第五章

二元一次方程組5.3二元一次方程組的應用八年級上│BS5.3.2百分率與配比問題1.能通過表格梳理實際問題中的已知量與未知量，建立二元一次方程組模型.2.通過實際問題，體會數(shù)學建模思想，掌握完整的解題步驟.重點難點學習目標：列二元一次方程組解應用題的一般步驟：回顧(1)審題：弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)元：用字母表示題目中的未知數(shù)；(3)列方程組：根據(jù)2個等量關(guān)系列出方程組；(4)解方程組：利用代入消元法或加減消元法解出未知數(shù)的值；(5)檢驗并答：檢驗所求的解是否符合實際意義，然后作答.新課導入：(1)這個問題涉及哪些量？前年的量：總收入、總支出、利潤；去年的量：總收入、總支出、利潤；

某工廠前年的利潤(總收入﹣總支出)為200萬元.去年的總收入比前年增加了20%，總支出比前年減少了10%，去年的總利潤為780萬元.前年的總收入、總支出各是多少萬元?新知學習：(2)這些量之間有怎樣的等量關(guān)系？

某工廠前年的利潤(總收入﹣總支出)為200萬元.去年的總收入比前年增加了20%，總支出比前年減少了10%，去年的總利潤為780萬元.前年的總收入、總支出各是多少萬元?①前年的總產(chǎn)值﹣前年的總支出=200萬元，②去年的總產(chǎn)值﹣去年的總支出=780萬元.分析：找出等量關(guān)系嘗試列表格梳理一下題目中的已知量和未知量.題目中信息雜亂交織，怎樣才能快速列出等量關(guān)系式呢？去年的總支出=前年的總支出×(1﹣10%)去年的總產(chǎn)值=前年的總產(chǎn)值×(1+20%)(3)你能用表格梳理問題中的已知量和未知量嗎？年份總收入/萬元總支出/萬元利潤/萬元前年xy去年2001.2x0.9y780

某工廠前年的利潤(總收入﹣總支出)為200萬元.去年的總收入比前年增加了20%，總支出比前年減少了10%，去年的總利潤為780萬元.前年的總收入、總支出各是多少萬元?設(shè)前年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則有年份總收入/萬元總支出/萬元利潤/萬元前年xy200去年1.2x0.9y780解：設(shè)前年的總收入為x萬元，總支出為y萬元，則有由上表，列得方程組解這個方程組，得因此，前年的總收入是2000萬元，總支出是1800萬元．對于復雜的實際問題，可以通過列表的方法將所有的數(shù)量關(guān)系進行整理，發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系，列出方程組.歸納總結(jié)例

醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的患者配制營養(yǎng)品．每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)．若患者每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足患者的需要？成分甲原料

xg乙原料

yg患者營養(yǎng)品其中所含蛋白質(zhì)其中所含鐵質(zhì)分析：設(shè)每餐用甲原料x克、乙原料y克.0.5x0.7yx0.4y3540解：設(shè)每餐需要甲原料x

克、乙原料y

克，根據(jù)題意，得解這個方程組，得所以，每餐用甲原料28克、乙原料30克可以恰好滿足患者的需要.0.5x+0.7y=35x+0.4y=40x=28y=30(1)如果設(shè)每克甲種食物含蛋白質(zhì)x個單位，每克乙種食物含蛋白質(zhì)y個單位，請用含x，y的代數(shù)式填表：每克甲種食物每克乙種食物蛋白質(zhì)含量(單位)xy鐵含量(單位)變式

為提高病人免疫力，某醫(yī)院精選甲，乙兩種食物為病人配制營養(yǎng)餐，其中每克甲種食物的鐵含量是蛋白質(zhì)含量的2倍，每克乙種食物的鐵含量是蛋白質(zhì)含量的

.2x(2)如果病人每餐需要35個單位的蛋白質(zhì)和40個單位的鐵，每餐需要甲、乙兩種食物分別為28克、30克，求每克甲種食物含蛋白質(zhì)、鐵各多少個單位？變式

為提高病人免疫力，某醫(yī)院精選甲，乙兩種食物為病人配制營養(yǎng)餐，其中每克甲種食物的鐵含量是蛋白質(zhì)含量的2倍，每克乙種食物的鐵含量是蛋白質(zhì)含量的

.解：根據(jù)題意得：28x+30y=3628×2x+30×=40x=0.5y=0.7，解得，所以，2x=1，所以，每克甲種食物含蛋白質(zhì)0.5個單位、鐵1個單位.思考·交流

在列方程組解決問題時，如何梳理其中的關(guān)鍵信息?對此你有哪些心得體會?1.明確問題類型，定位核心變量；2.四步表格梳理法：①提取所有量；②分類填表；③提煉等量關(guān)系；④檢查完整性：確保每個獨立條件對應一個方程，變量數(shù)與方程數(shù)一致.1.(2025浙江)手工社團的同學制作兩種手工藝品A和B，需要用到彩色紙和細木條，單個手工藝品材料用量如下表.C如果一共用了17張彩色紙和10捆細木條，問他們制作的兩種手工藝品各有多少個?設(shè)手工藝品A有x個，手工藝品B有y個，則x和y滿足的方程組是()材料類別彩色紙(張)細木條(捆)手工藝品A53手工藝品B21A.B.C.D.

2.(2025江西)某文物考古研究院用1∶1復原的青銅蒸餾器進行了蒸餾酒實驗.用復原的青銅蒸餾器蒸餾糧食酒和芋頭酒，需要的原材料與出酒率

如下表：類別原材料出酒率糧食酒糧食糟醅(含大米、糯米、谷殼、大曲和蒸餾水)30%芋頭酒芋頭糟醅(含芋頭、小曲和蒸餾水)20%如果第一次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤；第二次實驗分別蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤，且所用的糧食糟醅量是第一次的2倍，芋頭糟醅量是第一次的3倍.解：第一次蒸餾出糧食酒為30%x公斤，蒸餾出芋頭酒為20%y公斤，第一次蒸餾出糧食酒和芋頭酒共16公斤；第二次蒸餾出糧食酒為30%×2x公斤，蒸餾出芋頭酒為20%×3y公斤，第二次蒸餾出糧食酒和芋頭酒共36公斤；由題意可列方程組為解得答：第一次實驗用了40公斤糧食糟醅，20公斤芋頭糟醅.(1)求第一次實驗分別用了多少公斤糧食糟醅和芋頭糟醅?(2)受限于當時的生產(chǎn)條件，古代青銅蒸餾器的出酒量約為現(xiàn)代復原品的80%.若糧食糟醅中大米占比約為

，請問，在古代要想蒸餾出這兩次實驗得到的糧食酒總量，需要準備多少公斤大米?解：設(shè)需要準備m公斤大米，根據(jù)題意得解得(m÷)×30%×80%=(40+40×2)×30%，解得m=37.5.答：需要準備37.5公斤大米.3.泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購進了A種茶30盒，B種茶20盒，共花費6000元；第二次購進時，兩種茶每盒的價格都提高了20%,該店又購進了A種茶20盒，B種茶15盒，共花費5100元.求第一次購進的A、B兩種茶每盒的價格.解：設(shè)第一次購進A種茶的價格為x元/盒，B種茶的價格為y元/盒，答：第一次購進A種茶的價格為100元/盒，B種茶的價格為150元/盒.依題意得：解得：4.農(nóng)機購置補貼政策推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興.王大伯今年承包一片地后，購買了一臺大型農(nóng)機和一臺小型農(nóng)機，已知大型農(nóng)機的單價比小型農(nóng)機單價的4倍還貴4000元.大型農(nóng)機按售價的20%給予補貼，小型農(nóng)機按售價的10%給予補貼，最終補貼給王大伯18800元.根據(jù)題意填寫下表：小型農(nóng)機大型農(nóng)機合計單價/元xy補貼金額/元①

?②

?③

?10%x20%y18800解：設(shè)小型農(nóng)機的單價為

x元，大型農(nóng)機的單價為

y元，則有由上表，列得方程組解這個方程組，得答：小型農(nóng)機的單價為20000

元，大型農(nóng)機的單價為18800元.5.本地某快遞公司規(guī)定，寄件不超過1

kg的部分為首重，按起步價計費；

寄件超過1

kg的部分(以1

kg為計重單位，向上取整數(shù))為續(xù)重，按千克計

費.本地發(fā)往北京的快件，首重起步價比發(fā)往廣州貴3元，續(xù)重計費比發(fā)往

廣州每千克貴4元.小穎分別寄快遞到北京和廣州，收費標準及實際收費如

下表：收費標準：起步價(元)超過1

kg的部分(元/kg)北京mn廣州m﹣3n﹣4質(zhì)量(kg)費用(元)北京428廣州311(1)求m，n的值；解：根據(jù)題意，得解得m+(4﹣1)n=28(m﹣3)+(3﹣1)(n﹣4)=11m=10n=6實際收費：(2)小亮要通過該公司將兩個質(zhì)量均為5

kg的包裹分別寄往北京和廣州，問

這兩個包裹的快遞費用相差多少元？解：寄到北京的費用為10+(5﹣1)×6＝34(元)，寄到廣州的費用為(10﹣3)+(5﹣1)×(6﹣4)＝15(元)，