第2課時兩角和與差的正弦、余弦公式(教學(xué)方式：深化學(xué)習(xí)課—梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時目標(biāo)]1．能由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式、兩角和與差的正弦公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2．掌握兩角和與差的正弦、余弦公式，并能靈活運用這些公式進(jìn)行簡單的恒等變換．(一)兩角和與差的余弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβα，β∈R兩角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝____________________________________________α，β∈R|微|點|助|解|(1)公式中的角α，β都是任意角．(2)要學(xué)會正用(從左至右，即展開)、逆用(從右至左，即化簡)、變形運用(移項變形)公式C(α＋β)．如：①cos(2α＋β)＝cos[α＋(α＋β)]＝cosαcos(α＋β)－sinαsin(α＋β)；②cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ；③cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ；④eq\f(\r(2),2)cosα－eq\f(\r(2),2)sinα＝cos45°cosα－sin45°sinα＝cos(α＋45°)．(二)兩角和與差的正弦公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦公式S(α＋β)sin(α＋β)＝___________________________________________α，β∈R兩角差的正弦公式S(α－β)sin(α－β)＝_____________________________________________α，β∈R|微|點|助|解|(1)一般情況下，兩角和與差的正弦不能按分配律展開，即sin(α±β)≠sinα±sinβ.(2)注意公式的逆向運用和變形運用．①公式的逆用：如sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.②公式的變形運用：變形運用涉及兩個方面，一個是公式本身的變形運用，如sin(α－β)＋cosαsinβ＝sinαcosβ；一個是角的變形運用，也稱為角的拆分變換，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，這些在某種意義上來說是一種整體思想的體現(xiàn)．基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1．cos75°cos15°－sin75°sin15°的值等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．0 D．12．sin7°cos37°－sin83°sin37°的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)3．cos75°＝________.4．化簡sin(45°＋A)－sin(45°－A)＝________.題型(一)給角求值問題[例1]cos70°cos50°＋cos200°cos40°的值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)聽課記錄：[例2]化簡：eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝________.聽課記錄：|思|維|建|模|解決給角求值問題的策略(1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形．(2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項并消項求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式．[針對訓(xùn)練]1．已知角α的終邊經(jīng)過點P(sin18°，cos18°)，則sin(α－12°)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)2.eq\f(2sin40°＋sin20°,cos20°)的值是()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(6),2)C．1 D.eq\f(1,2)題型(二)給值(式)求值問題[例3]已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求sin2α的值．聽課記錄：[變式拓展]若本例的條件不變，如何求cos2α與cos2β的值．|思|維|建|模|給值(式)求值的解題策略(1)當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．[針對訓(xùn)練]3．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(4＋3\r(3),10) B.eq\f(4－3\r(3),10)C.eq\f(4＋3\r(3),5) D.eq\f(4－3\r(3),4)4．已知α，β均為銳角，cosα＝eq\f(\r(2),2)，cos(α＋β)＝－eq\f(2,3)，則sinβ＝()A.eq\f(\r(10)＋2\r(2),6) B.eq\f(\r(10)＋2\r(2),6)或eq\f(\r(10)－2\r(2),6)C.eq\f(\r(10)－2\r(2),6) D.eqD.eq\f(\r(5)－2,6)題型(三)給值求角問題[例4]已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cos(α－β)＝eq\f(3,5)，sinβ＝－eq\f(\r(2),10)，求α.聽課記錄：|思|維|建|模|解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關(guān)鍵是求出所求角的某一三角函數(shù)值，而三角函數(shù)的選取一般要根據(jù)所求角的范圍來確定，當(dāng)所求角范圍是(0，π)或(π，2π)時，選取求余弦值，當(dāng)所求角范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，選取求正弦值．[針對訓(xùn)練]5．已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α和β均為鈍角，求α＋β的值．eq\a\vs4\al(課下請完成課時跟蹤檢測五十六)第2課時兩角和與差的正弦、余弦公式?課前預(yù)知教材(一)cosαcosβsinαsinβ(二)sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβcosαsinβ[基礎(chǔ)落實訓(xùn)練]1.C2.B3.6?244.2si?課堂題點研究[例1]選B法一原式=sin20°sin40°cos20°cos40°=(cos20°cos40°sin20°sin40°)=cos60°=12法二原式=cos70°sin40°cos20°cos40°=sin40°cos70°sin70°cos40°=sin(40°70°)=sin(30°)=sin30°=12[例2]解析:si=si=si=cos17°sin30°cos17°=sin答案:1[針對訓(xùn)練]1.選B由題意,角α的終邊經(jīng)過點P(sin18°,cos18°),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得sinα=yr=cos18°,cosα=xr=sin18°,所以sin(α12°)=sinαcos12°cosαsin12°=cos18°cos12°sin18°sin12°=cos(18°+12°)=cos30°=2.選A原式=2si=2si=2×=3cos20°?sin20°+si[例3]解:∵cos(αβ)=1213>0,π2<β<α<3π4,∴0<αβ<π4.∴sin(αβ又sin(α+β)=35,π<α+β<3π∴cos(α+β)=45∴sin2α=sin[(α+β)+(αβ)]=sin(α+β)·cos(αβ)+cos(α+β)sin(αβ)=35×121345×5[變式拓展]解:因為π2<β<α<3π4,所以0<αβ<π4,π<α+β<3π2.所以sin(αβ)=1?cos2cos(α+β)=1?si=1??35所以cos2α=cos[(α+β)+(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)sin(α+β)sin(αβ)=?45×1213?35cos2β=cos[(α+β)(αβ)]=cos(α+β)cos(αβ)+sin(α+β)sin(αβ)=?45×1213+?35[針對訓(xùn)練]3.選B∵α∈0,π2,sinα=35,∴cosα=45.∴cosα+π3=cosαcosπ3sinαsinπ3=45×4.選A因為α,β均為銳角,故α+β∈(0,π).因為cosα=22,cos(α+β)=23,所以sinα=1?12=22,sin(α+β)=1?49=53.所以sinβ=sin[(α+β)α]=sin(α+β)cosαcos(α+β)sinα=5[例4]解:∵α∈0,π2,β∈∴αβ∈(0,π).∵cos(αβ)=35,∴sin(α