6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理⑴

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理。

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，其核心是準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理，弄清它們的區(qū)別。理解它關(guān)鍵就是要根據(jù)實(shí)例

概括兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問(wèn)題已經(jīng)有一些經(jīng)驗(yàn)和技巧，本節(jié)課的內(nèi)容分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)

數(shù)原埋就是在此基礎(chǔ)上的發(fā)展。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個(gè)計(jì)數(shù)原埋為基礎(chǔ)，

所以在本學(xué)科計(jì)數(shù)問(wèn)題中有重要的地位，是本學(xué)科的核心內(nèi)容。教學(xué)的重點(diǎn)是兩個(gè)原理的理解與應(yīng)

用，解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是從單一到綜合，恰當(dāng)安排實(shí)例。

教學(xué)目標(biāo)馬核心累善

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.通過(guò)實(shí)例能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原1.數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.邏輯推理：準(zhǔn)確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題

B.正確理解“完成一件事情”的含義，能

4.數(shù)學(xué)建模：將計(jì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分類和分步計(jì)數(shù)問(wèn)題

根據(jù)具體問(wèn)題的特征，選擇“分類”或

“分步”.

C.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)

題.

重點(diǎn)難息

重點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題

課前發(fā)備

多媒體

權(quán)學(xué)過(guò)程

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

計(jì)數(shù)問(wèn)題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過(guò)列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)

是計(jì)數(shù)的基本方法，但當(dāng)訶題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不

高，能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)

單的問(wèn)題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.通過(guò)導(dǎo)語(yǔ)，幫助

,???學(xué)生回顧計(jì)數(shù)問(wèn)題，

引出學(xué)習(xí)課題。

問(wèn)題1.用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)

座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編

出26+10=36種不同的號(hào)碼.

問(wèn)題2.你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類;

通過(guò)具體問(wèn)題，已發(fā)

（2）分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

學(xué)生思考，通過(guò)分

（3）各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

析、比較、歸納、形

你能舉出一些生.活中類似的例子嗎？成對(duì)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)

一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)

算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

建模的核心素養(yǎng)。

完成一件事，有兩類辦法.在第1類辦法中有m種不同的方法，

在第2類方法中有n種不司的方法，則完成這件事共有:N=m+n種

不同的方法.

二、典例解析

例1.在填寫高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A,B兩所大學(xué)各

有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表，

A大學(xué)B大學(xué)

生物學(xué)數(shù)學(xué)

化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)

醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)

物理學(xué)法學(xué)

工程學(xué)

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇？

分析:要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)

中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，乂因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒(méi)有

共同的強(qiáng)項(xiàng)專?業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.

解：這名同學(xué)可以選擇A.B兩所大學(xué)中的一所，在A大學(xué)中有5種

專業(yè)選擇

方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)

是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的

專業(yè)選擇種數(shù)N=5+4=9.

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

(1)分類:將完成這件事的辦法分成若干類；

(2)計(jì)數(shù):求出每一類中的方法數(shù)；

(3)結(jié)論:將每一類中的方法數(shù)相加得最終結(jié)果.

問(wèn)題3.如果完成一件事有三類不同方案，在第一類方案中有“種

I

不同的方法，在第二類方案中有機(jī)種不同的方法，在第三類方案中

2

有機(jī)種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？如果

3

完成一件事情有N類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方

法，那么應(yīng)該如何計(jì)數(shù)呢？

分類加法計(jì)數(shù)原理；完成一件事,如果有，，類辦法,且:第一類辦法中

有陽(yáng)種不同的方法，第二類辦法中有機(jī)種不同的方法……第〃類辦在典例分析和練

I2

習(xí)中讓學(xué)生熟悉兩

法中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+〃?+…+加種

n12n

個(gè)計(jì)數(shù)原理的基本

不同的方法.

步驟，并能區(qū)分它們

跟蹤訓(xùn)練1.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)

的聯(lián)系和區(qū)別，發(fā)展

數(shù)是（）

學(xué)生邏輯推理，直觀

A.18B.36C.72D.48

想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)

解析：方法一按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

成八類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5

個(gè)、4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩

位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（個(gè)）.

方法二按個(gè)傳卜的數(shù)字分別是2.3,4.5.6.7.8.9分成八類.

在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、

6個(gè)、7個(gè)、8個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)共有1

+2+3+4+5+6+7+8=36（個(gè)）.

方法三考慮兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的大小關(guān)系，利用對(duì)應(yīng)思

想解決.所有的兩位數(shù)共有90個(gè)，其中，個(gè)位數(shù)字等于十位數(shù)字的

兩位數(shù)為11,22,33,…，99,共9個(gè)；有10,20,30,…，90共

9個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不能調(diào)換位置，則剩余的兩位數(shù)有

90-18=72（個(gè)）.在這72個(gè)兩位數(shù)中，每一個(gè)個(gè)位數(shù)字⑷小于十位數(shù)

字S）的兩位數(shù)都有一個(gè)十位數(shù)字S）小于個(gè)位數(shù)字S）的兩位數(shù)與之對(duì)

應(yīng)，故滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是72"=36.故選B.

答案：B

問(wèn)題4,用前6個(gè)大寫的英文字母和1~9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A,

1

A」..八外十…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出

多少種不同的號(hào)碼?

解：方法一：解決計(jì)數(shù)問(wèn)題可以用“樹(shù)狀圖”列舉出來(lái)

得到的號(hào)碼

方法二：由于6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與6個(gè)數(shù)字中的任意

一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6x9=54種不同

的號(hào)碼.

問(wèn)題5?你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎？

上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：

（I）由問(wèn)題條件中的“和”，可確定完成編號(hào)要分兩步：

（2）分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

（3）將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉出一些生活中類似的例子嗎？

例2.設(shè)某班有男生30名，女生24名?，F(xiàn)要從中選出男、女生各一

名代表班級(jí)參

加比賽，共有多少種不同的選法？

分析:選出一組參賽代表，可分兩步：第一步，選男生；第二步，選女

生.

解：第一步，從30名男生中選出I人，有30種不同選擇;

第二步，從24名女生中選出I人，有24種不同選擇；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有30X24=720種不同方法.

問(wèn)題6.如果完成一件事有三個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方

I

法，做第2步有〃？種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，

2

那么完成這件事共有多少種不同的方法？

N=mXmXm

123

如果完成一件事需要有n個(gè)步驟，做每一步中都有若干種不同方法，那

么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢？

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第

1

2步有m種不同的方法，…，做第n步有m種不同的方法，那么完成

2n

這件事的方法總數(shù)如何計(jì)算？

MWHm.般結(jié)論：

N=mXmX…Xm

12n

例3.書架上第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的

文藝書，笫3層放有2本不同的體育雜志.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同取法？

(3)從書架上取2本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？

解：(1)根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得：N=4+3+2=9；

(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N=4x3x2=24；

(3)需先分類再分步.

第一類：從一、二層各取一本，有4x3=12種方法：

第二類：從一、三層各取一?本,有4x2=8種方法；

第三類：從二、三層各取一本，有3x2=6種方法；

根據(jù)兩個(gè)基本原理，不同的取法總數(shù)是

N=4X3+4X2+3X2=26

答：從書架上取2本不同種的書，有26種不同的取法.

應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路

跟蹤訓(xùn)練2.有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況

下各有多少種不同的報(bào)名方法？（不一定6名同學(xué)都參加）

⑴每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；

（2）每項(xiàng)限報(bào)-人，且每人至多參加一項(xiàng)；

⑶每項(xiàng)限報(bào)?人，但每人參加的項(xiàng)目不限.

解：（1）每人都可以從這三個(gè)比賽項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的

報(bào)名方法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為36=729.

（2）每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，

因此可由項(xiàng)FI選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選

法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為6x5x4=120.

（3）每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6人中選出1

人參賽.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法種數(shù)為63=

216.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.某教師有相同的語(yǔ)文參考書3本，相同的數(shù)學(xué)參考書4本，從中取通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)

出4本贈(zèng)送給4位學(xué)生，每位學(xué)生1本，則不同的贈(zèng)送方法共有（）所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生

A.20種B.15種C.10種D.4種解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生

解析：若4本中有3本語(yǔ)文參考書和1本數(shù)學(xué)參考書，則有4種方的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推

法，若4本中有1本語(yǔ)文參考書和3本數(shù)學(xué)參考書，則芍4種方法,理、直觀想象、數(shù)學(xué)

若4本中有2本語(yǔ)文參考書和2本數(shù)學(xué)參考書，則有6種方法，若4建模的核心索養(yǎng)。

本都是數(shù)學(xué)參考書，則有一種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有4+4

+6+1=15（種）.故選B

答案：B

2.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外知識(shí)講座，每名同學(xué)可自由

選擇其中的一個(gè)講座，不司的選法的種數(shù)是（）

A.56B.65C.30D.II

解析：（I）第一名同學(xué)有5種選擇方法，第二名也有5種選擇方法，…,

依次，第六名同學(xué)有5種選擇方法，綜上，6名同學(xué)共有5$種不同的

選法.故選A.

3.4張卡片的正、反面分別標(biāo)有。與1,2與3,4與5,6與7,將其中3

張卡片排放在一起,可組成個(gè)不同的三位數(shù).

解析:分三個(gè)步驟：

第一步:百位可放8-1=7個(gè)數(shù)；

第二步:十位可放6個(gè)數(shù)；

笫三步:個(gè)位可放4個(gè)數(shù).

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可以組成N=7X6X4=168個(gè)不同的三位數(shù).

答案：168

4.如圖所示的電路圖，從4到B共有條不同的線路可通

電.

解析:先分三類.第一類,經(jīng)過(guò)支路①有3種方法;第二類，經(jīng)過(guò)支路②有

1種方法;第三類，經(jīng)過(guò)支路③有2X2=4種方法，所以總的線路條數(shù)

N=3+1+4=8.

答案:8

5.如圖，?只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的棱，從頂點(diǎn)A爬到相對(duì)頂點(diǎn)C，求其中

I

經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有多少條？

解:從總體上看有三類方法，分別經(jīng)過(guò)ABADAA.從局部上看每一類

1

又需分兩步完成.故第一類:經(jīng)過(guò)人我有機(jī)=1X2=2條;第二類:經(jīng)過(guò)

1

4D,有m=1X2=2條;第三類:經(jīng)過(guò)AA，有m=1X2=2條.根據(jù)分類加

2I3

法計(jì)數(shù)原理,從頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)C經(jīng)過(guò)3條棱的路線共有N=2+2+2=6

1

條.

6.某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門，其中7人會(huì)英

語(yǔ),3人會(huì)口語(yǔ)，從中選出會(huì)英語(yǔ)和口語(yǔ)的各一人到邊遠(yuǎn)地區(qū)支教，有多

少種不同的選法？

解:由題意知，有1人既會(huì)英語(yǔ)乂會(huì)日語(yǔ),6人只會(huì)英語(yǔ),2人只會(huì)日語(yǔ).

方法一:分兩類.

第一類:從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法，從會(huì)日語(yǔ)的3人中選

1人有3種選法此時(shí)共有6X3=18（種）選法.

第二類:從“全能”的人中選1人有1種選法，從只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1

人有2種選法，此時(shí)有1X2=2（種）選法.所以由分類加法計(jì)數(shù)原理知，

共有18+2=20（種）選法.

方法二:設(shè)既會(huì)英語(yǔ)乂會(huì)日語(yǔ)的人為甲,則甲有入選和不入選兩類情

形,入選后又分兩種情況：（1）教英語(yǔ);（2）教日語(yǔ).

第一類:甲入選.

（1）甲教英語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)日語(yǔ)的2人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有

1X2=2（種）選法；

（2）甲教日語(yǔ)，再?gòu)闹粫?huì)英語(yǔ)的6人中選I人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有

1X6=6（種）選法.故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類:甲不入選.

可分兩步:第一步,從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人有6種選法;第二步，從

只會(huì)口語(yǔ)的2人中選1人有2種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有6X

2=12（種）不同的選法.綜上，共有8+12=20（種）不同的選法.

四、小結(jié)

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最一步鞏固本節(jié)所學(xué)

基本、最重要的方法.內(nèi)容，提高概括能

2.區(qū)別力。

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

區(qū)別完成一件事共有n類