第二章

實數(shù)2.3二次根式八年級上│BS

2.3.3二次根式的混合運算1.掌握二次根式的混合運算法則.2.熟練地進行二次根式混合運算.3.

掌握二次根式分母有理化的方法，并能熟練運用其化簡二次根式.學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)請你計算：

，.(2)小明是這樣計算

的：分子、分母同乘

的目的是什么？為了把分母中的二次根式轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，讓后續(xù)的運算更簡便.思考計算

，你有哪些方法？方法一：原式===方法二：原式===歸納總結(jié)分母有理化的方法:1.分母為單項式時，給分子分母同乘分母后化簡即可；2.分母為多項式時，可以利用平方差公式進行分母有理化.(a、b不為0，且a≠b)(a、b不為0，且a≠b)問題1

單項式與多項式、多項式與多項式的乘法法則分別是什么?問題2

多項式與單項式的除法法則是什么?m(a+b+c)=ma+mb+mc；(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb(ma+mb+mc)÷m=a+b+c若把字母

a，b，c，m，n都用二次根式代替(每個同學(xué)任選一組)，然后對比歸納，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么？二次根式的加、減、乘、除混合運算與整式運算一樣，體現(xiàn)在：運算律、運算順序、乘法法則仍然適用.計算：(1)；(2)；解：(1)；(2)；計算：(4)；(3)；(4)原式

(3)原式

；.你還有其他解法嗎?點撥：

化成最簡二次根式后與

，

化簡后的被開方數(shù)不可能相同，因此，結(jié)果中可以保留

，不必將它化成最簡二次根式.(4)解法三：原式=====(4)解法二：原式====(4)；(4)解法四：原式====(4)；變式

計算：解：(1)原式=

=(2)原式==(3)原式===3+5=8；

；

.嘗試·思考解法一：把

a=3，b=2代入代數(shù)式中，原式===解法二：原式==把

a=3，b=2代入代數(shù)式中，原式=計算

，其中a=3，b=2.你是怎么做的？

解二次根式化簡求值題目時，直接代入求值往往很麻煩，一般應(yīng)先化簡所求式子，再用代入數(shù)字求值.

已知

，求解：因為

，先化簡已知條件，再利用乘法公式變形，即a2+b2=(a+b)2﹣2ab,最后代入求解.變式，所以

，

.所以

思考·交流如圖，方格紙中小方格的邊長均為1，(1)求圖中梯形ABCD的周長.DCBA解：(1)因為小正方形的邊長為1，所以

AD=6，AB=，BC=，CD=.所以C梯形ABCD=.思考·交流如圖，方格紙中小方格的邊長均為1，(2)求圖中梯形ABCD的面積.你有哪些求解方法？

DCBADCBA方法1：分割法可把梯形ABCD

分割成一個三角形和一個平行四邊形，如圖所示.S梯形ABCD=S1+S2=×6×4+6×1=12+6=18.S1S2方法2：補圖法通過補圖，可把梯形ABCD

變成一個長方形，如圖所示.S梯形ABCD=S長方形AEFG

﹣S1﹣S2

﹣S3===18.DCBAS1S2S3EFG方法3：公式法連接DE，

因為DE2=32+32=18，AE2=32+32=18，AD2=62=36，所以，DE2+AE2=AD2.所以，△ADE

為直角三角形，即DE⊥AB.DCBAES梯形ABCD=1.下列計算中正確的是()B2.設(shè)則a

b(填“>”“<”或“=”).

=

3.(2025甘肅)計算解：原式=課堂練習(xí)：4.已知

試求

x2+2xy+y2的值.解：

因為

x2+2xy+y2=(x+y)2，所以把

代入上式得原式=

.5.某文化公園內(nèi)有一面矩形藝術(shù)作品展示墻，如圖，矩形藝術(shù)作品展示墻的長AD=m，寬AB=m，現(xiàn)要在藝術(shù)作品展示墻中繪出一幅矩形的“絲綢之路”圖畫(即圖中陰影部分)，矩形圖畫的長為(+1)m，寬為(﹣1)m，除去圖畫部分，其余部分都要涂上彩色的油漆．(1)求矩形藝術(shù)作品展示墻ABCD的周長(結(jié)果化為最簡二次根式)；(2)若一桶彩色油漆可以涂15.5m2的展示墻，那么除去圖畫部分，涂滿其余部分需要多少桶彩色油漆？解：(1)矩形ABCD的周長為2(AD＋AB)＝2×()＝2×()＝2×12＝24(m)；(2)涂滿其余部分需要彩色油漆的桶數(shù)為[(

)﹣(+1)(﹣1)]÷15.5＝[(7×5)﹣(75﹣1)]÷15.5＝(105﹣