第06講指對(duì)冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】一、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，有(1)aman=am+n(m,nR)； (2)(m,nR)(3)(am)n=amn(m,nR)； (4)(ab)m=ambm(mR)；(5)(pQ) (6)(m,nN+)二、指數(shù)函數(shù)(1)一般地，形如y=ax(a>0且a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)；(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a1)的圖像和性質(zhì)如表2-6所示.y=axa>10<a<1圖象RR值域(2)值域：(0,+)(2)值域：(0,+)(3)過(guò)定點(diǎn)(0,1)(3)過(guò)定點(diǎn)(0,1)(4)在R上是增函數(shù).(4)在R上是減函數(shù).(5)0<y<1x>0y=1x=0y>1x<0(5)0<y<1x<0y=1x=0y>1x>0三、對(duì)數(shù)概念，叫做以為底的對(duì)數(shù).注：①，負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；②；③.四、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)特殊地五、對(duì)數(shù)函數(shù)（1）一般地，形如的函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù).（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如表2-7所示.圖像性質(zhì)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過(guò)定點(diǎn)：（4）在上是增函數(shù)（1）定義域：（2）值域：（3）圖像過(guò)定點(diǎn)：（4）在上是減函數(shù)六、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).注：判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵是看其系數(shù)是否為1，底數(shù)是否為變量.七、冪函數(shù)的圖像冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四項(xiàng)縣內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖像如果與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)的函數(shù)圖像如圖所示.八、冪函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像是向下凸的；當(dāng)時(shí)，圖像是向上凸的，恒過(guò)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù).冪函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn).【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)則（）A． B． C． D．例2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）方程4x－2x＋1－3＝0的解是（）．A．log32 B． C．log23 D．例3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（且），其中a，b均為實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求函數(shù)的解析式；（2）如果函數(shù)的定義域和值域都是，求的值.例4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（1）計(jì)算；（2）若，求的值．例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.例6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）判斷在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論；（2）解關(guān)于的不等式.例7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若對(duì)，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)，，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）證明：對(duì)任意，都有；（3）在同一坐標(biāo)系中作出與的大致圖象并判斷其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【技能提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)和都是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A．－ B．－C．－ D．－6ab3．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（）A．1 B．2 C．3 D．154．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若是指數(shù)函數(shù)，則有（）A．或 B．C． D．且5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知，則（）A． B． C． D．36．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則f(-2)=（）A． B． C． D．97．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝，則此函數(shù)圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)有（）A．0對(duì) B．1對(duì)C．2對(duì) D．3對(duì)8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若滿(mǎn)足不等式，則函數(shù)的值域是（）A． B． C． D．10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）定義運(yùn)算，若函數(shù)，則的值域是（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．13．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，也稱(chēng)取整函數(shù)，例如：，.已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B．， C．，， D．，0，14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù).若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)（，且）在上最大值與最小值的差為2，則（）A．或2 B．2 C． D．16．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)2a＝5b＝m，且，則m等于（）A． B． C． D．17．（2022·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，則x，y，z之間滿(mǎn)足（）A． B．C． D．18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，且，則的值可能為（）A． B． C．7 D．1019．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））已知，則（）A． B． C． D．20．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則（）A．2 B．4 C．6 D．921．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．22．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)對(duì)恒有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．25．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列各函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢． B．C． D．26．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．27．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A．(0，2] B．C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞)28．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（64，2），則f（x）＜f（x2）的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣630．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)椋以摵瘮?shù)為奇函數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．、或31．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，則的值等于（）A． B． C．2 D．32．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)y＝f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，)，則f(x)（）A．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．是偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)33．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．34．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖中的曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4是指數(shù)函數(shù)的圖象，已知對(duì)應(yīng)函數(shù)的底數(shù)的值可取為，，，，則相應(yīng)于曲線(xiàn)C1，C2，C3，C4，依次為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，35．（2021·全國(guó)·）圖中曲線(xiàn)分別表示的圖像，，的關(guān)系是（）A． B．C． D．二、多選題36．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線(xiàn)與函數(shù)（，且）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值可以是（）A． B． C． D．237．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．若，則D．函數(shù)的圖像必過(guò)定點(diǎn)38．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））對(duì)函數(shù)判斷正確的是（）A．增區(qū)間 B．增區(qū)間 C．值域 D．值域39．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可?。ǎ〢． B． C． D．三、填空題40．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為_(kāi)_.41．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________．42．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.43．（2022·上海·高三專(zhuān)題練習(xí)）存在實(shí)數(shù)使不等式在成立，則的范圍為_(kāi)_________．44．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(為常數(shù))，若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是________．45．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知不為的正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足則下列不等式中一定成立的是_____.（將所有正確答案的序號(hào)都填在橫線(xiàn)上）①；②；③；④；⑤．46．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)在上的最小值是_____.47．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，則M＋N=___．48．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．49．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____．50．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））不等式的解集是_______．51．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知用表示_____52．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn),在冪函數(shù)的圖象上，則．53