2022年人教版七7年級下冊數(shù)學(xué)期末綜合復(fù)習(xí)附解析一、選擇題1．的值是（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．﹣92．下列現(xiàn)象中，（）是平移A．“天問”探測器繞火星運動 B．籃球在空中飛行C．電梯的上下移動 D．將一張紙對折3．已知點P的坐標為P（3，﹣5），則點P在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4．命題：①對頂角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等．其中錯誤的有（）A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④5．如圖，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，則∠H為（）A．22° B．22.5° C．30° D．45°6．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．如圖，直線AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝40°，則∠3等于（）A．80° B．70° C．90° D．100°8．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，2）、（3，1）、（3，0）、（4，0），……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第20個點的坐標為（）A．（6，4） B．（6，5） C．（7，3） D．（7，5）九、填空題9．計算_______________．十、填空題10．已知點的坐標是，且點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，則__________．十一、填空題11．如圖，已知OB、OC為△ABC的角平分線，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE的周長為12，BC長為5，則△ABC的周長__．十二、填空題12．如圖，已知a∥b，如果∠1＝70°，∠2＝35°，那么∠3＝_____度．十三、填空題13．如圖，點E、點G、點F分別在AB、AD、BC上，將長方形ABCD按EF、EG翻折，線段EA的對應(yīng)邊EA'恰好落在折痕EF上，點B的對應(yīng)點B'落在長方形外，B'F與CD交于點H，已知∠B'HC＝134°，則∠AGE＝_____°．十四、填空題14．規(guī)定運算：，其中為實數(shù)，則____十五、填空題15．已知點A（0，1），B（0，2），點C在x軸上，且，則點C的坐標________.十六、填空題16．在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點的和諧點．已知點的和諧點為，點的和諧點為，點的和諧點為，……，這樣依次得到點，，，…，．若點的坐標為，則點的坐標為______．十七、解答題17．計算：（1）（2）十八、解答題18．求下列各式中的值：（1）；（2）；（3）．十九、解答題19．如圖所示，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，請你判斷DE和BC平行嗎？說明理由．（請根據(jù)下面的解答過程，在橫線上補全過程和理由）解：DE∥BC．理由如下：∵∠1+∠4＝180°（平角的定義），∠1+∠2＝180°（），∴∠2＝∠4（）．∴∥（）．∴∠3＝（）．∵∠3＝∠B（），∴＝（）．∴DE∥BC（）．二十、解答題20．如圖，在正方形網(wǎng)格中，三角形的三個頂點和點都在格點上（正方形網(wǎng)格的交點稱為格點）．點，，的坐標分別為，，．平移三角形，使點平移到點，點，分別是，的對應(yīng)點．（1）請畫出平移后的三角形，并分別寫出點E、F的坐標；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點，使得，若存在，請求出的坐標，若不存在，請說明理由．二十一、解答題21．已知：是的整數(shù)部分，是的小數(shù)部分．求：（1），值（2）的平方根．二十二、解答題22．學(xué)校要建一個面積是81平方米的草坪，草坪周圍用鐵柵欄圍繞，現(xiàn)有兩種方案：有人建議建成正方形，也有人建議建成圓形，如果從節(jié)省鐵柵欄費用的角度考慮（柵欄周長越小，費用越少），你選擇哪種方案？請說明理由．（π取3）二十三、解答題23．已知，AB∥DE，點C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點C作CF⊥BC交ED的延長線于點F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點G，連接GB并延長至點H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．二十四、解答題24．已知AB∥CD，點M在直線AB上，點N、Q在直線CD上，點P在直線AB、CD之間，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．（1）如圖①，求∠MPQ的度數(shù)（用含α的式子表示）；（2）如圖②，過點Q作QE∥PN交PM的延長線于點E，過E作EF平分∠PEQ交PQ于點F．請你判斷EF與PQ的位置關(guān)系，并說明理由；（3）如圖③，在（2）的條件下，連接EN，若NE平分∠PNQ，請你判斷∠NEF與∠AMP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．二十五、解答題25．在△ABC中，射線AG平分∠BAC交BC于點G，點D在BC邊上運動（不與點G重合），過點D作DE∥AC交AB于點E．（1）如圖1，點D在線段CG上運動時，DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，則∠AFD＝；若∠B＝40°，則∠AFD＝；②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（2）點D在線段BG上運動時，∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由【參考答案】一、選擇題1．B解析：B【分析】根據(jù)表示9的算術(shù)平方根，而9的算術(shù)平方根是3，進而得出答案．【詳解】解：因為32=9，所以=3，故選：B．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，理解算術(shù)平方根的意義是正確解答的前提．2．C【分析】根據(jù)平移的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．【詳解】解：A.“天問”探測器繞火星運動不解析：C【分析】根據(jù)平移的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．【詳解】解：A.“天問”探測器繞火星運動不是平移，故此選項不符合題意；B.籃球在空中飛行不是平移，故此選項不符合題意；C.電梯的上下移動是平移，故此選項符合題意；D.將一張紙對折不是平移，故此選項不符合題意故選：C．【點睛】本題考查平移的概念，與實際生活相聯(lián)系，注意分清與旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)的區(qū)別．3．D【分析】直接利用第四象限內(nèi)的點橫坐標大于0，縱坐標小于0解答即可．【詳解】解：∵點P的坐標為P（3，﹣5），∴點P在第四象限．故選D．【點睛】本題主要考查了點的坐標，各象限坐標特點如下：第一象限（+，+），第二象限（-，+）第三象限（-，-）第一象限（+，-）．4．D【分析】根據(jù)對頂角的定義對①③進行判斷；根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行對②進行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)對④進行判斷．【詳解】對頂角相等，所以①正確，不符合題意；過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以②不正確，符合題意；相等的角不一定為對頂角，所以③不正確，符合題意；兩直線平行，同位角相等，所以④不正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理，主要是判斷命題的真假，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】過作，過作，利用平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：過作，過作，，，，，，，，，，，．故選：B．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線，利用平行線的性質(zhì)解答．6．D【分析】根據(jù)乘方運算，可得平方根、立方根，根據(jù)絕對值，可得絕對值表示的數(shù)，根據(jù)正數(shù)大于負數(shù)，可得答案．【詳解】解：∵，，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)比較大小，先化簡，再比較，解題的關(guān)鍵是掌握乘方運算，絕對值的化簡．7．C【分析】根據(jù)AB∥CD判斷出∠1=∠C=50°，根據(jù)∠3是△ECD的外角，判斷出∠3=∠C+∠2，從而求出∠3的度數(shù)．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠C=50°，∵∠3是△ECD的外角，∴∠3=∠C+∠2，∴∠3=50°+40°=90°．故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)，靈活運用是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】橫坐標為1的點有1個，縱坐標只是0；橫坐標為2的點有2個，縱坐標是0或1；橫坐標為3的點有3個，縱坐標分別是0，1，橫坐標為奇數(shù)，縱坐標從大數(shù)開始數(shù)；橫坐標為偶數(shù)，則從0開始數(shù)．【詳解析：A【分析】橫坐標為1的點有1個，縱坐標只是0；橫坐標為2的點有2個，縱坐標是0或1；橫坐標為3的點有3個，縱坐標分別是0，1，橫坐標為奇數(shù)，縱坐標從大數(shù)開始數(shù)；橫坐標為偶數(shù)，則從0開始數(shù)．【詳解】解：把第一個點作為第一列，和作為第二列，依此類推，則第一列有一個數(shù)，第二列有2個數(shù)，第列有個數(shù)．則列共有個數(shù)，并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上．因為，則第20個數(shù)一定在第6列，由下到上是第4個數(shù)．因而第20個點的坐標是．故選：A．【點睛】本題考查了學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．九、填空題9．11【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義以及有理數(shù)的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：原式=2+9=11．故答案為：11．【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根以及有理數(shù)的乘方運算，正解析：11【分析】直接利用算術(shù)平方根的定義以及有理數(shù)的乘方運算法則分別化簡得出答案．【詳解】解：原式=2+9=11．故答案為：11．【點睛】此題主要考查了算術(shù)平方根以及有理數(shù)的乘方運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．十、填空題10．-31【分析】平面內(nèi)關(guān)于x軸對稱的兩個點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．【詳解】∵已知點的坐標是，且點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，∴m＝?3；n＝1，故答案為?3；1解析：-31【分析】平面內(nèi)關(guān)于x軸對稱的兩個點的坐標：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．【詳解】∵已知點的坐標是，且點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，∴m＝?3；n＝1，故答案為?3；1．【點睛】解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．十一、填空題11．17【詳解】∵0B、OC為△ABC的角平分線，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，解析：17【詳解】∵0B、OC為△ABC的角平分線，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，∴BD=OD，EC=OE，∴DE=OD+OE=BD+EC；∵△ADE的周長為12，∴AD+DE+AE=AD+OD+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=12，∵BC=7，∴△ABC的周長為：AB+AC+BC=12+5=17.故答案為17.十二、填空題12．75【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和的度數(shù)得到，再利用平角的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖：，，．，．故答案為：75．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平解析：75【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和的度數(shù)得到，再利用平角的性質(zhì)可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖：，，．，．故答案為：75．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．十三、填空題13．11【分析】由外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，求得的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，，，，，折疊，，，，，故答案為：11．解析：11【分析】由外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)，進而求出的度數(shù)，求得的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，，，，，折疊，，，，，故答案為：11．【點睛】本題考查了角之間的計算，解題的關(guān)鍵是理解折疊就是軸對稱，利用軸對稱的性質(zhì)求解．十四、填空題14．4【分析】根據(jù)題意將原式展開，然后化簡絕對值，求解即可．【詳解】===4故答案為4．【點睛】本題考查了定義新運算，絕對值的化簡，和實數(shù)的計算，熟練掌握絕對值的化簡規(guī)律是本題的關(guān)鍵解析：4【分析】根據(jù)題意將原式展開，然后化簡絕對值，求解即可．【詳解】===4故答案為4．【點睛】本題考查了定義新運算，絕對值的化簡，和實數(shù)的計算，熟練掌握絕對值的化簡規(guī)律是本題的關(guān)鍵．十五、填空題15．（4,0）或（﹣4,0）【詳解】試題解析：設(shè)C點坐標為（|x|，0）∴解得：x=±4所以，點C的坐標為（4，0）或（-4，0）.解析：（4,0）或（﹣4,0）【詳解】試題解析：設(shè)C點坐標為（|x|，0）∴解得：x=±4所以，點C的坐標為（4，0）或（-4，0）.十六、填空題16．【分析】根據(jù)“和諧點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點A2021的坐標即可．【詳解】解：∵A1的坐標為（2，4），∴A解析：【分析】根據(jù)“和諧點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點A2021的坐標即可．【詳解】解：∵A1的坐標為（2，4），∴A2（?3，3），A3（?2，?2），A4（3，?1），A5（2，4），…，依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2021÷4＝505???1，∴點A2021的坐標與A1的坐標相同，為（2，4）．故答案為：．【點睛】本題是對點的變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解“和諧點”的定義并求出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．十七、解答題17．（1）-3；（2）-11．【分析】（1）分別計算乘方，立方根，絕對值，再合并即可得到答案；（2）利用乘法的分配律先計算乘法，再計算加減運算即可得到答案．【詳解】（1）解：原式=（2）解解析：（1）-3；（2）-11．【分析】（1）分別計算乘方，立方根，絕對值，再合并即可得到答案；（2）利用乘法的分配律先計算乘法，再計算加減運算即可得到答案．【詳解】（1）解：原式=（2）解：原式==．【點睛】本題考查的是乘法的分配律的應(yīng)用，乘方運算，求一個數(shù)的立方根，求一個數(shù)的絕對值，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．十八、解答題18．（1）0.2；（2）；（3）5【分析】（1）直接利用立方根的性質(zhì)計算得出答案；（2）直接將-3移項，合并再利用立方根的性質(zhì)計算得出答案；（3）直接利用立方根的性質(zhì)計算得出x-1的值，進而得出解析：（1）0.2；（2）；（3）5【分析】（1）直接利用立方根的性質(zhì)計算得出答案；（2）直接將-3移項，合并再利用立方根的性質(zhì)計算得出答案；（3）直接利用立方根的性質(zhì)計算得出x-1的值，進而得出x的值．【詳解】解：（1）x3=0.008，則x=0.2；（2）x3-3=則x3=3+故x3=解得：x=；（3）（x-1）3=64則x-1=4，解得：x=5．【點睛】此題主要考查了立方根，正確把握立方根的定義是解題關(guān)鍵．十九、解答題19．已知；同角的補角相等；AB；EF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠ADE；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；∠B；∠ADE；等量代換；同位角相等，兩直線平行【分析】求出∠2＝∠4，根據(jù)平行線的判定得出AB解析：已知；同角的補角相等；AB；EF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠ADE；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；∠B；∠ADE；等量代換；同位角相等，兩直線平行【分析】求出∠2＝∠4，根據(jù)平行線的判定得出AB∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠ADE，求出∠B＝∠ADE，再根據(jù)平行線的判定推出即可．【詳解】解：DE∥BC，理由如下：∵∠1+∠4＝180°（平角定義），∠1+∠2＝180°（已知），∴∠2＝∠4（同角的補角相等），∴AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠3＝∠B（已知），∴∠B＝∠ADE（等量代換），∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行），【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理及判定定理是解題的關(guān)鍵．二十、解答題20．（1）畫圖見解析，E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）7；（3）（10，0）或（-18，0）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出平移后的三角形DEF，并寫出點E，F(xiàn)的坐標；（2）利用割補法計解析：（1）畫圖見解析，E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）7；（3）（10，0）或（-18，0）【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出平移后的三角形DEF，并寫出點E，F(xiàn)的坐標；（2）利用割補法計算即可；（3）根據(jù)△ABC的面積得到△BCM的面積，從而計算出BM，可得點M的坐標；【詳解】解：（1）如圖，三角形DEF即為所求，點E（2，-2），F(xiàn)（6，-1）；（2）S△ABC==7；（3）∵，點C的坐標為（0,1），∴BM=，∵B（-4，0），∴點M的坐標為（10，0）或（-18，0）．【點睛】本題考查了作圖-平移變換，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．二十一、解答題21．（1），．（2）．【分析】（1）首先得出接近的整數(shù)，進而得出a，b的值；（2）根據(jù)平方根即可解答．【詳解】，∴整數(shù)部分，小數(shù)部分．（2）原式，則的平方根為．【點睛】此題解析：（1），．（2）．【分析】（1）首先得出接近的整數(shù)，進而得出a，b的值；（2）根據(jù)平方根即可解答．【詳解】，∴整數(shù)部分，小數(shù)部分．（2）原式，則的平方根為．【點睛】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．二十二、解答題22．選擇建成圓形草坪的方案，理由詳見解析【分析】根據(jù)正方形的面積公式、算術(shù)平方根的概念求出正方形的邊長，求出正方形的周長，根據(jù)圓的面積公式、算術(shù)平方根的概念求出圓的半徑，求出圓的周長，比較大小得到答解析：選擇建成圓形草坪的方案，理由詳見解析【分析】根據(jù)正方形的面積公式、算術(shù)平方根的概念求出正方形的邊長，求出正方形的周長，根據(jù)圓的面積公式、算術(shù)平方根的概念求出圓的半徑，求出圓的周長，比較大小得到答案．【詳解】解：選擇建成圓形草坪的方案，理由如下：設(shè)建成正方形時的邊長為x米，由題意得：x2=81，解得：x=±9，∵x>0，∴x=9，∴正方形的周長為4×9=36，設(shè)建成圓形時圓的半徑為r米，由題意得：πr2=81．解得：，∵r>0．∴，∴圓的周長=，∵，∴，∴建成圓形草坪時所花的費用較少，故選擇建成圓形草坪的方案．【點睛】本題考查的是算術(shù)平方根的應(yīng)用，掌握算術(shù)平方根概念是解題的關(guān)鍵．二十三、解答題23．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，由此即可得出結(jié)論；（3）過點作，延長至點，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角的和差、對頂角相等可得，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）如圖，過點作，，，，，即，，；（2）如圖，過點作，，，，，即，，，，，；（3）如圖，過點作，延長至點，，，，，平分，平分，，由（2）可知，，，又，．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對頂角相等、角平分線的定義等知識點，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二十四、解答題24．（1）2α；（2）EF⊥PQ，見解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見解析【分析】1）如圖①，過點P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝解析：（1）2α；（2）EF⊥PQ，見解析；（3）∠NEF＝∠AMP，見解析【分析】1）如圖①，過點P作PR∥AB，可得AB∥CD∥PR，進而可得結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件可得2∠EPQ+2∠PEF＝180°，進而可得EF與PQ的位置關(guān)系；（3）結(jié)合（2）和已知條件可得∠QNE＝∠QEN，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），可得∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE，進而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，過點P作PR∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PR，∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；（2）如圖②，EF⊥PQ，理由如下：∵PQ平分∠MPN．∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，∵QE∥PN，∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，∵EF平分∠PEQ，∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，∴∠EPQ+∠PEF＝90°，∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，∴EF⊥PQ；（3）如圖③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，∴∠QEF＝90°﹣2α，∵∠PQN＝α，∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，∵NE平分∠PNQ，∴∠PNE＝∠QNE，∵QE∥PN，∴∠QEN＝∠PNE，∴∠QNE＝∠QEN，∵∠NQE＝3α，∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α