1.3課時2空間向量運算的坐標表示【學(xué)習(xí)目標】1.掌握空間向量運算的坐標表示.(數(shù)學(xué)運算)2.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算)3.掌握空間向量的模、夾角以及兩點間的距離公式,能運用公式解決問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)【自主預(yù)習(xí)】1.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的加減、數(shù)乘和數(shù)量積運算,那么我們是如何對平面向量進行坐標運算的呢?2.你能否類比平面向量運算的坐標表示給出空間向量運算的坐標表示的猜想?3.空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示一樣嗎?1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)即使建立的坐標系不同,同一向量的坐標仍相同.()(2)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,則a1b1=a2b2=(3)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0.()(4)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=AB·AB=(x2-2.已知向量a=(4,2,4),b=(6,3,2),則下列結(jié)論正確的是().A.a+b=(10,5,6)B.ab=(2,1,6)C.a·b=10D.|a|=63.(人教A版選擇性必修第一冊P22練習(xí)T1改編)已知a=(3,2,5),b=(1,5,1),則下列計算錯誤的是().A.a+b=(2,7,4)B.4a=(12,8,20)C.3ab=(10,1,16)D.a·b=24.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,c),且|a+b|=5.(1)求c的值;(2)若ka+b與2ab互相垂直,求實數(shù)k的值.【合作探究】探究1空間向量運算的坐標表示問題1:通過前面對平面向量坐標運算的復(fù)習(xí),類比得出空間向量數(shù)量積的坐標運算表達式.問題2:平面向量的坐標運算與空間向量的坐標運算有什么聯(lián)系與區(qū)別?設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),空間向量的坐標運算法則如下表所示:運算坐標表示加法a+b=減法ab=數(shù)乘λa=數(shù)量積a·b=空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示是完全一致的,因此,一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.例1(1)已知a=(2,1,2),b=(0,1,4),求a+b,ab,a·b,(2a)·(b),(a+b)·(ab).(2)已知O是坐標原點,且A,B,C三點的坐標分別是(2,1,2),(4,5,1),(2,2,3),若AP=12(ABAC),求點P的坐標【方法總結(jié)】關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題(1)直接計算問題,首先將空間向量用坐標表示出來,然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.(2)由條件求向量或點的坐標問題,首先把向量用坐標形式表示出來,然后建立方程(組),解方程(組)求出其坐標.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=ab,q=a+2bc,則p·q=().A.1B.1C.0D.2已知△ABC中,A(2,5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,2,5),求頂點B,C的坐標及CA.探究2空間向量的平行、垂直問題1:如何用平面向量的坐標運算刻畫平面向量的平行和垂直?這個結(jié)論對于空間向量還成立嗎?問題2:設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),當b≠0時,a∥b的充要條件能否表示為a1b1=a空間向量的平行與垂直的坐標表示設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a=λb?a垂直(a⊥b)a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均為非零向量)例2(1)(2023年新高考全國Ⅰ卷節(jié)選)如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.證明:B2C2∥A2D2.(2)如圖,在四棱錐PABCD中,四邊形ABCD為矩形,△APB是以∠APB為直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.證明:平面PAD⊥平面PBC.【方法總結(jié)】利用空間向量證明面面垂直的方法利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題,再通過空間向量的坐標運算得出結(jié)論.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱CC1上的動點.(1)求證:A1E⊥BD.(2)若平面A1BD⊥平面EBD,試確定點E的位置.探究3夾角與距離建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點.問題1:向量P1P2的坐標是多少?如何求P1問題2:如何求∠P1OP2的余弦值?向量的模、夾角與兩點間的距離公式設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).模|a|=a·a夾角公式cos<a,b>=a·b兩點間的距離公式若點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=|AB|例3如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分別為A1B1,A1A的中點.(1)求BN的長;(2)求A1B與B1C所成角的余弦值;(3)求證:BN⊥平面C1MN.【方法總結(jié)】利用空間向量的坐標運算求夾角與距離的一般步驟(1)建系:根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.(2)求坐標:①求出相關(guān)點的坐標;②寫出相關(guān)向量的坐標.(3)論證、計算:結(jié)合公式進行論證、計算.(4)轉(zhuǎn)化:轉(zhuǎn)化為求夾角或距離的問題.已知空間三點A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5).(1)若點D在直線AC上,且BD⊥AC,求點D的坐標;(2)求以BA,BC為鄰邊的平行四邊形的面積.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱AA1,BB1的中點,以12DA,12DC,12DD(1)寫出正方體ABCDA1B1C1D1各頂點的坐標.(2)證明:CF∥DE.(3)求向量A1C在向量AC【隨堂檢測】1.設(shè)A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),則AB的中點M到點C的距離為().A.53B.53C.53D.132.已知向量a=(x,1,2),b=(1,2,y),且(2a+b)∥(a+2b),則().A.x=13,y=1B.x=B.x=12,C.x=2,y=14 D.x=1,y=3.已知向量a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),則(1)a·(b+c)=;

(2)(a+2b)·(a2b)=.

4.如圖,四棱錐PABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,M為BC的中點,PD=DC=1,且PB⊥AM.(1)證明:平面PAM⊥平面PBD.(2)求DA的長.

參考答案課時2空間向量運算的坐標表示自主預(yù)習(xí)·悟新知預(yù)學(xué)憶思1.設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則a+b=(a1+b1,a2+b2),ab=(a1b1,a2b2),λa=(λa1,λa2)(λ∈R),a·b=a1b1+a2b2.2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)ab=(a1b1,a2b2,a3b3);(3)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);(4)a·b=a1b1+a2b2+a3b3.3.空間向量運算的坐標表示與平面向量的坐標表示完全一致.自學(xué)檢測1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.D【解析】由已知得a+b=(10,5,2),所以A錯誤;ab=(2,1,6),所以B錯誤;a·b=24+68=22,所以C錯誤;|a|=42+(-2)23.D【解析】因為a=(3,2,5),b=(1,5,1),所以a+b=(2,7,4),A正確;4a=(12,8,20),B正確;3ab=(9,6,15)(1,5,1)=(10,1,16),C正確;a·b=3+105=2,D錯誤.4.【解析】(1)a+b=(1,1,0)+(1,0,c)=(0,1,c),所以|a+b|=1+c2=5,解得c=±(2)當c=2時,ka+b=(k,k,0)+(1,0,2)=(k1,k,2),2ab=(2,2,0)(1,0,2)=(3,2,2),因為ka+b與2ab互相垂直,所以3(k1)+2k22=0,解得k=75當c=2時,ka+b=(k,k,0)+(1,0,2)=(k1,k,2),2ab=(2,2,0)(1,0,2)=(3,2,2),因為ka+b與2ab互相垂直,所以3(k1)+2k22=0,解得k=75綜上,k=75合作探究·提素養(yǎng)探究1情境設(shè)置問題1:設(shè){i,j,k}為空間的一個單位正交基底,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,所以a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k),利用向量數(shù)量積的分配律以及i·i=j·j=k·k=1,i·j=j·k=k·i=0,得到a·b=a1b1+a2b2+a3b3.問題2:平面向量與空間向量的坐標運算均有加減運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算,其算法是相同的,但空間向量要比平面向量多一個豎坐標,豎坐標的處理方式與橫、縱坐標是一樣的.新知生成(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1b1,a2b2,a3b3)(λa1,λa2,λa3),λ∈Ra1b1+a2b2+a3b3新知運用例1【解析】(1)a+b=(2,1,2)+(0,1,4)=(2+0,11,2+4)=(2,2,2);ab=(2,1,2)(0,1,4)=(20,1+1,24)=(2,0,6);a·b=(2,1,2)·(0,1,4)=2×0+(1)×(1)+(2)×4=7;(2a)·(b)=2(a·b)=2×(7)=14;(a+b)·(ab)=(2,2,2)·(2,0,6)=2×22×0+2×(6)=8.(2)由題意知,AB=(2,6,3),AC=(4,3,1).設(shè)P(x,y,z),則AP=(x2,y+1,z2).因為AP=12(ABAC)=3,32,2,所以x-2=3則點P的坐標為5,12,0.鞏固訓(xùn)練1A【解析】因為p=ab=(1,0,1),q=a+2bc=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(1)×1=1,故選A.鞏固訓(xùn)練2【解析】設(shè)B(x,y,z),C(x1,y1,z1),則AB=(x2,y+5,z3),BC=(x1x,y1y,z1z).因為AB=(4,1,2),所以x-2=4所以點B的坐標為(6,4,5).因為BC=(3,2,5),所以x1-所以點C的坐標為(9,6,10),則CA=(7,1,7).探究2情境設(shè)置問題1:設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),當b≠0時,a∥b的充要條件是a=λb(λ∈R),即a1b2a2b1=0.a⊥b的充要條件是a·b=a1b1+a2b2=0(a≠0,b≠0).上述充要條件在空間中仍成立,設(shè)空間向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),當b≠0時,a∥b的充要條件是a=λb,λ∈R,可以用坐標表示為(a1,a2,a3)=λ(b1,b2,b3),得到a1=λb1,a⊥b的充要條件是a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b均為非零向量).問題2:空間向量平行的充要條件不等價于a1b1=a2b2=a3b3,因為b≠0的含義是b的坐標分量b1,b2,b3至少有一個不為零,而非每一個坐標分量都不為零.例如,當b與坐標平面Oxy平行時因此只有當b與三個坐標平面均不平行,即b1,b2,b3均不為零時才能有a∥b?a1b1=a2b2=a3b3.特殊地,當b=新知運用例2【解析】(1)以C為坐標原點,CD,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),所以B2C2=(0,2,1),A2D2=(0,2,1),所以B2C又B2C2,A2D2不在同一條直線上,所以B2C2∥A2D2.(2)取AB的中點O,CD的中點M,連接OM,則OM⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以O(shè)M⊥平面PAB.又PA=PB,所以PO⊥AB.以O(shè)為原點,OP,OB,OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.設(shè)AP=2a(a>0),AD=b(b>0),則A(0,a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),所以AP=(a,a,0),BC=(0,0,b),BP=(a,a,0).因為AP·BP=0,AP·BC=0又BP,BC?平面PBC,BP∩BC=B,所以AP⊥平面PBC,又AP?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PBC.鞏固訓(xùn)練【解析】如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,連接AC,交BD于點O,連接A1O.設(shè)正方體的棱長為1,E(0,1,m)(0≤m≤1),則B(1,1,0),A1(1,0,1),D(0,0,0),O12,12,0.(1)A1E=(1,1,m1),BD=(因為A1E·BD=0,所以A1E(2)因為△A1DB是等邊三角形,O為BD的中點,所以A1O⊥BD.又平面A1BD∩平面EBD=BD,且平面A1BD⊥平面EBD,所以A1O⊥平面EBD,所以O(shè)A1·BE=又OA1=12,12,1,BE=(1,0,所以O(shè)A1·BE=12+m=0,解得故當E為CC1的中點時,平面A1BD⊥平面EBD.探究3情境設(shè)置問題1:P1P2=OP2OP1=(x2x1,y2y于是|P1P=(x所以P1P2=|P1=(x問題2:利用公式cos∠P1OP2=OP1·O新知運用例3【解析】(1)如圖所示,建立空間直角坐標系Cxyz.依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴|BN|=(=3,∴線段BN的長為3.(2)依題意得A1(1,0,2),B1(0,1,2),C(0,0,0),∴A1B=(1,1,2),B1C∴A1B·B1C=1×0+1×(1)+(2)×(又|A1B|=6,|B1∴cos<A1B,B1C>=故A1B與B1C所成角的余弦值為3010(3)依題意得,C1(0,0,2),M12,12,2,∴C1M=12,12,0,C1N=(1,0,1),∴C1M·BN=12×1+12×(1)+0C1N·BN=1×1+0×(1)+(1)×1∴C1M⊥BN,C1N⊥BN,∴BN⊥C1M,BN又C1M∩C1N=C1,C1M,C1N?平面C1MN,∴BN⊥平面C1MN.鞏固訓(xùn)練1【解析】(1)由題意得AC=(1,3,2),點D在直線AC上.設(shè)AD=λAC=λ(1,3,2)=(λ,3λ,2λ),λ∈R,O為坐標原點,則ODOA=(λ,3λ,2λ),OD=OA+(λ,3λ,2λ)=(λ,23λ,3+2λ),BD=ODOB=(λ,23λ,3+2λ)(2,1,6)=(λ+2,13λ,2λ3),AC·BD=(1,3,2)·(λ+2,13λ,2λ3)=λ+23+9λ+4λ6=14λ7=0,∴λ=12,OD=12,12,4,∴D12,12,4(2)∵BA=(2,1,3),BC=(3,2,1),∴|BA|=22+12+(-3)2=∴BA·BC=2×3+1×(2)+(3)×(1)=7,∴cosB=cos<BA,BC>=BA·BC|BA||BC|=714則S=|BA||BC|sinB=14×14×32=73∴以BA,BC為鄰邊的平行四邊形的面積為73.鞏固訓(xùn)練2【解析】(1)由題可知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,