蘇教版2019高一數(shù)學(xué)（必修一）第五章函數(shù)的概念與性質(zhì)5.4函數(shù)的奇偶性0203050604

典型例題（含課本例題）

知識點講解

情景導(dǎo)入

課堂小結(jié)

課堂練習(xí)（含課本練習(xí)）01學(xué)習(xí)目標(biāo)目錄/CONTENTS學(xué)習(xí)目標(biāo)1、結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義(難點).2、掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性之間的關(guān)系(重點).3、會利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題(重點).情景導(dǎo)入在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱現(xiàn)象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵，六角形的雪花晶體，有倒影的山水景色·····

新知探究●怎樣用數(shù)量關(guān)系來刻畫函數(shù)圖象的這種對稱性?

實際上，對于函數(shù)f(x)＝x2定義域R

內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝x3＝f(x).這時我們稱函數(shù)f(x)＝x2為偶函數(shù).

一般地設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝fx那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f（-x）那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們稱函數(shù)f(x)具有奇偶性.

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可知,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.課本例題例1判定下列函數(shù)是否為偶函數(shù)或奇函數(shù)：(1)f(x)＝x2－1；解：函數(shù)f(x)＝x2－1的定義域是R.

因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝－1是偶函數(shù).(2)f(x)＝2x；解：函數(shù)f(x)＝2x

的定義域是R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2(－x)＝－2x＝－f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝2x

是奇函數(shù).(3)f(x)＝2∣x∣；解：函數(shù)f(x)＝2∣x∣的定義域是R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)，

所以函數(shù)f(x)＝2∣x∣是偶函數(shù).(4)f(x)＝(x－1)2.解：函數(shù)f(x)＝(x－1)2

的定義域是R.因為f(1)＝0，f(－1)＝4，，所以f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1).因此，根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可以知道，函數(shù)f(x)＝(x－1)2

既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).例2判斷函數(shù)f(x)＝x3＋5是否具有奇偶性.解函數(shù)f(x)的定義域為R.因為對于任意的x∈R，都有－x∈R，

且f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－

f(x)，

所以函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù).課本練習(xí)

B2.函數(shù)f(x)＝x2＋2x

的圖象是否關(guān)于某條直線對稱?它是否為偶函數(shù)?解

f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，∵偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱∴函數(shù)f(x)＝x2＋2x不是偶函數(shù).3.已知函數(shù)f(x)在y軸右邊的圖象如圖所示.(1)若f(x)是偶函數(shù)，試畫出函數(shù)f(x)在y軸左邊的圖象；(2)若f(x)是奇函數(shù)，試畫出函數(shù)f(x)在y

軸左邊的圖象.4.對于定義在R

上的函數(shù)f(x)，下列判斷是否正確?(1)若f(x)是偶函數(shù)，則f(－2)＝f(2)；解若f(x)是偶函數(shù)，則對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)，所以，f(－2)＝f(2)成立，該判斷正確；(2)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；解若f(－2)＝f(2)，但是不一定有對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)成立，不滿足偶函數(shù)的定義，該判斷錯誤；(3)若f(－2)≠f(2)，則函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)；解若f(－2)≠f(2)，

則對任意實數(shù)x都有f(－x)＝f(x)不成立，

根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，f(x)不是偶函數(shù)該判斷正確；(4)若f(－2)＝f(2)，則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù).解若取f(x)＝x3－4x，滿足f(－2)＝f(2)，但f(x)是奇函數(shù)，該判斷錯誤.5.證明函數(shù)f(x)＝x3－x在R

上是奇函數(shù).證明：∵f(x)＝x3－x，定義域為R，∴f(－x)＝(－x)3－(－x)

＝－x3＋x

＝－(x3－x)＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)＝x3－x在R上是奇函數(shù).6.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(3)f(x)＝2∣x∣－3.解∵f(x)＝2∣x∣－3的定義域為R，其定義域關(guān)于原點對稱，又∵f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)，∴f(x)＝2∣x∣－3為偶函數(shù).7.求證：(1)f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是R上的偶函數(shù)；解∵f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定義域為R，∴f(－x)＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)，

∴函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；(2)g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是R上的奇函數(shù)；解∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定義域為R，∴g(－x)＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣

＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x).∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).題型分類講解題型一函數(shù)奇偶性判斷解(1)函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).(2)由x2－1≥0且1－x2≥0，得x＝±1，故函數(shù)f(x)的定義域為{－1，1}，關(guān)于原點對稱，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(3)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠1}，不關(guān)于原點對稱，∴f(x)是非奇非偶函數(shù).解f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱.當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)；當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1＝f(x).綜上可知，對于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù).題型二奇、偶函數(shù)的圖象特征∴f(x)為偶函數(shù)，故f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖所示，(2)求證：f(x)＋g(x)＝1(x≠0).即f(x)＋g(x)＝1(x≠0).題型三由奇偶性求參數(shù)值4.(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為[a，2a＋1]，則a＝________，b＝________. (2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實數(shù)a＝________.解析(1)因為偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，00(2)由奇函數(shù)定義有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.題型四利用奇偶性求解析式角度1求對稱區(qū)間上的解析式5.(1)函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時，f(x)＝________.解析設(shè)x>0，則－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，故當(dāng)x>0時，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0時，f(x)＝x(x＋1).x(x＋1)(2)函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝解析設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)＝2x2＋3x－1，即當(dāng)x<0時，f(x)＝2x2＋3x－1.因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.__________________.用－x代替x，解∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，題型五奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用角度1比較大小7.(1)若對于任意實數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則(

)∵對任意實數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴f(2)＝f(－2).B(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是(

)A.f(π)>f(－3)>f(－2)

B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2)

D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析因為函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).A角度2利用奇偶性、單調(diào)性解不等式8.(1)設(shè)定義在[－3，3]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，3]上是減函數(shù)，若f(1－m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍；解因為f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0，3]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3，3]上是減函數(shù).(2)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)g(