第十四章全等三角形14.3角的平分線（第1課時(shí)）1．理解“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”的性質(zhì)，并能證明這個(gè)性質(zhì)定理；2．運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題．說(shuō)一說(shuō)角平分線的定義？從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線.

前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，知道可以通過(guò)證明三角形全等，來(lái)證明線段相等或角相等．本節(jié)利用這個(gè)方法研究角的平分線，研究角的平分線上的點(diǎn)具有什么特性，以及滿足什么條件的點(diǎn)在角的平分線上．角的平分線上的點(diǎn)的特性是由其與角的兩邊的關(guān)系體現(xiàn)的．我們先來(lái)看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段的數(shù)量關(guān)系．探究：如圖所示，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的任意一點(diǎn)，M，N分別是OA，OB上的點(diǎn)，我們研究PM與PN的關(guān)系．研究幾何圖形的關(guān)系時(shí)，我們往往關(guān)注其中的一些特殊情況．在圖中，當(dāng)OM與ON滿足什么關(guān)系時(shí)，PM＝PN？在圖中可以發(fā)現(xiàn)，在△OPM和△OPN中，OP＝OP，∠POM＝∠PON．如果OM＝ON，那么△OPM≌△OPN（SAS），就有PM＝PN．反過(guò)來(lái)，如圖所示，M，N分別是∠AOB的邊OA，OB上的點(diǎn)，OM＝ON．點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PM＝PN．連接OP，可以證明△OPM≌△OPN（SSS），所以∠POM＝∠PON，即點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．思考：由上述結(jié)論，你能想到如何作一個(gè)角的平分線嗎？分析：根據(jù)上述結(jié)論，可以先在角的兩邊上分別作出與角的頂點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，再在角的內(nèi)部作出與這兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)，作過(guò)這個(gè)點(diǎn)的射線，就能得到角的平分線了．

想一想為什么？下面再來(lái)看角的平分線上的點(diǎn)與角兩邊上的點(diǎn)所連線段與角兩邊的位置關(guān)系，我們?nèi)匝芯科渲械奶厥馇樾危骄浚喝鐖D所示，OC是∠AOB的平分線．點(diǎn)P1，P2，P3，…在OC上，過(guò)點(diǎn)P1，P2，P3，…分別畫(huà)OA與OB的垂線，垂足分別為D1與E1、D2與E2、D3與E3……．分別比較P1D1與P1E1、P2D2與P2E2、P3D3與P3E3……，你有什么發(fā)現(xiàn)？P1D1＝P1E1，P2D2＝P2E2，P3D3＝P3E3，…，猜想角的平分線有以下性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．你能利用全等三角形證明這個(gè)性質(zhì)嗎？我們證明這個(gè)性質(zhì)．首先，要分清其中的“已知”和“求證”．顯然，已知為“一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上”，要證的結(jié)論為“這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等”．為了更直觀、清楚地表達(dá)題意，我們通常在證明之前畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證．已知：如圖所示，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：PD＝PE．分析：如果能證明△OPD≌△OPE，就可以得到PD＝PE．由題意可知，△OPD和△OPE具備“角角邊”的條件．

一般情況下，要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類(lèi)似的步驟進(jìn)行，即1．明確命題中的已知和求證；2．根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；3．經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程．根據(jù)題意，畫(huà)出圖形時(shí)，作圖要盡量規(guī)范，通過(guò)觀察、測(cè)量規(guī)范的圖形可猜想有關(guān)結(jié)論；不規(guī)范的圖形容易誤導(dǎo)解題思路．角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．角的平分線的性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．符號(hào)語(yǔ)言:∵點(diǎn)P在∠AOB平分線上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.（1）“距離”指的是點(diǎn)到角的兩邊的垂線段的長(zhǎng)度；（2）使用該性質(zhì)的前提條件是圖中有角平分線和垂直條件．例：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：∠B＝∠C.

【知識(shí)技能類(lèi)練習(xí)】必做題：

D【知識(shí)技能類(lèi)練習(xí)】必做題：

C【知識(shí)技能類(lèi)練習(xí)】必做題：

【知識(shí)技能類(lèi)練習(xí)】選做題：

3或5【綜合拓展類(lèi)練習(xí)】5．如圖，有3條公路a，b，c兩兩相交，現(xiàn)在要修建加氣站，使得加氣站到3條公路的距離都相等．(1)滿足條件的加氣站共有______處；(2)請(qǐng)你找出一處加氣站P的位置．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）4

角的平分線尺規(guī)作角的平分線角的平分線的性質(zhì)幾何命題的證明步驟角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等