第06講一元二次方程的解法（知識點+題型+分層強(qiáng)化）目錄知識梳理1．解一元二次方程直接開平方法2．解一元二次方程配方法3．解一元二次方程公式法4．解一元二次方程因式分解法5．換元法解一元二次方程6．配方法的應(yīng)用題型鞏固一、因式分解法解一元二次方程二、解一元二次方程——直接開平方法三、解一元二次方程——配方法四、配方法的應(yīng)用五、公式法解一元二次方程六、換元法解一元二次方程分層強(qiáng)化一、單選題（7）二、填空題（10）三、解答題（7）知識梳理知識點1．解一元二次方程直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．知識點2．解一元二次方程配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．知識點3．解一元二次方程公式法（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．知識點4．解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．知識點5．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．知識點6．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．題型鞏固題型一、因式分解法解一元二次方程【答案】C【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題考查解一元二次方程，根據(jù)方程特點選擇合適的方法求解是解題關(guān)鍵．先去括號化簡，再根據(jù)因式分解法求解即可．故選C．【知識點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．3．（2425八年級上·上?！て谀┙夥匠蹋骸局R點】因式分解法解一元二次方程【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（2）先移項，再運(yùn)用因式分解法進(jìn)行解方程，即可作答．題型二、解一元二次方程——直接開平方法【答案】A【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】利用直接開方法解一元二次方程即可得．故選：A．【點睛】本題考查了利用直接開方法解一元二次方程，熟練掌握直接開方法是解題關(guān)鍵．【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題考查了直接開平方法，掌握直接開平方法解方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直接開平方法求解方程即可．6．解方程：【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題考查了利用直接開方法解一元二次方程．（1）先移項，再兩邊同除以3，然后利用直接開方法解方程即可得；（2）先移項，再利用直接開方法解方程即可得；（3）先兩邊同乘以2，再利用直接開方法解方程即可得；（4）先利用平方差公式去括號，再移項合并同類項，然后利用直接開方法解方程即可得．題型三、解一元二次方程——配方法【答案】C【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程，熟練掌握用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.先把常數(shù)項移到等號右邊，等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，最后配方即可.故選：C.8．把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是．【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】先移項，再利用配方法，即可求解．【點睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2324八年級上·上?！卧獪y試）用配方法解方程【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，先把二次項系數(shù)化為1，再把常數(shù)項移到方程右邊，接著把方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方進(jìn)行配方，并解方程即可．題型四、配方法的應(yīng)用10．（2223八年級上·上海楊浦·期中）用一根長為厘米的繩子，圍成一個面積為平方厘米的長方形，則的值不可能是（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】配方法的應(yīng)用【詳解】解：設(shè)圍成矩形的長為厘米，∴的值不可能為．故選：A．【點睛】本題考查列代數(shù)式，完全平方公式，平方的非負(fù)性．根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【知識點】配方法的應(yīng)用【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最小值即可．12．我們知道：對于任何實數(shù)x．①∵x2≥0，∴x2+1＞0；②∵（x﹣）2≥0，∴（x﹣）2+＞0．模仿上述方法解答：求證：（1）對于任何實數(shù)x，均有2x2+4x+3＞0；（2）不論x為何實數(shù)，多項式3x2﹣5x﹣1的值總大于2x2﹣4x﹣7的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析【知識點】配方法的應(yīng)用【分析】（1）將代數(shù)式前兩項提取2，配方后根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1，即對于任何實數(shù)x，代數(shù)式2x2+4x+3的值總大于0，得證；（2）證明3x25x1（2x24x7）>0即可.【詳解】證明：(1)∵2x2+4x+3=2(x2+2x)+3=2(x2+2x+1)+1=2(x+1)2+1?1>0.2x2+4x+3>0(2)∵3x2?5x?1?(2x2?4x?7)=3x2?5x?1?2x2+4x+7=x2?x+6=(x?)2+>0，∴多項式3x2?5x?1的值總大于2x2?4x?7的值.【點睛】本題考查偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用.題型五、公式法解一元二次方程13．在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式2x2﹣8x+5正確的是（）【答案】B【知識點】公式法解一元二次方程【分析】解出方程2x28x+5=0的根，從而可以得到答案．【詳解】解：∵方程2x28x+5=0中，a=2，b=8，c=5，∴Δ=（8）24×2×5=6440=24＞0，故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程，實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，求出一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．【知識點】公式法解一元二次方程15．（2324八年級上·上?！卧獪y試）用公式法解方程【知識點】公式法解一元二次方程【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把原方程化為一般式，再求出判別式的值，進(jìn)而利用公式法解方程即可．題型六、換元法解一元二次方程A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0【答案】A【知識點】換元法解一元二次方程故選：A．【點睛】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．【答案】2【知識點】換元法解一元二次方程根據(jù)換元法，可得一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程，可得答案．故答案為：2．【答案】（1）9或；（2）81；（3）1【知識點】換元法解一元二次方程故答案為：9或；．【點睛】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．分層強(qiáng)化一、單選題【答案】A【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵；先移項，然后直接開平方法即可求解.故選：A．2．下列方程中，不能用直接開平方法求解的是（

）【答案】C【詳解】解：選項A：選項B：選項C：因此不能用直接開平方法求解．選項D：符合直接開平方法的要求．故答案為：Ｃ．【答案】B【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，能正確將配方后的式子化為一般式是解題關(guān)鍵．故選B．4．用因式分解法解下列方程，其中正確的是（

）【答案】C【分析】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，根據(jù)因式分解法解一元二次方程，逐項分析判斷，即可求解．根據(jù)因式分解法解方程的條件，方程右邊必須化為，左邊為兩個因式乘積的形式，再令每個因式等于求解．需移項后重新分解，選項D方法錯誤．故選：C．【答案】A【分析】本題考查了解一元二次方程，通過直接開平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解題的關(guān)鍵．故選：．【答案】C【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．故答案為：C．【答案】D【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．故選：D．二、填空題【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵；【答案】2（答案不唯一）故答案為：2（答案不唯一）．【答案】4故答案為：4．【答案】④【分析】根據(jù)配方法解方程的基本步驟解答即可．本題考查了配方法解方程，熟練掌握解題步驟是解題的關(guān)鍵．故答案為：④．12．完成下面的解題過程．解：移項，得，二次項系數(shù)化為，得，配方，得，由此得，解得，．【分析】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．按照配方法的步驟解方程即可．【分析】本題考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法求解即可，掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【答案】3或【分析】本題考查了相反數(shù)的定義和配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出方程并利用配方法求解．故答案為：或【答案】9【分析】本題主要考查了配方法，掌握配方步驟正確計算是本題的解題關(guān)鍵．將原方程進(jìn)行配方，然后求解即可．故答案為：9．【答案】或直角三角形的兩條邊長分別是2、3，故答案為：或．【答案】18三角形的兩邊長分別為4和6，即第三邊的長，第三邊為8，故答案為：18．三、解答題18．用公式法解下列方程：【分析】本題考查的是用公式法解一元二次方程，熟記求根公式是解答本題的關(guān)鍵．【小問1分析】【小問2分析】【詳解】【小問1詳解】【小問2詳解】19．用配方法解方程：【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的基本步驟．20．解下列一元二次方程．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用配方法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用配方法解一元二次方程即可．21．解下列方程：【分析】（1）利用直接開平方法計算即可．（2）利用直接開平方法計算即可．（3）利用因式分解法計算即可．本題考查了因式分解法，直接開平方法求解方程的根，選擇適當(dāng)解方程的方法是解題的關(guān)鍵．22．用因式分解法解下列方程：【分析】本題考查了提取公因式的方法進(jìn)行因式分解，熟練掌