專題10空間角、距離的計算點(diǎn)到平面的距離定義：從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個點(diǎn)到這個平面的距離.直線與平面間的距離定義：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫作這這條直線和這個平面的距離.（三）平行平面間的距離與兩個平行平面都垂直的直線，叫作這兩個平行平面的公垂線.它夾在這兩個平行平面間的線段，叫作這兩個平行平面的公垂線段.公垂線段的長度叫作兩個平行平面間的距離.（四）直線與平面所成的角1.定義：一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．2.規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于0°.因此，直線與平面所成的角的范圍是[0°，90°].（五）二面角（1）有關(guān)概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．（2）平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個二面角的平面角.如圖，OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角.（3）范圍：[0，π]（4）記法：棱為l，面分別為α，β的二面角記為α－l－β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P，Q，將這個二面角記作二面角P－l－Q（5）度量：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角題型一點(diǎn)到平面距離的計算【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合正四面體的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【答案】(1)證明見解析(2)【總結(jié)提升】1.利用垂直關(guān)系，構(gòu)造直角三角形；2．利用“等積法”．題型二直線與平面間距離的計算【答案】【詳解】連接BD、AC，四邊形ABCD為正方形，【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，【總結(jié)提升】利用圖形特征，找出或作出表示距離的線段；轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題．題型三平行平面間距離的計算【答案】(1)證明見解析【答案】(1)；(2).【詳解】（1）如圖：（2）【總結(jié)提升】轉(zhuǎn)化成線面距離或點(diǎn)面距離計算問題.題型四直線與平面所成角（函數(shù)值）的計算【答案】(1)證明見解析(2)【答案】(1)證明見解析(2)方法二：連接AD，取AD中點(diǎn)M，連接MB，MC，故AD與平面BDC所成角的大小.【總結(jié)提升】求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．題型五二面角（函數(shù)值）的計算【答案】(1)證明見解析【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，（2）方法一：取的中點(diǎn)，連接，，，【答案】(1)證明見解析（2）如圖所示，【規(guī)律方法】1.求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”．作平面角時，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂線法)過二面的一個面內(nèi)一點(diǎn)作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．題型六空間基本圖形的綜合問題【答案】(1)證明見解析(2)【答案】(1)見解析；(3)存在，與點(diǎn)重合時，滿足題意.(2)先找出二面角，再轉(zhuǎn)化到三角形中解三角形即可；(3)存在點(diǎn)，運(yùn)用等體積法驗(yàn)證即可說明.則∥，一、單選題A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，可得如圖：故選：A.二、多選題A．異面直線與所成角的為B．異面直線與所成角的為【答案】ACD【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷C選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：故選：ACD.A．直線與所成的角【答案】ACD【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直判定及性質(zhì)、線面角定義逐一計算或判斷各項(xiàng)正誤即可．故選：ACDB．直線與所成角的余弦值為【答案】BC故選：BC.三、填空題【答案】【分析】將四棱錐補(bǔ)成正方體即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件可將四棱錐補(bǔ)成正方體如圖所示：連接CE，則平面CDP和平面CPE為同一個平面，故答案為：.【答案】12故答案為：12.【答案】故答案為：.故答案為：1；1；【答案】##故答案為：四、解答題(1)求直線和平面ABCD所成角的大??；(2)求直線和平面ABCD所成角的正切值．【答案】(1)(2)∴直線在平面ABCD上的射影為直線AB，∴直線和平面ABCD所成角的大小為．∴直線在平面ABCD上的射影為直線，∴直線和平面ABCD所成角的的正切值為．(2)求