單元過關(guān)檢測(五)(第五章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知數(shù)列5,15,5,…,5(2n-1A.第22項(xiàng) B.第23項(xiàng)C.第24項(xiàng) D.第25項(xiàng)【解析】選B.根據(jù)通項(xiàng)公式an=5(2n-12.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=3n+a(n∈N*),則實(shí)數(shù)a的值是()A.3 B.3 C.1 【解析】選C.當(dāng)n≥2時(shí),an=SnSn1=2·3n1,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+a,因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列,所以3+a=2,解得a=1.3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S5=25,則S7= ()A.41 B.48 C.49 【解析】選C.設(shè)Sn=An2+Bn(A≠0),由題意知,S3=9A+3B=9【變式備選】已知等差數(shù)列{an}的前13項(xiàng)之和為39,則a6+a7+a8= ()A.6 B.9 C.12 【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得:S13=13a1+13×122d=39,化簡得:a1+6d=3,所以a6+a7+a8=a1+5d+a1+6d+a1=3a1+18d=3(a1+6d)=3×3=9.【一題多解】本小題還可以采用以下解法:選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)得S13=13a7=39,所以a7=3,所以a6+a7+a8=3a7=9.4.(2018·長沙模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1<0,若存在自然數(shù)m≥3,使得am=Sm,則當(dāng)n>m時(shí),Sn與an的大小關(guān)系是 ()A.Sn<an B.Sn≤anC.Sn>an D.大小不能確定【解析】選C.由題意得公差d>0,且am>0,所以當(dāng)n>m時(shí),Snan=SnSm+aman=am+am+1+…+an1>0,所以Sn>an.5.數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0≤an<1,an-1,A.83 B.43 C.23 【解析】選D.由數(shù)列的遞推公式及首項(xiàng)a1=43可得a2=13,a3=23,a4=43,所以數(shù)列具有周期性,所以a2018=a6.若an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,已知a1a5=1且S3=7,則S7()A.1516 B.78 C.12716 【解析】選C.由an>0,且a1a5=a32=1,得a3=1.由S3=7,得a3q2+a3又q>0,解得q=12.所以S7=S3+a3q+a3q2+a3q3+a3q4=7+12+14+18+7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,a2=2,且對于任意n>1,n∈N*,滿足Sn+1+Sn1=2(Sn+1),則S10的值為 ()A.91 B.90 C.55 【解析】選A.由Sn+1+Sn1=2(Sn+1)得Sn+1Sn=SnSn1+2即an+1=an+2,所以an=1,n=1,2n-28.(2018·重慶模擬)在數(shù)列{an}中,已知an=1(n+1)(n+3)(n∈N*),則{anA.561B.1C.1D.1【解析】選D.由an=1=12Sn=12(1214+1315+1416+…=1=129.在等差數(shù)列{an}中,a1>0,a2012+a2013>0,a2012·a2013<0,則使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 ()A.4025 B.4024C.4023 D.4022【解析】選B.{an}為等差數(shù)列,a1>0,a2012+a2013>0,a2012·a2013<0,所以a2012>0,a2013<0,所以d<0,因?yàn)镾4024=4024(a=a2012+a2013,所以S4024>0.因?yàn)镾4025=4025(a1+a4所以S4025<0,所以使Sn>0成立的最大自然數(shù)n是4024.10.(2018·臨川模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,有已知長方形面積求一邊的算法(“少廣”算法),其方法的前兩步如下.第一步:構(gòu)造數(shù)列1,12,13,14,…,1n.①第二步:將數(shù)列①的各項(xiàng)乘以n2,得到一個(gè)新數(shù)列a1,a2,a3,…,an.則a1a2+a2a3+a3a4A.n24 C.n(n-1【解析】選C.由題意,所得新數(shù)列為1×n2,12×n2,13×n2,…1n×n2,所以a1a2+a2a3+a3a4+…+an1an=n2=n24[1-12+12-13+1311.(2018·杭州模擬)設(shè){an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2017=b2017=2017,則下列結(jié)論正確的是 ()A.a1008>a1009B.a2016<b2016C.?n∈N*,1<n<2017,an>bnD.?n0∈N*,1<n0<2017,使得an0【解析】選C.A項(xiàng),{an}是等差數(shù)列,a1=1,a2017=2017,所以數(shù)列單調(diào)遞增,錯誤;因?yàn)榈炔顢?shù)列的圖象為一次函數(shù)上孤立的點(diǎn),而等比數(shù)列為指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn),且由題意兩個(gè)函數(shù)分別單調(diào)遞增,故畫出相對應(yīng)的函數(shù)圖象,一條直線與一條下凸的曲線,在自變量n取1和2017時(shí)有交點(diǎn),因此在1<n<2017時(shí),an>bn,n>2017時(shí),an<bn,所以B,D錯誤,C正確.12.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a2=2,an+2+(1)n1an=1,則S40= ()A.260 B.250 C.240 【解析】選C.因?yàn)閍n+2+(1)n1an=1,所以a2k+1+a2k1=1,a2k+2a2k=1,k∈N*,所以數(shù)列a2k1.S數(shù)列,首項(xiàng)為2,公差為1.S40=[(a1+a3)+…+(a37+a39)+(a2+a4+…+a38+a40)]=10+2×20+20×19二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.在等差數(shù)列{an}中,a2+a6+2a8=8,則此數(shù)列的前11項(xiàng)的和等于________.

【解析】由題知,a2+a6+2a8=8,所以2a4+2a8=8,所以a4+a8=4,所以2a6=4,解得a6=2,所以數(shù)列的前11項(xiàng)的和S11=11(a1+a11答案:22【一題多解】本小題還可以采用以下解法:由題知,a2+a6+2a8=8,所以4a1+20d=8,即a1+5d=2,S11=11a1+11×102d=11×(a1答案:2214.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足an+126an2=an+1an.若a1=2,則數(shù)列{an}【解析】因?yàn)閍n+126an2所以(an+13an)(an+1+2an)=0,因?yàn)閍n>0,所以an+1=3an,又因?yàn)閍1=2,所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2(1-答案:3n115.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序:正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù),若共得到1023個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長為22,則最小正方形的邊長為________【解析】設(shè)1+2+4+…+2n1=1023,即1-2n1-2=1023,2n=1024,n=10.正方形邊長構(gòu)成數(shù)列22,222,2答案:116.已知{an}是等差數(shù)列,d為其公差,Sn是其前n項(xiàng)和,若只有S4是數(shù)列{Sn}中的最小項(xiàng),則可得出的結(jié)論中正確的是________.

①d>0,②a4<0,③a5>0,④S7<0,⑤S8>0.【解析】Sn=na1+n(因?yàn)橹挥蠸4是{Sn}中的最小項(xiàng),所以d?d因?yàn)閍4=a1+3d,a5=a1+4d,所以d<a1+3d<0,0<a1+4d<d,即a4<0,a5>0.S7=7a1+7×62d=7(a1+3d)=7a4<0.S8=8a1+8×72d=4(2a1+7d),由4d<a1<3d可得d<2a1+7d<d,即4d<S8<4d所以S8的符號正、負(fù)、0均有可能.綜上可得結(jié)論正確的有答案:①②③④三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)(2018·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=1,且a1,a2,a4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=an+2an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T【解析】(1)由題設(shè),得a22=a1a4,即(1+d)2又d≠0,所以d=1,所以an=n.(2)由(1)得,bn=n+2nTn=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=n(n+118.(12分)已知數(shù)列bn中,b1=1,bn+1=2bn+3,n∈N*(1)求證:bn+3(2)若cn=log2(bn+3),求數(shù)列1cncn+1的前【解析】(1)因?yàn)閎n+1+3bn所以{bn+3}是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知bn+3=4×2n1=2n+1,所以bn=2n+13,則cn=log2(bn+3)=n+1,1cncnRn=1213+1314+…+1n+11【誤區(qū)警示】需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯誤.【變式備選】已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且滿足a1+a5=27a(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列bn滿足b1=a1,且bn+1bn=an+1,求數(shù)列1bn的前n項(xiàng)和【解析】(1)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,且an則2a1+4d=所以an=2n+1.(2)因?yàn)閎n+1bn=an+1且an=2n+1,所以bn+1bn=2n+3,當(dāng)n≥2時(shí),bn=(bnbn1)+(bn1bn2)+…+(b2b1)+b1=(2n+1)+(2n1)+…+5+3=n(n+2),當(dāng)n=1時(shí),b1=3滿足上式,所以bn=n(n+2),所以1bn=1所以Tn=1b1+1b2+…=12[1-13+12-14+1=1=34119.(12分)(2018·武漢模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S3+2,S9+2,S6+2成等差數(shù)列且a2+a5=4. (1)求數(shù)列{an}的公比q.(2)設(shè)bn=log2|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,當(dāng)q≠1時(shí),因?yàn)镾3+2,S9+2,S6+2成等差數(shù)列,且a2+a5=4,所以2(S9+2)=S6+2+S3+2,a1(q+q4)=4.所以2×a1(q9-化為(2q3+1)(q31)=0,解得:q3=12,a2所以q=31(2)由(1)可得an=a2qn2=(1)n2·211bn=log2|an|=11當(dāng)n≤11時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n103+當(dāng)n≥12時(shí),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=T11+12-113+13-=21×11-1126+13=n220.(12分)已知數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a2=4b1,Sn=2an2,nbn+1(n+1)bn=n2+n(n∈N*) (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明bnn(3)若數(shù)列cn的通項(xiàng)公式為cn=-anbn2,n為奇數(shù),anbn【解析】(1)當(dāng)n>1時(shí),Sn=2an-2,Sn-當(dāng)n=1時(shí),S1=2a12?a1=2,綜上,{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,an=2n.(2)因?yàn)閍2=4b1,所以b1=1,因?yàn)閚bn+1(n+1)bn=n2+n,所以bn+1綜上,bn(3)由(2)得,bnn=1+n1?bn=n令pn=c2n1+c2n=(2n-1)2·22n-T2n=3×40+7×41+11×42+…+(4n1)×4n1,①4T2n=3×41+7×42+11×43+…+(4n5)×4n1+(4n1)×4n,②①②,得3T2n=3×40+4×41+4×42+…+4×4n1(4n1)×4n,3T2n=3+16-4×4n1T2n=79+12n-7【變式備選】已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn是等比數(shù)列,首項(xiàng)b1=1,且a2·b2=12,S3+b2(1)求數(shù)列{an}和bn的通項(xiàng)公式(2)設(shè)cn=an·bn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列bn的公比為q,則由題意得:(解得:d=73因?yàn)閧an}是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,所以d>0,所以d=3,q=2,所以an=3+(n1)×3=3n,bn=2n1.(2)cn=anbn=3n×2n1,則Tn=3×1×20+3×2×21+3×3×22+…+3×(n1)×2n2+3×n×2n1,又因?yàn)?Tn=3×1×21+3×2×22+…+3×(n1)×2n1+3×n×2n,所以Tn=3+3(21+22+…+2n1)3×n×2n,=3×1-2n1-23×n×2n=3×2n33×n×2所以Tn=3+3×2n(n1).21.(12分)(2018·成都模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=1,公比為q;等差數(shù)列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,a3+S3=27,q