專題06圓中的重要模型之圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。內(nèi)切圓、外接圓模型常以選填題的形式考查，而內(nèi)切圓與外接圓模型結(jié)合多以綜合題的形式呈現(xiàn)，出題靈活多變，是中考的常考題型。本專題就圓的內(nèi)切圓和外接圓模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型趣事 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.內(nèi)切圓模型 6模型2.外接圓模型 12 18古希臘數(shù)學(xué)家（如歐幾里得）在《幾何原本》中系統(tǒng)研究過三角形與圓的位置關(guān)系，垂直平分線、角平分線的交點性質(zhì)奠定了外心與內(nèi)心的理論基礎(chǔ)?。三角形的內(nèi)切圓和外接圓模型均基于三角形的基本性質(zhì)命名：外接圓與三邊相關(guān)，內(nèi)切圓與三角形的角相關(guān)。內(nèi)切圓?是與多邊形各邊均相切的圓，在三角形中具有唯一性，其圓心稱為內(nèi)心，是角平分線的交點。內(nèi)心到三角形各個邊的垂線段相等。外接圓?是與多邊形各頂點都相交的圓，其中三角形必然有外接圓，其圓心稱為外心，位于任意兩邊垂直平分線的交點。外心到三角形各頂點的距離相等。

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B綜上，正確的有3個，故選：B．1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為內(nèi)心），切點為D、E、F，⊙O的半徑為r。證明：∵O為三角形ABC的內(nèi)心，∴OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，∵O為內(nèi)心，切點為D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r，∴點O到三角形ABC的三邊距離相等；∵OA、OB、OC分別為∠A、∠B、∠C的平分線，圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四邊形OECF為正方形，3）四邊形的內(nèi)切圓模型證明：∵⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH，4）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。證明：∵O為三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO，∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC圖1圖2圖35）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點。證明：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵點P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD∠DCM=∠ACB∠DCM，即∠ACD=∠BCP，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已證），∠BMP=∠AMC（對頂角）。6）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。證明：連結(jié)OA、OC，設(shè)∠AOC=，∵圓周角等于所對的圓心角的一半，∴∠ADC=，模型1.內(nèi)切圓模型A． B． C． D．【答案】D【答案】C【答案】2點到邊的距離為2；故答案為：2．

【答案】4故答案為：4．例6（2024·四川·校考一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．【詳解】連接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，如圖所示：則O1D＝O1E＝O1F＝r1，∵M是AB的中點，∴B（0，2），A（2，0），則S△OO1B＝×OB×r1＝r1，

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C

模型2.外接圓模型例1（2425·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，則它的外接圓半徑R＝，內(nèi)切圓半徑r＝．【答案】【詳解】解：如圖，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，∴過A作AD⊥BC于D，則外接圓的圓心O在AD上，連接OB、OC，∴R2=（6R）2+82，∴R=；如圖，過A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC的外心I在AD上，過I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，連接OA、OB、OC，則IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，∴由三角形的面積公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=，即三角形ABC的外接圓半徑R=，內(nèi)切圓半徑r=，故答案為：，．【答案】B【答案】【答案】①②③由圓中最長的弦是直徑可知的最大值為8，故②正確；綜上所述：正確的有①②③；故答案為①②③．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）證明：連接、、、，（3）連接，，，，【答案】C2．（2425·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三邊所得的弦長相等，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】C【詳解】解：如圖，∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=（180°∠A）=（180°50°）=65°，∴∠BOC=180°（∠1+∠3）=180°65°=115°．故選：C．【答案】D表達式錯誤的是D選項，故選：D．4．（2425·浙江九年級課時練習(xí)）已知三角形的周長為12，面積為6，則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【答案】DA．36° B．48° C．60° D．72°【答案】C7．（2425·江蘇南京·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，已知AD＝2，BC＝5，則AB＋CD的值是A．14 B．12 C．9 D．7【答案】D【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設(shè)切點分別為E、H、G、F，∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故選D.A．B．C．D．以上答案均不正確【答案】AA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵點是上一動點，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②錯誤；當(dāng)最長時，DB為圓O的直徑，∴∠BCD=90°，如圖，延長DA至點E，使AE=DC，∵四邊形ABCD為圓O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=BD，

【答案】11．（2425·四川宜賓·九年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．【詳解】連接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，如圖所示：則O1D＝O1E＝O1F＝r1，∵M是AB的中點，∴B（0，2），A（2，0），則S△OO1B＝×OB×r1＝r1，12．（2425·山東泰安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，若∠AIB＝125°，則∠AOB的度數(shù)為．【答案】140°【詳解】解：分別作出△ABC的外接圓⊙O，△ABC的內(nèi)切圓⊙I，∵點I是△ABC的內(nèi)心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°∠AIB＝55°，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°，∴∠ACB＝180°（∠CAB+∠CBA）＝70°，∵點O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案為：140°．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析

【答案】(1)見解析(2)6(3)【詳解】（1）解：證明：連接，，

15．（2425九年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于．(2)在（1）的條件下，試探究線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【答案】(1)等邊三角形(2)AC＝AB+AD；證明見解析；(3)證明見解析【詳解】（1）解：∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°，∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等邊三角形．（2）結(jié)論：AC＝AB+AD．理由：如圖1，在AC上截取AE＝AD，連接DE．∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC，∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)，∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB．（3）如圖2中，在PD上取DE＝BP，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)，∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PA