3.2基本不等式

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解基本不等式的內(nèi)容及證明.1、數(shù)學(xué)建模：能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用

2、熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.問(wèn)題.

3、會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)2、邏輯推理：熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.

題.3、數(shù)學(xué)運(yùn)算：會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲?/p>

4、能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問(wèn)題.

問(wèn)題.4、直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式.

思維導(dǎo)圖

基本不等式二＞y/ab

2—

幾何面積法

代數(shù)法

基本不等式＜

基本不等式的幾何意義

*—正

用基本不等式求最大（?。┲刀?/p>

三取等

第1頁(yè)共49頁(yè)

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01基本不等式

1、對(duì)公式/+從224〃及火之而的理解.

2

(I)成立的條件是不同的：前者只要求〃力都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；

(2)取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.

2、由公式/+從2和史心之，石可以引申出常用的常用結(jié)論

Z

0—+—>2(a,b同號(hào));

ab

②2+色W_2力異號(hào))；

ab

③、2<7^<"+"<、卜"(a>0,b>0)或a。<("十"『/十〃(a>0,Z?>0)

1,12V222

一十一

ab

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?+從可以變形為：，力《土火，也2而可以變形為：^<(—)2.

222

4

【即學(xué)即練1】(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))不等式中，等號(hào)成立的條件是()

A?。=4B.ci=>/2C.(I=—\/2D?a=±>/2

【答案】D

【解析】由基本不等式可知/+*22n=4,當(dāng)且僅當(dāng)/=，，

即“二士夜時(shí)等號(hào)成立，

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02基本不等式而4止的證明

2

方法一：幾何面積法

如圖，在正方形A/JCO中有四個(gè)全等的直角三角形.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b,那么正方形的邊長(zhǎng)為獷了.這樣，4個(gè)直角三角形的面枳

第2頁(yè)共49頁(yè)

的和是2,力，正方形ABC。的面積為由于4個(gè)直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：

苗之2ab.當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即?人時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有

a2+b2=2ab.

得到結(jié)論：如果a,〃eR+,那么/+從22"（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)“=”）

特別的，如果a>0,〃>0,我們用G、揚(yáng)分別代替。、b,可得：

如果〃>0,〃>0,則a+（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，=’）.

通常我們把上式寫(xiě)作：如果a>0,〃>0,，石工竺（當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取等號(hào)“=”）

2

方法二：代數(shù)法

Va2+b2-2ab=（a-b）2>（）,

當(dāng)〃工人時(shí)，（〃一A）?〉。；

當(dāng)a=b時(shí)，（。一份2=0.

所以面+加之2ab,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)J"）.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

特別的，如果。>0,/7>0,我們用右、物分別代替。、b,可得：

如果。>0,8>0，則。+〃22瘀，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)"=”）.

通常我們把上式寫(xiě)作：

如果a>0,b>0,荻￡號(hào),（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

【即學(xué)即練2】（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知4>0,b>0,c>0,求證：—+—+—>?+^+c.

abc

【解析】??%>（），b>0,c〉0，

當(dāng)且僅當(dāng)生=r,即。=力時(shí)，等號(hào)成立，

ab

同理：鼻心2叵巫=2b,絲+竺乜叵巫=2*

acvacbcNbc

當(dāng)且僅當(dāng)。=。，b=c時(shí)，等號(hào)成立，

以上三式相加得：2（7+?+T）-2（r/+/?+c）,

當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)，等號(hào)成立，

.becaab、,

所以一+—+—>a+b+c.

abc

第3頁(yè)共49頁(yè)

所以O(shè)CKOZ),即,/>0),

故選:c

知識(shí)點(diǎn)。4用基本不等式而工等求最大（?。┲?/p>

在用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等.

①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；

②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；

③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值.

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1、兩個(gè)不等式：/+從之之力與空而成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要

2

求。，。都是正數(shù).

2、兩個(gè)不等式：與絆之兄都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取"=”號(hào)

2

這句話的含義要有正確的理解.

3、基本不等式的功能在于“和積互化”.若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮

使用平均不等式：若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各

項(xiàng)的“和”為定值,則“積”有最大值.

4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條曄：

①各項(xiàng)都是正數(shù)；

②和（或積）為定值；

③各項(xiàng)能取得相等的值.

5、基本不等式在解決實(shí)際問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：

①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

②建立.相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；

③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；

④寫(xiě)出正確答案.

81

【即學(xué)即練4］（2023?陜西西安?高一?？计谥校┮阎覞M足一+一=1,求x+2y的最小值

是.

【答案】18

【解析】x+2y=（Jt+2y）f-+->|=10+-+^->10+2叵=18,

lxy）yx\yx

第5頁(yè)共49頁(yè)

當(dāng)且僅當(dāng)±=叵，4＞。，）＞0,即x=4y,

8??

—F-=1

聯(lián)立%y,得x=12,y=3,

x=4y

所以x+2y的最小值是18.

故答案為：18

直接法求最值

常規(guī)湊配法求最值

消參法求最值

換元求最值

的代換求最值

，法

條件等式求最值

題型一：對(duì)基本不等式的理解及簡(jiǎn)單應(yīng)用

第6頁(yè)共49頁(yè)

例1.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西

方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，道過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)

之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)尸在半圓。上，點(diǎn)C在直徑A8上，且設(shè)=BC=b,

則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（）

\[ab{a

A."+”>>0,/>>0)B.a2+b2>2箍(a>(),/?>0)

2

OIna+b/la~+h~

C.------￡Jab(a>0,Z>>0)D-三川]——。，》〉。)

a+b

【答案】D

【解析】設(shè)ACi'CS可得圓。的半徑為“。尸《A”小，

又由OC=OB-BC=

22

'a+b7

在RJOC廠中,^^FC2=OC2+OF2=回+

I2丁

所以誓wJZ尹，當(dāng)且僅當(dāng)。=/2時(shí)取等號(hào),

因?yàn)閒OWFC,

故選：D.

例2.（2023?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知而。，求訝的最小值；解答過(guò)程：卜沁衿2；

2-?

②求函數(shù)），=喂巨的最小值；解答過(guò)程：可化得+

VX2+4VX2+4

2

③設(shè)m,求…的最小值；解答過(guò)程:

當(dāng)且僅當(dāng)，二告即修時(shí)等號(hào)成立，把修代入」含得最小值為4.

A.()個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【解析】對(duì)①：基本不等式適用于兩個(gè)正數(shù)，當(dāng)…髀作為負(fù)值,

第7頁(yè)共49頁(yè)

—+—=———+<-2-2

ba<~b)l。

當(dāng)且僅當(dāng)即”時(shí)等號(hào)成立'故①的用法有誤，故①錯(cuò)誤;

對(duì)②：）=&+4+J22,

VX2+4

當(dāng)且僅當(dāng)4rq=號(hào)彳，即行二=］時(shí)取等號(hào)，

但/工則等號(hào)取不到，故②的用法有誤；

29

對(duì)③：x>\,x-1>0.y=x+-----=x-\+-------+1220+1,

x-1x-\

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=&,即1=a+1時(shí)取等號(hào)，故③的用法有誤；

故使用正確的個(gè)數(shù)是0個(gè)，

故選:A.

例3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）給出下面三個(gè)推導(dǎo)過(guò)程：

①:。、》為正實(shí)數(shù)，???'+222噌二|=2；

@VaeR,wo,4

③??"、y￡R,xy<0,

其中正確的推導(dǎo)為（

A.?@

C.（2X3）

【答案】B

【解析】①，根據(jù)基本不等式的知識(shí)可知①正確.

4

②，當(dāng)a<0時(shí)，-+t/<0,所以②錯(cuò)誤.

③，根據(jù)基本不等式的知識(shí)可知③正確.

所以正確的為①③.

故選:B

變式L（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程正確的有（）

A.若a,。為正實(shí)數(shù)，則2g|=2

B.若aeR,"O,則±+422）土〃=4

第8頁(yè)共49頁(yè)

C.若x,yeR,孫<0,則二+2=———1>-2/--If--=-2

），xI），AJVI），八X）

D.若。<0/<0,則上直w"

2

【答案】A

【解析】A中，???小力為正實(shí)數(shù)，???2>0,；>0,則2+瓦?=2,

abab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)等號(hào)成立，故A正確：

4

B中，?.?aeR.aHO,當(dāng)”<0時(shí)，-+a=-

4

當(dāng)且僅當(dāng)-工=一〃，即。二一2時(shí)等號(hào)成立，故B不正確;

a

C中，由孫<0,得一±>0,-*>。，則土+上=一

Vxyx

XV

當(dāng)且僅當(dāng)一-=-2，即工=y時(shí)等號(hào)成立，故c不正確;

yx

2?2

D中，對(duì)任意的a,〃eR,都有之2〃。，即------>ab,

2

當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)等號(hào)成立，所以D不正確.

故選：A

變式2.（多選題）（2023?高一課時(shí)練習(xí)）下列推導(dǎo)過(guò)程，正確的為（）

A.因?yàn)?。，〃為正?shí)數(shù)，所以g+2g^=2

因?yàn)?，所以**

B.

4

C.因?yàn)閍V0,所以—+ci>2=4

a

D.因?yàn)閤、yeR,個(gè)<0,所以二+2=—<-22

yx

【答案】AD

【解析】對(duì)于A.因?yàn)閍,0為正實(shí)數(shù)，所以2>0。>0,所以2+.=2.故A正確;

ababVab

對(duì)于B.當(dāng)I,有*=I.故B錯(cuò)誤;

第9頁(yè)共49頁(yè)

44

對(duì)于C.當(dāng)o=-l時(shí)，左邊—+〃=-5,右邊2=4,所以一+色2=4不成立，故C錯(cuò)誤.

XjTD.因?yàn)閤、yeR,xy<0,-->0.-^->0,

yx

=-2.故D正確.

故選：AD.

【方法技巧與總結(jié)】

應(yīng)用基本不等式時(shí)的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)一正數(shù)：指式子中的4,。均為正數(shù).

(2)二定值：只有岫為定值時(shí)才能應(yīng)用基本不等式，因此有時(shí)需要構(gòu)造定值.

(3)三相等：即必須成立，求出的定值才是要求的最值.

題型二：利用基本不等式比較大小

例4.(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))若加b,則〃+〃，2寂,lab,^十護(hù)中最大的一

個(gè)是.

【答案】a+b/b+a

【解析】0</?<1,a1b,pllja+b>2\[ab>2\fcib>lab>a+b>a1+b2?

綜上所述：最大的一個(gè)是

故答案為：a+b

例5.(2023,高一課時(shí)練習(xí))某工廠第一年的產(chǎn)量為A,第二年的增長(zhǎng)率為“，第三年的增長(zhǎng)率為兒則這兩

年的平均增長(zhǎng)率x與增長(zhǎng)率的平均值等的大小關(guān)系為.

【答案】xW警

【解析】依題意(l+x)2=(l+〃)(l+b),

所以]+x=J(l+a)(l+6)K1+4；+空]+￡^,

所以“《空，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：xW等

例6.(2023?高一課時(shí)練習(xí))若。>1力>1,且標(biāo)b,則a+A2點(diǎn)2而,/+從中值最小的是

【答案】2疝

【解析】由a>l,b>\,且川根據(jù)均值不等式有：a+h>2\[ab,a1+b2>2ab,

y,2ab-2\/ab=2y/ab^\/ab,

第10頁(yè)共49頁(yè)

因?yàn)?。所以?gt;1,則疝>1,

所以2ab-2\[ab>0，即lab>2\/ub.

故答案為：14ab.

變式3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若Ovxvl,0<J<1,且x。、，則在f+），2,2孫工+丁,2）石中最大的一個(gè)

是.

【答案】工+），

【解析】因?yàn)镺vxcl,

22

所以x+）尸22xy,x+y>2A歷，且W<尤y<y,

由不等式的基本性質(zhì)得x+丁>/+y2,

所以在犬+9,2孫x+），,2而中最大的一個(gè)是x+y

故答案為：x+y

變式4.（2023?山東青島?高一山東省青島第十六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知eO,b>0,a+b>2,有下列4個(gè)結(jié)

論:①外>1；②〃+批>2；③,和J中至少有一個(gè)數(shù)小于1；④空和上吆中至少有一個(gè)小于2,其中，全部

正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】②③④

【解析】舉例說(shuō)明①錯(cuò)誤；利用基本不等式證明②正確；利用反證法說(shuō)明③④正確.因?yàn)椤?3力二：,滿足

a+h>2,但不滿足必>1,故①錯(cuò)誤；

?「a+g2:.2>1「.標(biāo)+力2>2，故②正確；

若產(chǎn)戶，則由。>。,〃>。得0<皿0<小，〃+.，與〃+">2矛盾,故③正確:

?'i'-之2,---之2,則由a>0,Z>>0得1+〃=2b,l+b之2a2+a+b>2a+2b:.a+b<2與a+/?>2矛盾，故④正確:

ba

故答案為：②③④

變式5.（2023?湖南株洲?高一株洲市南方中學(xué)?？计谥校┰O(shè)a>0,b>0,給出下列不等式:

①犀+]>〃；②（4+力「+024；③（〃+〃）:+胃24；④出+9>64

其中恒成立的是（填序號(hào)）.

【答案】①②③

【解析】由于*+1-=（4」[+2>0,故①恒成立;

I2）4

由于（"JD=。嗎+5+修+2/

=4,

第11頁(yè)共49頁(yè)

,1

ab=——

"即時(shí)等號(hào)成立，故②恒成立;

當(dāng)且僅當(dāng)《a=b=｛

ba

廠7

由于（〃+/心+t=2+3+\+2后4=4.當(dāng)且僅當(dāng)尸9

那么〃=〃=1時(shí)等號(hào)成立，故③恒成立；

當(dāng),7=3時(shí)，“2+9=6〃，故④不恒成立.

綜上，恒成立的是①

故答案為：①②③.

變式6.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）給出下列不等式:

①工+122；②小;③立④與*⑤展洞.

xxy22v

其中正確的是（寫(xiě)出序號(hào)即可）.

【答案】②

【解析】當(dāng)行一1時(shí)，x+l=-2<2,所以①不正確;

X

因?yàn)閄與,同號(hào)，所以"+,=兇+八之2Mj=2,所以②正確;

XX\x\

當(dāng)x=l.y=_l時(shí)，士匚匚=_2<2,所以③不正確;

xy

2，

當(dāng)％=y=l時(shí)，王土工_町,，所以④不正確；

2

當(dāng)［=］,產(chǎn)_1時(shí)，悖1<而［,所以⑤不正確.

故答案為：②

變式7.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）已知4。,都是正實(shí)數(shù)，且，+!=1,/+）尸=8,則必與外的大小關(guān)系

ab

是.

【答案】ab>xy.

\\2

【解析】?「一+丁2-^，二曲24.而V+fNZ町，，：.xy<4.：.ab<>xy.

aby/ab

故答案為：ab>xy

變式8.（2023?高一單元測(cè)試）若，<!<（）,則不等式（1）a+h<ab；（2）時(shí)>例；（3）a<b；（4）-+y>2

abab

中，正確的不等式有個(gè).

【答案】2

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【解析】*.*-<-<0,則a<0,Z?<0,:.ab>0.

ab

a+b<0<ab,(1)中的不等式正確；

abl<abl<Qf則〃<。<0,(3)中的不等式錯(cuò)誤；

ab

\a\=-a<-b=\b\t(2)中的不等式錯(cuò)誤；

\-b>-a>0,則2=a>1,由基本不等式可得^+幺〉2、匠=2,(4)中的不等式正確.

a-aabNab

故答案為：2.

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式比較大小

在利用基本不等式比較大小時(shí)，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項(xiàng)、配湊或變形.在拆

項(xiàng)、配湊或變形的過(guò)程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將'?和式"轉(zhuǎn)化為

“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能.

題型三：利用基本不等式證明不等式

例7.(2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2,求證：x*2y2+y2z2+z2x2+xy^z<\

【解析】因?yàn)?/)，2gQ(f+V),2y2z2<jz(y2+z2),2z2x2<zr(z2+x2),x+y+z=2,

I^A2x2y2+2>?2z2+2z2x2+2A>,z<Ay(x2+y2)+yz(y2+z2)+zv(z2+丁)+2孫z,

<A)^(X2+y2)+yz(y2+z2)+zx(z24-x2)+(x+y+z)x)^

=(xy+yz+zx)(x2+y2+z2)

(2個(gè)+2),z+2zr)(V+),

1

(2xy+2yz+2zx)+(x2+y2+22)2

-<(x+>-+z)__

2-—z

—2

當(dāng)且令當(dāng)x=y=z時(shí)，等號(hào)成立，

2222

所以212)『+2yz+2ZX+2xyz<2,即.一產(chǎn)十十+xyfZ<\

例8.(2023?全國(guó)?高專(zhuān)題練習(xí))己知">0,b>0,且a十〃=2,證明.

⑴///+〃/42；

蘇+2〃/+2a,

(2)-----+------>a+b

a+2b+2

［解析】(1)crby+b2a3=a2b2(a+b)=2a2b2,

因?yàn)閍>0,力>0,2=〃+人之2而，則0<"K1,則//Zvi,當(dāng)。=〃時(shí)等號(hào)成立,

所以3<2；

第13頁(yè)共49頁(yè)

/r、a3+2bb'+2a

(2)-----+------

a+2b+2

八2八2/+乙，八2入2萬(wàn)+2〃

a+2b+2

22b-2a22a-2b2

=a'+-----------+Zlr2+-------

a+2b+2

二32（2-）2囁/八2（2叫-2從

b+2

,a2+b2_2(。-1)(。+2)_2e-l)e+2)

a+2b+2

=a2+b2-2(a+b-2)=a2+b2

而a2+b2=(a+b)2—lab=4-2cib>4-=2=a+b，當(dāng)a=〃時(shí)等號(hào)成立,

/+2。/+2。

所以--------+-------->a+b

a+2b+2

例9.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知“，都是正數(shù).

（1）若&+折=1,證明：b\[a+a>[h>4ab；

(2)當(dāng)#〃時(shí)，證明：ci\fa+b\[b>b\[ci+a\fb.

【解析】（1）證明：由于“，人都是正數(shù)，〃〉=疝■+石）=3+J

ahab&J

=、方；9回悶=2+北+率2+2^^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=8=1時(shí)等號(hào)成立.所以+a4b>4ab.

(2)證明：a\/a+b\/b~^h\/a+a\[b^=y/a(a-b)-\/b(a-b)

=^\/a->/b^(a-b)=^\[a-y/b^(。+正).

因?yàn)閆>,a>0,b>0,所以(右一妍)>0?-Ja+\[b>0>所以a6+Z?G>+a4成立.

變式9.（2023?黑龍江綏化?高一統(tǒng)考期中）已知。、方是正實(shí)數(shù)，且片+〃2=2,證明:

（\]a+b<2；

⑵（。+y）（"+平4.

【解析】（1）證明：因?yàn)椤?、方是正?shí)數(shù)，則（。+。）2=/+從+2劭?2（/+6）=4,

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，故〃+〃工2.

（2）證明：（a+Z/）（a'+〃）=a4+a〃+aR+Z/=（a?+j-2e/b2+ab+a'b'

第14頁(yè)共49頁(yè)

=4+ab^a2h2-lab+\^=4+ab(ab-\)~>4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=l時(shí)，等號(hào)成立，故k生

變式10.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知。力,c/eR求證：（/+⑹1+/”（-〃『；

（2）Va,〃,c>0,a+b+c=3,求證：a2+b~+c2>3.

【解析】（1）因?yàn)椋?+/）（/+d2）-（ac+〃）

=（rd2+b2c2—lacbd=（ad—be）2>0,所以+力?）卜，+d2^>（^ac-\-bd）~；

（2）因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù)。，加c有a?+/z2協(xié)從+d22bc,c2+a2>2ca

三式相加得。2+從+/之時(shí)+歷+8,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)取等,

又。+尿。=3,故（a+"c）2=9,所以曲+反=

2

即/+/+°2之9—面+從+-

2

整理得"+//+。223.當(dāng)且僅當(dāng)a=h=c=l時(shí)取等.

變式1L（2。23?浙江溫州高一校考階段練習(xí)）已知皿CQ>°且9%x>y.求證:

2x2y

x+y+b

-、〃+人+。a+b+ca+b+c八

⑵丁+F+十"

2x2y2(bx-av)

【解析】⑴寸聲=(』)(3Q->y,且a.b>0

ab

:.b>a>0,乂x>y>。，:.bx-ay>0,乂x+a>0,y+〃>0,

?2例-沖)2x2y2x2y

??/、/,\>u,即--------------->0..------->-------：

(x+a)(y+h)x+ay+bx+ay+b

,八a+b+ca+b+ca+b+c_baaccb

abcabcabc

abcabc

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)。=4〃=皿=。時(shí)等號(hào)成立,

abcabc

而由(1)可知b”，即〃wa,即2+色>2,g+￡之2,￡+222,

abcabc

^baaeeb^---^

「.3+—+—+—+—+—+->3+2+2+2=9,

abcabc

a+b+ca+h+ca+b+c八

，-----------+------------+------------>9.

b

第15頁(yè)共49頁(yè)

變式12.（2023?江蘇常州?高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知c>a>2，>0,求證：——>--

c-ac-b

（2）設(shè)〃，b,。為正數(shù)，求證：-+^-+—>a+b+c.

abc

【解析】證明：（1）由于<:>4>6>0,則c-a>0,c-b>0,

于是要證，一>一［,

c-ac-b

即證a（c-b）>b（c-a）,

即證ac>be?

由于C>0,即證a>6,而顯然成立,

j,ab

故——>--

c-ac-b

（2）因?yàn)椤?，b,c?為正數(shù),

由基本不等式可得，?2檸會(huì)2c,當(dāng)且僅當(dāng),T取等號(hào),

caab、入株,2a,當(dāng)且僅當(dāng)6=。取等號(hào),

——+——>2.

b

—+—>2./——=2^.當(dāng)且僅當(dāng)。=C取等號(hào),

acyac

以上三式相加有2倍+*撲2（i+c）,

UP—+—+—>a+Z?+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).

abc

【方法技巧與總結(jié)】

利用基本不等式證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題

（1）注意基本不等式成立的條件；

（2）多次使用基本不等式，要注意等號(hào)能否成立；

（3）對(duì)不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用.

題型四：利用基本不等式求最值

（1）直接法求最值

例10.（2023?新疆烏魯木齊?高一?？计谥校┘褐猘、b大于0,。+。=3,則他的最大值是

9

【答案】T

4

【解析】因?yàn)椤?力=3,所以等J=',當(dāng)且僅當(dāng)。=。=|時(shí)取到最大值，

9

故答案為：-

第16頁(yè)共49頁(yè)

例IL（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)；若。>0,/?>0,"=4〃+/升12，則"的取值范圍是.

【答案】[36,內(nèi)）

【解析】因?yàn)椤?gt;0,〃>0,由基本不等式可得"=4〃+。+12?2瘋石+12=4，石+12,

即ab-4\fcib-12>0,解得\[ab>6>即而236,

[/?=4afa=3

當(dāng)且僅當(dāng)｛乂M時(shí)，即當(dāng)八n時(shí)，等號(hào)成立，

[ab=36\b=\2

故而的取值范圍是[36,e）.

故答案為：[36,”）.

例12.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)小〃滿足￡+9=1則曲的最大值為_(kāi)______.

45

【答案】5

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)“，匕滿足l=￡+gz2鳥(niǎo)，當(dāng)且僅當(dāng)（=§=3，即。=2,匕=|時(shí)取等號(hào)，

解得4〃<5,

則而的最大值5.

故答案為：5.

變式13.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知2%+3y=6（x>0,y>0）,則”的最大值是.

【答案】13/1.5

【解析】因?yàn)閤>0,）>0,所以孫=\.2r3），W：?（笥型J=[,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y=3,即x=*3y=l時(shí)等號(hào)成立，故個(gè)的最大值是，3

故答案為：；

變式14.（2023?黑龍江佳木斯?高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x,），滿足x+2），=4,則P的

最大值為.

【答案】2

【解析】因?yàn)橛饄為正實(shí)數(shù)，由基本不等式得：x+2yN2歷，即4之2歷，解得：^<2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=2,y=l時(shí)，等號(hào)成立，

故答案為：2

變式15.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知MN為正實(shí)數(shù)，且滿足公+,，=12,則寸的最大值為.

【答案】9

【解析】因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，

且滿足4x十y=12,

第17頁(yè)共49頁(yè)

所以12=4x+y22J4K），=4而,

即32y[xy=>Ay<9,

3

當(dāng)且僅當(dāng)4尸產(chǎn)6即x==6時(shí)取等號(hào)，

所以不的最大值為9.

故答案為：9.

變式16.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）若正數(shù)滿足而=4,則a+〃的最小值是.

【答案】4

【解析】?>O,b>0,ab=4,;.a+b>2\[ab=4（當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=2時(shí)取等號(hào)），

〃的最小值為4.

故答案為：4.

（2）常規(guī)湊配法求最值

變式17.（2023?湖南株洲?高一株洲二中校考階段練習(xí)）若x>-3,則2x+」二的最小值是（）

x+3

A.2向6B.272-6C.2&D.2加+2

【答案】B

【解析1由x>-3,可得x+3>0,

2x+—!—=2（x+3）+—!——6>2.）2（x+3）?—!—一6=2夜一6,

x+3x+3Vx+3

當(dāng)且僅當(dāng)2（x+3）=」，即工=-3+立時(shí)取等號(hào)，

x+32

所以2x+—的最小值為2a—6，

x+3

故選:B.

4

變式18.（2023?甘肅武威?高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知x>2,則x+—；的最小值為

x-2

（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】由x>2知，x-2>0,

所以x+^-=x-2+±+222x/5+2=6,

x-2x-2

4

當(dāng)且僅當(dāng)x-2=—^時(shí)，即x=4時(shí)，等號(hào)成立，

x-2

4

所以x+一^的最小值為6.

x-2

第18頁(yè)共49頁(yè)

故選：A

變式19.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）若x>l,則），=工的最小值為（）

x-1

A.3B.—3

C.4D.-4

【答案】C

【解析】Vx>l,

工工一1>0,

?X2x2-l+l,1

"x-1x-1X-1

=A-1+—+2>2J.r-l--+2=4,

x-\Vx-\

當(dāng)且僅當(dāng)x-l='7，即x=2時(shí)，等號(hào)成立，

x-\

???當(dāng)x=2時(shí)，），的最小值為4.

故選:C

9

變式20.（2023?浙江臺(tái)州?高一校聯(lián)考期中）若x>l,則x+一；的最小值為（）

x-1

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)閤>l,

所以K+—=%—1+—+122、/（1一1）,一+1=7,

x-1x-1V7x-1

9

當(dāng)且僅當(dāng)工-1=——時(shí)取等號(hào)，即x=4時(shí)取等號(hào)，

x-1

故選：C

34-V4-，

變式21.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)），=一的最小值為（）

\+x

A.2>/3B.2>/3-1

C.273+1D.4

【答案】B

【解析】因?yàn)閤>0,所以），=3+*+.=上+-=J_+（X+］）—IN（x+］）-1=26—］,當(dāng)且僅當(dāng)

1+x\+x1+xv1+x

—=X+1,即x=G-l時(shí)，等號(hào)成立.

1+x

故選：B.

第19頁(yè)共49頁(yè)

變式22.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知〃>/，，且必=8,則上直-2的最小值是（）

a-b

A.6B.8C.14D.16

【答案】A

【解析】因?yàn)槎?8,所以《±￡=留及1士型=〃_力+巫.因?yàn)椤?gt;），所以a-b>0,所以

a-ba-ba-b

a-l7+-^->2j（a-b）--^=8,BP^^->8,

a-bVa-ba-b

當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)，等號(hào)成立，故土互—2的最小值是6.

a-b

故選:A

（3）消參法求最值

變式23.（2023?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)X、八z滿足4V—3孫+），2-z=0,則三的最大值為（）

z

A.0B.2C.1D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)X、y>z滿足4/一3肛+V一z=0,貝ijz=4%2一3孫，

巴==—!--L匚一

則z4x2-3xy+y2"+"3，當(dāng)且僅當(dāng)y=2x>0時(shí)取等號(hào).

.vx\yx

故把的最大值為1.

Z

故選：C.

變式24.（2023?新疆?高一校