幻燈片1：封面標(biāo)題：18.1.2分式的基本性質(zhì)副標(biāo)題：人教版初中數(shù)學(xué)（八年級(jí)上冊(cè)）制作人：[你的名字]日期：[具體日期]銜接提示：上節(jié)課我們認(rèn)識(shí)了分式的概念，知道分式與分?jǐn)?shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別。今天，我們將延續(xù)這種“從分?jǐn)?shù)到分式”的類比思路，探索分式的基本性質(zhì)——它是分式變形、約分和通分的基礎(chǔ)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)分式運(yùn)算的關(guān)鍵?；脽羝?：課程導(dǎo)入舊知回顧：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。例如：\(\frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{6}{8}=\frac{6\div2}{8\div2}=\frac{3}{4}\)（注意：乘或除以的數(shù)不能為0）；分式的概念：形如\(\frac{A}{B}\)（A、B為整式，B含字母且B≠0）的式子叫分式。情境問題：類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分式\(\frac{a}\)（b≠0）的分子與分母同乘一個(gè)不為0的整式，分式的值會(huì)改變嗎？例如\(\frac{a}\)與\(\frac{a\timesc}{b\timesc}\)（c≠0，c為整式）的值是否相等？若將分式\(\frac{x^2}{xy}\)（x≠0，y≠0）的分子與分母同時(shí)除以x，得到\(\frac{x}{y}\)，這兩個(gè)分式的值是否相等？帶著這些疑問，我們來學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)?；脽羝?：分式的基本性質(zhì)推導(dǎo)與表述1.類比推導(dǎo)：分?jǐn)?shù)中，分子分母同乘（除）非0數(shù)，值不變；分式中，分子分母均為整式，類比可得：若給分式\(\frac{A}{B}\)（B≠0）的分子A、分母B同時(shí)乘一個(gè)不為0的整式C，由于C是整式且C≠0，不會(huì)導(dǎo)致分母為0（B≠0，C≠0則B×C≠0），分式的本質(zhì)（分子分母的倍數(shù)關(guān)系）不變，因此分式的值不變；同理，分子分母同時(shí)除以一個(gè)不為0的整式C（C是A、B的公因式，且C≠0），分式的值也不變。2.性質(zhì)表述：文字語言：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變；符號(hào)語言：\(\frac{A}{B}=\frac{A\timesC}{B\timesC}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}\)（其中A、B、C是整式，且B≠0，C≠0）；核心強(qiáng)調(diào)：“同乘（除）”“不為0的整式”是兩個(gè)關(guān)鍵條件，缺一不可——若C=0，會(huì)導(dǎo)致分母為0（B×C=0），分式無意義。幻燈片4：分式基本性質(zhì)的符號(hào)法則1.符號(hào)規(guī)律推導(dǎo)：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，結(jié)合“負(fù)號(hào)的運(yùn)算規(guī)則”，可得出分式的符號(hào)法則：分式的分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變。例如：\(\frac{-a}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}\)，\(\frac{-a}{-b}=\frac{a}\)；推導(dǎo)：以\(\frac{-a}\)為例，分子乘-1，分母乘-1（同乘非0整式-1），得\(\frac{(-a)\times(-1)}{b\times(-1)}=\frac{a}{-b}\)，與原分式值相等；同理，\(\frac{-a}=\frac{-a\div(-1)}{b\div(-1)}=\frac{a}{-b}\)。2.符號(hào)法則應(yīng)用（化簡(jiǎn)符號(hào)）：例1：化簡(jiǎn)\(\frac{-x}{-y}\)：改變分子和分母兩個(gè)符號(hào)，值不變，得\(\frac{x}{y}\)；例2：化簡(jiǎn)\(\frac{2}{-x+y}\)：先整理分母為\(y-x\)，或改變分母和分式本身符號(hào)，得\(-\frac{2}{x-y}\)（注意：通常將分母的符號(hào)化為正，方便后續(xù)運(yùn)算）?；脽羝?：例題講解（利用性質(zhì)進(jìn)行分式變形）例題1（根據(jù)性質(zhì)填括號(hào)）：\(\frac{x}{y}=\frac{x\times(\quad)}{y\times2z}\)（z≠0）；\(\frac{a+b}{ab}=\frac{(\quad)}{a^2b}\)（a≠0）；\(\frac{x^2-xy}{x^2}=\frac{x-y}{(\quad)}\)（x≠0）。解題步驟：分母乘2z（z≠0），根據(jù)性質(zhì)，分子也需乘2z，故填“2z”；分母從ab變?yōu)閍2b，乘了a（a≠0），分子也需乘a，即\((a+b)\timesa=a^2+ab\)，故填“a2+ab”；分子從x2-xy變?yōu)閤-y，除以了x（x≠0），分母也需除以x，即x2

÷x=x，故填“x”。例題2（利用性質(zhì)化簡(jiǎn)符號(hào)）：化簡(jiǎn)下列分式的符號(hào)：\(\frac{-3a}{-6b}\)；2.\(\frac{-m}{n-1}\)；3.\(\frac{2-x}{-x^2+3}\)。解題步驟：分子分母均為負(fù)，改變兩個(gè)符號(hào)，得\(\frac{3a}{6b}\)（可進(jìn)一步約分，后續(xù)學(xué)習(xí)）；僅分子為負(fù)，可將負(fù)號(hào)移到分式前，得\(-\frac{m}{n-1}\)；分母整理為\(3-x^2\)，分子為\(2-x=-(x-2)\)，分母為\(-(x^2-3)\)，改變分子和分母符號(hào)，得\(\frac{x-2}{x^2-3}\)。幻燈片6：例題講解（分式的約分——基本性質(zhì)的核心應(yīng)用）1.約分的定義：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。約分的目標(biāo)是將分式化為“最簡(jiǎn)分式”（分子與分母沒有公因式的分式）。2.約分步驟：第一步：找分子、分母的公因式（系數(shù)找最大公約數(shù)，相同字母找最低次冪，多項(xiàng)式先因式分解）；第二步：分子、分母同時(shí)除以公因式；第三步：檢查是否為最簡(jiǎn)分式（無公因式則停止）。例題3（單項(xiàng)式型分式約分）：約分：\(\frac{12a^2b^3}{18a^3b}\)（a≠0，b≠0）。解題步驟：找公因式：系數(shù)：12和18的最大公約數(shù)是6；字母：a的最低次冪是a2，b的最低次冪是b；公因式為6a2b；分子分母同除以公因式：\(\frac{12a^2b^3\div6a^2b}{18a^3b\div6a^2b}=\frac{2b^2}{3a}\)檢查：\(\frac{2b^2}{3a}\)的分子分母無公因式，是最簡(jiǎn)分式。例題4（多項(xiàng)式型分式約分）：約分：\(\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}\)（x≠-2）。解題步驟：因式分解分子分母（先分解，再找公因式）：分子：\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)（平方差公式）；分母：\(x^2+4x+4=(x+2)^2\)（完全平方公式）；找公因式：\((x+2)\)（x≠-2，故公因式不為0）；約分：\(\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}=\frac{x-2}{x+2}\)檢查：\(\frac{x-2}{x+2}\)分子分母無公因式，是最簡(jiǎn)分式。幻燈片7：分式基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的對(duì)比對(duì)比維度分式的基本性質(zhì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別變形依據(jù)分子分母同乘（除）不為0的整式分子分母同乘（除）不為0的數(shù)核心邏輯一致（同乘除非0對(duì)象，值不變），但對(duì)象范圍不同（整式vs數(shù)）應(yīng)用場(chǎng)景分式變形、約分、通分、分式運(yùn)算分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)、通分、分?jǐn)?shù)運(yùn)算應(yīng)用目的相似，均為簡(jiǎn)化運(yùn)算或統(tǒng)一形式，但分式應(yīng)用更復(fù)雜（需處理整式因式分解）關(guān)鍵限制整式C≠0，且保證分母B×C≠0數(shù)c≠0均需避免分母為0，分式額外需保證整式C不為0示例\(\frac{a}=\frac{a(x+1)}{b(x+1)}\)（x≠-1，b≠0）\(\frac{2}{3}=\frac{2??4}{3??4}\)示例1乘整式，示例2乘整數(shù)，本質(zhì)均遵循“同乘非0對(duì)象”幻燈片8：課堂練習(xí)（分層鞏固）基礎(chǔ)題：根據(jù)分式的基本性質(zhì)填空：①\(\frac{3}{x}=\frac{(\quad)}{x^2y}\)（x≠0，y≠0）；②\(\frac{a^2-ab}{a}=\frac{a-b}{(\quad)}\)（a≠0）；③\(\frac{-m}{-n}=\frac{(\quad)}{n}\)；約分：①\(\frac{6x^2y}{9xy^2}\)；②\(\frac{5ab^2}{10a^2b}\)。提升題：3.化簡(jiǎn)符號(hào)并約分：①\(\frac{-x^2+2x}{x^2-4}\)；②\(\frac{(x-y)^2}{y^2-x^2}\)（x≠y）；已知\(\frac{x}{y}=2\)，利用分式基本性質(zhì)求\(\frac{x^2-xy}{x^2+y^2}\)的值（提示：分子分母同除以y2）。解題提示：第1題①：3xy；②：1；③：m；第2題①：\(\frac{2x}{3y}\)；②：\(\frac{2a}\)；第3題①：分子=-x(x-2)，分母=(x+2)(x-2)，約分后得\(-\frac{x}{x+2}\)；②：分母=-(x2-y2)=-(x-y)(x+y)，約分后得\(-\frac{x-y}{x+y}\)；第4題：分子分母同除以y2，得\(\frac{(\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}}{(\frac{x}{y})^2+1}=\frac{4-2}{4+1}=\frac{2}{5}\)?；脽羝?：易錯(cuò)點(diǎn)與注意事項(xiàng)忽略“整式不為0”的條件：如由\(\frac{a}=\frac{a(x+1)}{b(x+1)}\)，誤認(rèn)為x可取任意值，忽略x=-1時(shí)x+1=0，分式無意義；約分不徹底：如將\(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\)約分為\(\frac{x-1}{x+1}\)是正確的，但誤約分為\(\frac{x^2-1}{(x+1)^2}\)（未分解分子）或\(\frac{x-1}{x^2+2x+1}\)（未約去分母的公因式），均為不徹底；符號(hào)處理錯(cuò)誤：如將\(\frac{2-x}{x-3}\)化簡(jiǎn)為\(\frac{x-2}{x-3}\)（僅改變分子符號(hào)，未改變分式或分母符號(hào)），正確應(yīng)為\(-\frac{x-2}{x-3}\)；混淆“同乘”與“同加”：誤將分式性質(zhì)記為“分子分母同加一個(gè)整式，值不變”（如\(\frac{1}{2}\neq\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}\)），需明確是“同乘除”而非“同加減”?；脽羝?0：課堂小結(jié)核心知識(shí)梳理：類別具體內(nèi)容分式的基本性質(zhì)分子分母同乘（除）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，符號(hào)表示：\(\frac{A}{B}=\frac{A??C}{B??C}=\frac{A?·C}{B?·C}\)（B≠0，C≠0）符號(hào)法則分子、分母、分式本身的符號(hào)，改變?nèi)我鈨蓚€(gè)，分式的值不變約分（性質(zhì)應(yīng)用）步驟：1.因式分解（多項(xiàng)式）；2.找公因式；3.同除公因式；4.得最簡(jiǎn)分式關(guān)鍵注意事項(xiàng)1.乘除的整式必須不為0；2.約分需徹底（化為最簡(jiǎn)分式）；3.符號(hào)化簡(jiǎn)遵循“變二不變一”思想方法類比思想（從分?jǐn)?shù)性質(zhì)類比分式性質(zhì)）、轉(zhuǎn)化思想（多項(xiàng)式分式轉(zhuǎn)化為因式分解后約分）幻燈片11：課后作業(yè)完成課本對(duì)應(yīng)練習(xí)題（如習(xí)題18.1第4、5題）；利用分式基本性質(zhì)填空或約分：①\(\frac{x}{x+1}=\frac{(\quad)}{x^2-1}\)（x≠1）；②\(\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}\)；③\(\frac{-2ab^2}{-8a^2b}\)；拓展思考：①

若分式\(\frac{x^2-1}{(x-1)(x+2)}\)的值為0，求x的值（提示：結(jié)合分式值為0的條件與約分）；②

已知\(\frac{a}=\frac{3}{4}\)，求\(\frac{2a-b}{a+2b}\)的值（提示：設(shè)a=3k，b=4k，代入計(jì)算）?！?024新教材】2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)

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18.1.2分式的基本性質(zhì)第18章

分式aiTujmiaNg分?jǐn)?shù)的約分與通分1.什么是分?jǐn)?shù)的約分？

2.什么是分?jǐn)?shù)的通分？

如果把分?jǐn)?shù)換為分式，又會(huì)如何呢？導(dǎo)入新知溫故知新約去分子與分母的最大公約數(shù)，化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).

先找分子與分母的最簡(jiǎn)公分母，再使分子與分母同乘最簡(jiǎn)公分母，計(jì)算即可.上面幾個(gè)分?jǐn)?shù)是否相等？

這些分?jǐn)?shù)相等的依據(jù)是什么？分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).相等.分式的基本性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1探究新知問題1：觀察這幾個(gè)分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)的分子、分母都乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變．探究新知你能敘述分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？問題2：一般地，對(duì)于任意一個(gè)分?jǐn)?shù)，有其中a，

b，

c是數(shù)．你能用字母的形式表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？探究新知問題3：下面的變形成立嗎？

根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以知道，上面的變形成立.說一說分式的基本性質(zhì)：

分式的分子與分母乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你能想出分式有什么性質(zhì)嗎？探究新知問題4：追問1如何用式子表示分式的基本性質(zhì)？其中A，B，C（C≠0）是整式.探究新知(1)分子、分母應(yīng)同時(shí)做乘、除法中的同一種運(yùn)算；(2)所乘(或除以)的必須是同一個(gè)整式；(3)所乘(或除以)的整式應(yīng)該不等于零.

追問2

應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)需要注意什么？

探究新知例

下列等式成立嗎？右邊是怎樣從左邊得到的？解:(1)成立.

因?yàn)?/p>

，

所以素養(yǎng)考點(diǎn)1分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用探究新知(2)成立.因?yàn)?/p>

，所以解：(1)正確．分子、分母除以同一個(gè)不等于0的整式x；

(2)不正確．分子乘x，而分母沒乘；

(3)正確．分子、分母除以同一個(gè)不等于0的整式(x-y)．(1)

（2）（3）下列變形是否正確？如果正確，說出是如何變形的？如果不正確，說明理由.鞏固練習(xí)不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號(hào)：(1)

；(2)；(3)

；(4)

．解：

分式的變號(hào)法則：分式的分子、分母及分式本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變.鞏固練習(xí)填空：知識(shí)點(diǎn)2約分探究新知像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫作分式的約分．經(jīng)過約分后的分式如上例，其分子與分母沒有公因式．像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫作最簡(jiǎn)分式．觀察上例中(1)中的兩個(gè)分式在變形前后的分子、分母有什么變化？類比分?jǐn)?shù)的相應(yīng)變形，你聯(lián)想到什么？分式的分子、分母約去公因式，值不變.探究新知問題5：解：素養(yǎng)考點(diǎn)2約分的應(yīng)用探究新知例

約分:約分的方法：①如果分式的分子、分母都是單項(xiàng)式，直接約去分子、分母的公因式；②如果分子或分母是多項(xiàng)式，就要先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后約分.③約分結(jié)果為最簡(jiǎn)分式或整式.探究新知?dú)w納總結(jié)下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是:

(填序號(hào)).(2)鞏固練習(xí)(4)解：

約分：

鞏固練習(xí)通分知識(shí)點(diǎn)3探究新知填空：分母乘2ac，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也乘2ac.分母乘3b，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也乘3b，整理得6ab-3b2像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.1.通分的依據(jù)是