2.4等腰三角形的判定定理講解目錄講解目錄TOC\o"13"\h\u【知識點1】等邊三角形的判定與性質(zhì) 1【知識點2】等腰三角形的判定與性質(zhì) 1【知識點3】等腰三角形的判定 2【知識點4】等邊三角形的判定 2【題型1】用定義判定等腰三角形 2【題型2】根據(jù)等角對等邊判定等腰三角形 4【題型3】等腰三角形的性質(zhì)與判定 5【題型4】等邊三角形的判定和性質(zhì) 6知識講解知識講解【知識點1】等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點可以把等邊三角形分成四個全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復雜，在應用時要抓住已知條件的特點，選取恰當?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個60°的角判定．【知識點2】等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便方法來解決．【知識點3】等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．【知識點4】等邊三角形的判定（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說明：在證明一個三角形是等邊三角形時，若已知或能求得三邊相等則用定義來判定；若已知或能求得三個角相等則用判定定理1來證明；若已知等腰三角形且有一個角為60°，則用判定定理2來證明．題型專練題型專練【題型1】用定義判定等腰三角形【典型例題】如圖，M，N為4×4方格紙中格點上的兩點，若以MN為邊，在方格中取一點P（P在格點上），使得△MNP為等腰三角形，則點P的個數(shù)為（）A.3個B.4個C.5個D.6個【舉一反三1】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用無刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點D，使△ACD為等腰三角形．下列作法不正確的是（）A.B.C.D.【舉一反三3】如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點，A，B在兩個格點上，請在圖中再尋找另一個格點C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的C點的個數(shù)為（）A.10B.8C.6D.4【舉一反三4】如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點都在小方格的頂點上，如果點C也是圖中小方格的頂點，且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)有

個．【舉一反三5】如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點都在小方格的頂點上，如果點C也是圖中小方格的頂點，且△ABC是等腰三角形，那么點C的個數(shù)有

個．【舉一反三6】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩個格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，那么點C的個數(shù)是．【題型2】根據(jù)等角對等邊判定等腰三角形【典型例題】如圖，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠D＝∠DEA＝∠C，則圖中一共有（）個等腰三角形．A.3B.4C.5D.6【舉一反三1】下列能斷定△ABC為等腰三角形的是（）A.∠A＝30°，∠B＝60°B.∠A＝50°，∠B＝80°C.AB＝AC＝2，BC＝4D.AB＝3，BC＝7，周長為10【舉一反三2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點D，過點D作直線EF∥BC，交AB于E，交AC于F，圖中等腰三角形的個數(shù)共有（）A.3個B.4個C.5個D.6個【舉一反三3】在△ABC中，∠A＝70°，當∠B＝

時，△ABC為等腰三角形．【舉一反三4】在△ABC中，如果∠B＝65°，∠A的外角等于130°，那么△ABC

等腰三角形．（填“是”或“不是”）【舉一反三5】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點A作AE∥BC，交BD的延長線于點E．（1）求∠ADB的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等腰三角形．【題型3】等腰三角形的性質(zhì)與判定【典型例題】在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，過點I作DE∥BC交BA于點D，交AC于點E，AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，則下列說法錯誤的是（）A.△DBI和△EIC是等腰三角形B.I為DE中點C.△ADE的周長是8D.∠BIC＝115°【舉一反三1】如圖將長方形ABCD沿EF折疊，B、C分別落在點H、G的位置，延長EH交邊CD于點M．下列說法不正確的是（）A.∠1＜∠2B.∠2＝∠3C.∠MEB＝2∠2D.∠2與∠4互補【舉一反三2】如圖，在△ABC中，過點B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點G，若AB＝4，則線段FG的長為

．【舉一反三3】（1）如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．過D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，請說明EF＝BE+CF的理由．（2）如圖2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分線，若仍然過點D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，你能否找到EF與BE、CF之間類似的數(shù)量關(guān)系？【舉一反三4】如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線BE交AC于點E，過點E作DE∥BC交AB于點D，（1）求證：△BDE是等腰三角形；（2）若∠C＝90°，∠A＝40°，求∠BED的度數(shù)．【題型4】等邊三角形的判定和性質(zhì)【典型例題】由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作小穎同學設(shè)計一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可如圖，衣架桿為衣架的固定點；如圖，若衣架收攏時，，則此時，兩點之間的距離是(

)A.B.C.D.【舉一反三1】如圖，在中，以點為圓心，的長為半徑作弧，與交于點，分別以點和點為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線交于點若，，則的度數(shù)為(

)A.B.C.D.【舉一反三2】如圖，，，則圖中共有________個等腰三角形，有_______