1向量空間及其子空間3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)3.4.3基變換與坐標(biāo)變換3.4.1向量空間及其子空間

3.4.1向量空間及其子空間

例13.4.1向量空間及其子空間

例23.4.1向量空間及其子空間

3.4.1向量空間及其子空間

例33.4.1向量空間及其子空間

性質(zhì)33.4.1向量空間及其子空間

123.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

證明命題13.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

解例63.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.2向量空間的基、維數(shù)與坐標(biāo)

3.4.3基變換與坐標(biāo)變換

解3.4.3基變換與坐標(biāo)變換

例73.4.3基變換與坐標(biāo)變換

3.4.3基變換與坐標(biāo)變換

3.4.3基變換與坐標(biāo)變換

例83.4.3基變換與坐標(biāo)變換解3.4.3基變換與坐標(biāo)變換

目錄/Contents3.13.23.33.4向量向量組及其線性相關(guān)性向量組的秩與矩陣的秩向量空間3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)目錄/Contents3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5.1線性方程組有解的判定3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)3.5.3非齊次線性方程組

3.5.1線性方程組有解的判定

3.5.1線性方程組有解的判定

3.5.1線性方程組有解的判定

證明3.5.1線性方程組有解的判定

3.5.1線性方程組有解的判定

定理23.5.1線性方程組有解的判定

證明3.5.1線性方程組有解的判定

證明3.5.1線性方程組有解的判定

3.5.1線性方程組有解的判定

證明

3.5.1線性方程組有解的判定

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

證明3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

證明3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

證明3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

3.5.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)