1.1集合的概念8題型分類知識點1元素與集合的概念1.元素與集合的概念(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.①確定性給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．簡記為“確定性”．②互異性一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．③無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．(3)只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.知識點2元素與集合的關(guān)系1.元素與集合的關(guān)系知識點關(guān)系概念記法讀法元素與集合的關(guān)系屬于如果是集合A中的元素，就說a屬于Aa∈A“a屬于A”不屬于如果不是集合A中的元素，就說a不屬于AaA“a不屬于A”2.元素與集合的關(guān)系只能是屬于或不屬于，有且僅有一種情況成立.知識點3常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集記法NN*或N＋ZQR知識點4集合的表示方法1列舉法把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}.注：列舉法表示的集合的結(jié)構(gòu)：2.描述法一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法，有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.注：描述法表示的集合的結(jié)構(gòu)：（一）1、集合概念的理解(1)含義:集合是一個原始的不加定義的數(shù)學術(shù)語，像初中學過的點、直線一樣，只能描述性說明.(2)對象:集合中的“對象”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實生活中我們看到的聽到的、觸摸到的想到的各種各樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”，即集合中的元素.(3)整體:集合是一個整體，即暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.2、判斷一組對象是否為集合的三依據(jù)(1)確定性：負責判斷這組元素是否構(gòu)成集合．(2)互異性：負責判斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù)．(3)無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān)．題型1：判斷對象是否能構(gòu)成集合1．（2025高一·全國·專題練習）（多選）考查下列每組對象，能構(gòu)成集合的是（

）A．中國各地的美麗的鄉(xiāng)村 B．直角坐標系中橫、縱坐標相等的點C．不小于3的自然數(shù) D．我省參加高考的學生【答案】BCD【解析】A中“美麗的”標準不明確，不符合確定性，B、C、D中的元素標準明確，均可構(gòu)成集合，故選BCD．[答案]

BCD2．（2025高一·全國·專題練習）（多選）考查下列每組對象，能構(gòu)成一個集合的是（

）C．某校2023年在校的所有高個子同學 D．的近似值的全體【答案】AB【解析】對于A，對任意一個整數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負整數(shù)”，所以能構(gòu)成集合；對于C，“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個集合；對于D，“的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．3．（2025高一·貴州銅仁·階段練習）下列各組對象中，能組成集合的有（填序號）．①所有的好人；②平面上到原點的距離等于2的點；③正三角形；④比較小的正整數(shù)；【答案】②③⑤【分析】根據(jù)集合元素的確定性即可得到答案.【解析】①中“好人”，④中“比較小”不滿足構(gòu)成集合元素的確定性，而②③⑤滿足集合元素的性質(zhì)，故②③⑤正確，故答案為：②③⑤.4．（2025高一·全國·課后作業(yè)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學書中所有的難題；（3）平方后等于負數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學生身高在1.7米的學生；（5）平面內(nèi)到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.【解析】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.（二）1、集合中的元素的性質(zhì)及應用元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種:元素a屬于集合A,記作a∈A,讀作“a屬于集合A";元素a不屬于集合A.記作a?A,讀作“a不屬于集合A".(1)a∈A與aA取決于a是不是集合A中的元素，根據(jù)集合中元素的確定性，可知對任何a與A.在a∈A與aA這兩種情況中必有一種且只有一種成立.(2)符號“∈”，“在”是表示元素與集合之間的關(guān)系的，不能用來表示集合與集合之間的關(guān)系，這一點千萬要記準.2、元素與集合關(guān)系的判斷（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征．根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟題型2：元素與集合關(guān)系的判斷5．（2025高一·全國·專題練習）（多選）下列選項正確的是（

）【答案】ABC【分析】判斷集合與元素的關(guān)系.故選：ABC.6．（2025高一·全國·專題練習）下列結(jié)論不正確的是（

）【答案】A【答案】AB【分析】根據(jù)集合的描述列舉出集合中的元素即可逐項判斷.故選：AB.【答案】D【分析】由元素與集合關(guān)系的判斷，故選：D題型3：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【答案】0綜上可知，實數(shù)a的值為0．10．（2025高一·全國·專題練習）已知集合A含有兩個元素1和，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性質(zhì)驗證作答.所以a的值為.故答案為：【答案】故答案為：題型4：利用集合元素的互異性求參數(shù)15．（2025高一·全國·課堂例題）由1，2，0，5，這些數(shù)組成的一個集合中有5個元素，這種說法正確嗎？【答案】答案見解析【分析】根據(jù)集合中的元素的互異性進行判斷.【解析】不正確.因為集合中的元素是互異的，所以集合中只有4個不同元素1，2，0，5.A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.【答案】1故答案為：（三）用列舉法表示集合1.列舉法表示的集合的種類(1)元素個數(shù)少且有限時.全部列舉:如1,2,3,4;(2)元素個數(shù)多且有限時，可以列舉部分,中間用省略號表示，如“從...000的所有自然數(shù)”可以表示為1,2,3,...,1000};(3)元素個數(shù)無限但有規(guī)律時，可類似于(2),如自然數(shù)集N3....10,1,2,3....2.使用列舉法表示集合時需注意(1)元素之間用“,”而不用“、"隔開;(2)元素不重復，滿足元素的互異性;(3)元素無順序，滿足元素的無序性;(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法.但是必須把元索間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號.注意（1）用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點集.（2）列舉法適合表示有限集，當集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示一目了然.題型5：用列舉法表示集合18．（2026高一·全國·專題練習）用列舉法表示下列集合．(1)不大于10的非負偶數(shù)組成的集合A；(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；19．（2026高一·全國·專題練習）用列舉法表示下列集合．(1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；20．（2024高一·全國·專題練習）用列舉法表示下列集合．（1）不超過11的所有素數(shù)組成的集合：；【分析】根據(jù)集合的概念直接求解即可.【分析】根據(jù)自然數(shù)集與整數(shù)集的概念分析集合中的元素即可.（四）用描述法表示集合2.描述法表示集合的條件對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共同特征描述出來，即采用描述法.3.使用描述法時應注意以下幾點(1)寫清楚該集合的代表元素，如數(shù)或點等;(2)說明該集合中元素的共同屬性;(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母;(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)，用于描述的內(nèi)容力求簡潔、準確.注：(1)用描述法表示集合時，一定要體現(xiàn)描述法的形式，不要漏寫集合的代表元素及元素所具有的性質(zhì),且用“|”隔開.(2)當描述部分出現(xiàn)集合的代表元素以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍.題型6：用描述法表示集合22．（2026高一·全國·專題練習）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的點組成的集合；(2)所有被3除余1的整數(shù)組成的集合；【解析】（1）不在第一、三象限的點分布在第二、四象限或坐標軸上，23．（2026高一·全國·專題練習）說明下列各集合表示的含義．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析（3）C表示一個單元素集，是一個實數(shù)對，是以一個點的坐標為元素的集合．24．（2025高一·江西宜春·階段練習）下列集合中，不同于另外三個集合的是（

）【答案】C【分析】由集合中元素的特征判斷.故選：C.25．（2025高一·江蘇·假期作業(yè)）用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?2)由所有小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)描述法和列舉法的使用特點，即可求解.（五）集合表示法的綜合應用(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題．(2)在學習過程中要注意數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，如等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想．題型7：判斷集合中元素的個數(shù)【答案】8【分析】根據(jù)已知條件寫出中所有元素即可.根據(jù)集合元素的互異性可知中元素的個數(shù)是8，故答案為：8A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列舉出滿足集合描述的元素，即可得答案.故選：DA．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用集合中元素的互異性，對的取值進行分類討論即可.故選：B.【答案】故答案為:.題型8：根據(jù)集合元素的個數(shù)求參數(shù)(1)若A中只有一個元素，求a的值；(2)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍．【答案】(1)0或1所以若A中只有一個元素，則a的值為0或1．【解析】A中至少有一個元素，即A中有一個或兩個元素．(1)若A中只有一個元素，求的值；(2)若A中至少有一個元素，求的取值范圍.(2)確定A中有兩個元素，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程兩個不相等實數(shù)根進行求解，再結(jié)合第一問一個元素的情況即可得出的取值范圍一、單選題1．（2025高一·全國·階段練習）下列各對象可以組成集合的是（

）A．與1非常接近的全體實數(shù) B．中國著名的數(shù)學家C．高一年級視力比較好的同學 D．某學校2022～2023學年度第一學期全體高一學生【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的確定性可得正確的選項.【解析】對于A，非常接近無法確定實數(shù)，根據(jù)元素的確定性可知A錯誤.對于B，著名無法確定數(shù)學家，根據(jù)元素的確定性可知B錯誤.對于C，視力比較好無法確定學生，根據(jù)元素的確定性可知C錯誤.對于D，根據(jù)元素的確定性可知D正確，故選：D.【答案】B故選：B【點睛】此題考查集合概念理解，關(guān)鍵在于準確識別描述法表示的集合，根據(jù)題意求解方程組，準確表示成所求形式.3．（2025高一·浙江·階段練習）若a，b，c，d為集合A的4個元素，則以a，b，c，d為邊長構(gòu)成的四邊形可能是（

）A．菱形 B．平行四邊形 C．梯形 D．正方形【答案】C【分析】利用集合中元素的特征和特殊四邊形的性質(zhì)判斷即可.故選：C.【答案】A【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可求解.故選：A【答案】B【分析】根據(jù)描述法與列舉法的轉(zhuǎn)換即可判定.故選：B6．（2025高一·全國·課后作業(yè)）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意創(chuàng)造非凡、探索未來；北京冬殘奧會吉祥物“雪容融”寓意點亮夢想、溫暖世界．這兩個吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的互異性即可確定元素的個數(shù).【解析】解：由集合中元素的互異性知，兩個“墩”相同，去掉一個，“容”“融”不同都保留，所以有5個元素．故選：C7．（2025高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)集合A只含有一個元素a，則下列各式正確的是A．0∈A B．a(chǎn)A C．a(chǎn)∈A D．a(chǎn)＝A【答案】C【解析】分析：根據(jù)集合A的表示，判斷出a是A的元素，根據(jù)元素與集合的關(guān)系，是屬于與不屬于，從而得到答案.故選C.點睛：在解決元素與集合的關(guān)系時，注意它們的關(guān)系只有“屬于”與“不屬于”兩種.【答案】D故選：DA．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等的定義，可推出的值，得解.故選：C.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A所以集合中最多含有元素的個數(shù)為2.故選：A.11．（2025高一·全國·課后作業(yè)）下列各組中的集合P與Q表示同一個集合的是()B．P是由π構(gòu)成的集合,Q是由3.14159構(gòu)成的集合C．P是由2,3構(gòu)成的集合,Q是由有序數(shù)對(2,3)構(gòu)成的集合D．P是滿足不等式1≤x≤1的自然數(shù)構(gòu)成的集合,Q是方程x2=1的解集【答案】A【解析】對于A,集合P,Q中的元素完全相同,所以P與Q表示同一個集合,對于B,C,D,集合P,Q中的元素不相同,所以P與Q不能表示同一個集合.選A二、多選題12．（2025高一·全國·課后作業(yè)）下列說法中不正確的是（）B．集合中沒有元素【答案】BCD【分析】利用集合的元素個數(shù)判斷AB；利用元素與集合的關(guān)系判斷B；利用集合的元素特性判斷D.對于B，集合中有一個元素0，B錯誤；故答案為：BCDA．0 B．1C．2 D．小于等于1【答案】AB故選：ABA． B．0 C．1 D．5【答案】ABD故選：ABD三、填空題【分析】本題首先可以明確可倒數(shù)集的含義，然后根據(jù)的倒數(shù)為得出集合不是可倒數(shù)集，最后寫出一個滿足可倒數(shù)集的含義的集合即可.【解析】因為的倒數(shù)不在集合中，所以集合不是可倒數(shù)集，【點睛】本題考查集合新定義，能否結(jié)合題意明確可倒數(shù)集的含義是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題.16．（2025高一·全國·課后作業(yè)）已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，則B＝.【答案】{0,1}【分析】對集合A中的元素求絕對值即可得到集合B.【解析】因為集合A＝{－1，0，1}，所以B＝{y|y＝|x|，x∈A}＝{0,1}，故答案為：B＝{0,1}【點睛】本題考查了根據(jù)集合中的條件求解集合的問題，屬于簡單題，解題中要注意集合中元素的互異性.【解析】先將代入，解出的值，然后求出方程的另外一個根并寫出集合.【點睛】本題考查根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解參數(shù)的值，屬于簡單題.【答案】0，1，2而x≥3時不符合題意故答案為：0，1，2【點睛】本題考查了集合，結(jié)合自然數(shù)，以及整除的性質(zhì)求集合中的元素19．（2025高一·全國·課后作業(yè)）下列說法中，正確的有．(填序號)①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個；②集合M中有3個元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個集合．【答案】②【分析】根據(jù)集合的元素的互異性判定①錯誤；根據(jù)集合的元素的互異性判定②正確；根據(jù)集合的元素的無序性可判定③錯誤.【解析】①不正確.book的字母o有重復，共有3個不同字母，元素個數(shù)是3.②正確.集合M中有3個元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確.小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無關(guān)．故答案為：②.【答案】3【分析】先計算出兩個方程的根，然后根據(jù)集合中元素的互異性取舍元素.【點睛】本題考查集合中元素互異性的應用，難度較易.集合中要保證任意兩個元素不相同，這就是元素互異性的體現(xiàn).21．（2025高一·江蘇南京·階段練習）已知集合A={x|2x+a＞0}，若1?A，則實