大一定積分考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與下列哪個因素?zé)o關(guān)（）A.積分下限\(a\)B.積分上限\(b\)C.被積函數(shù)\(f(x)\)D.積分變量的符號2.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)等于（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(f(b)-f(a)\)3.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.24.定積分\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)的值是（）A.0B.2C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{2}\)5.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx-\int_{a}^f(t)dt\)的值（）A.小于0B.等于0C.大于0D.不確定6.若\(f(x)\)是\([-a,a]\)上的奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)等于（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)C.0D.\(a\)7.定積分\(\int_{0}^{2\pi}|\sinx|dx\)的值為（）A.0B.2C.4D.88.由曲線\(y=x^2\)與直線\(y=x\)所圍成的平面圖形的面積為（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.19.已知\(\int_{0}^{1}f(x)dx=1\)，\(\int_{0}^{2}f(x)dx=3\)，則\(\int_{1}^{2}f(x)dx\)等于（）A.1B.2C.3D.410.定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)的值為（）A.0B.1C.\(\frac{1}{e}\)D.\(e\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列哪些說法是正確的（）A.定積分是一個常數(shù)B.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積D.定積分的值與積分區(qū)間有關(guān)2.下列定積分等于0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x\cosxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^4dx\)C.\(\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx\)D.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)3.設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則下列式子正確的是（）A.\((\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)B.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)C.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)4.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)用到的積分公式有（）A.\(\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)\)B.\(\intkdx=kx+C\)（\(k\)為常數(shù)）C.\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)（\(F^\prime(x)=f(x)\)）D.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）5.下列曲線與\(x\)軸在給定區(qū)間圍成的面積可以用定積分表示的有（）A.\(y=x^3\)在\([-1,1]\)B.\(y=\sinx\)在\([0,\pi]\)C.\(y=e^x\)在\([0,1]\)D.\(y=\frac{1}{x}\)在\([1,2]\)6.定積分的幾何意義可以表示為（）A.曲邊梯形的面積B.曲邊梯形面積的代數(shù)和C.函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積D.平面圖形的面積7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，\(g(x)\)在\([a,b]\)上可積，則（）A.\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上可積B.\(|f(x)|\)在\([a,b]\)上可積C.\(f(x)+g(x)\)在\([a,b]\)上可積D.\(f(x)-g(x)\)在\([a,b]\)上可積8.計算\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx\)，可以采用的方法有（）A.利用\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)，再用牛頓-萊布尼茨公式B.利用定積分的幾何意義C.利用\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.利用\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)9.下列等式成立的是（）A.\(\int_{0}^{2\pi}\cosxdx=0\)B.\(\int_{-1}^{1}x^3\sinxdx=0\)C.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)D.\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}\)10.定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用有（）A.求平面圖形的面積B.求變速直線運(yùn)動的路程C.求變力做功D.求物體的質(zhì)量三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）2.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與積分變量\(x\)的符號有關(guān)。（）3.若\(f(x)\)是\([a,b]\)上的偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）4.函數(shù)\(y=x\)在\([0,1]\)上的定積分就是由\(y=x\)，\(x=0\)，\(x=1\)與\(x\)軸圍成的直角三角形的面積。（）5.\(\int_{a}^f(x)dx\)的值一定大于0。（）6.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上恒為0。（）7.定積分\(\int_{0}^{2}x^2dx\)與\(\int_{0}^{2}t^2dt\)的值相等。（）8.利用定積分求平面圖形面積時，被積函數(shù)一定是正的。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，\(k\)為常數(shù)，則\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)。（）10.定積分\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)是有意義的。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述定積分的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界，在\([a,b]\)中任意插入\(n-1\)個分點(diǎn)，將\([a,b]\)分成\(n\)個小區(qū)間，在每個小區(qū)間\([x_{i-1},x_i]\)上任取一點(diǎn)\(\xi_i\)，作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)。當(dāng)\(n\)無限增大且\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\)趨于0時，若和式極限存在，則稱\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，極限值為定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)。2.說明定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，定積分計算借助不定積分的原函數(shù)。區(qū)別：不定積分是函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是一個數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，和積分變量符號無關(guān)。3.利用定積分求由\(y=x^2\)，\(y=0\)，\(x=1\)所圍成圖形的面積步驟是什么？答案：首先確定被積函數(shù)\(f(x)=x^2\)，積分區(qū)間為\([0,1]\)。然后找到\(f(x)\)的一個原函數(shù)\(F(x)=\frac{1}{3}x^3\)。最后根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式\(\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}\times1^3-\frac{1}{3}\times0^3=\frac{1}{3}\)，即圖形面積為\(\frac{1}{3}\)。4.定積分\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)，當(dāng)\(f(x)\)為奇函數(shù)和偶函數(shù)時分別有什么結(jié)論？答案：當(dāng)\(f(x)\)為奇函數(shù)時，\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)；當(dāng)\(f(x)\)為偶函數(shù)時，\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。這是根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)、\(y\)軸對稱的性質(zhì)及定積分幾何意義得出。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論定積分在物理中的應(yīng)用，舉例說明。答案：定積分在物理中應(yīng)用廣泛。如求變速直線運(yùn)動路程，速度函數(shù)\(v(t)\)，在時間區(qū)間\([a,b]\)上的路程\(s=\int_{a}^v(t)dt\)。求變力做功，力\(F(x)\)在位移區(qū)間\([a,b]\)上做功\(W=\int_{a}^F(x)dx\)。通過定積分可將變化的物理量積累計算。2.如何根據(jù)給定的平面圖形確定定積分的積分區(qū)間和被積函數(shù)？答案：先分析圖形邊界曲線方程。積分區(qū)間由圖形在\(x\)軸上投影確定。被積函數(shù)：若求圖形面積，當(dāng)圖形在\(x\)軸上方，被積函數(shù)是曲線函數(shù)；在下方則是其相反數(shù)；圖形由多條曲線圍成，被積函數(shù)是上方曲線減下方曲線函數(shù)，以保證面積非負(fù)。3.探討定積分計算方法的多樣性及適用情況。答案：定積分計算方法有牛頓-萊布尼茨公