第2課時向量的減法[核心必知]1．相反向量(1)定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量．記作：－a．(2)相反向量的性質(zhì)①－0eq\a\vs4\al(＝)0，－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③如果a，b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．2．向量的減法定義向量a加上b的相反向量，叫作向量a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算，叫作向量的減法.作法如果把向量a與b的起點放在O點，那么從向量b的終點B指向被減向量a的終點A，得到的向量就是a－b.圖示[問題思考]1．向量減法的實質(zhì)是什么？提示：向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算，即a－b＝a＋(－b)．2．如何運用三角形法則進(jìn)行向量的減法運算？提示：如已知向量a，b，求a－b，在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，連接AB，則＝a－b.講一講1．已知向量a，b，c求作向量a＋b－c.[嘗試解答]法一：在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，連接OB，則＝a＋b.再作＝c，連接BC，則＝－＝a＋b－c即為所求(如圖)法二：在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，以O(shè)A，OB為鄰邊，作?OACB，連接OC，則＝a＋b.再作＝c，連接CD.法三：在平面內(nèi)任取一點O，作＝a，＝b，連接OB，則＝a＋b.再作＝－c，連接OC.則＝＋＝a＋b－c即為所求(如圖)．1．向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－＝就可以把減法化為加法．在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減向量”即可．3．三角形法則和平行四邊形法則對于向量的減法同樣適用．練一練講一講2．化簡下列各式：1．計算向量的加減法時應(yīng)謹(jǐn)記以下口訣：(1)加法口訣：首尾相接，箭頭從始點指向最后一個終點．(2)減法口訣：始點相同連接終點，箭頭指向被減向量．2．多個向量作加減運算時，應(yīng)把首尾相連的放在一起計算，起點相同的放在一起計算．必要時，可畫出圖形，結(jié)合圖形觀察，將使問題更為直觀．練一練講一講[嘗試解答]依題意，而||＝|a|＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴BC＝AB.?ABCD為菱形，AC⊥BD，∴|a|2＝(eq\f(1,2)|a＋b|)2＋(eq\f(1,2)|a－b|)2即4＝1＋eq\f(|a－b|2,4)，∴|a－b|＝2eq\r(3).練一練3．已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．解：所以△OAB是以∠AOB為直角的直角三角形，從而OA⊥OB，所以?OACB是矩形．根據(jù)矩形的對角線相等有＝4，即|a＋b|＝4.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，.試用a，b，c表示向量.[錯解]∵＝c＋b－a.[錯因]錯誤地使用了向量的減法法則，誤認(rèn)為，在應(yīng)用三角形法則作向量減法時，應(yīng)注意“連接兩向量終點，箭頭指向被減向量”．＝a－b＋c.1．在四邊形ABCD中，設(shè)等于()A．a(chǎn)－b＋cB．a(chǎn)＋b＋cC．b－(a＋c)D．b－a＋c解析：選A＝－b＋a＋c.4．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝eq\r(5)，則|a－b|＝________．解析：∵(eq\r(5))2＝12＋22.∴以a，b為鄰邊的平行四邊形為矩形，那么|a－b|＝|a＋b|＝eq\r(5).答案：eq\r(5)5．給出下列運算：∴①，②正確，③不正確．答案：①②6．如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.解：法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點O，作＝b，則＝a＋b，再作＝c，則＝a＋b－c.法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點O，作＝b，則＝a＋b，再作＝c，連接OC，則＝a＋b－c.一、選擇題A．①②B．②③C．③④D．①④3．如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()4．a(chǎn)與b是非零向量，下列結(jié)論正確的是()A．|a|＋|b|＝|a＋b|B．|a|－|b|＝|a－b|C．|a|＋|b|>|a＋b|D．|a|＋|b|≥|a＋b|解析：選D當(dāng)a，b共線時，若a，b同向，則|a＋b|＝|a|＋|b|，a，b反向時，|a＋b|<|a|＋|b|；當(dāng)a，b不共線時，如圖有：|a＋b|<|a|＋|b|.故|a|＋|b|≥|a＋b|.二、填空題5．若菱形ABCD的邊長為2，則＝________.答案：26．若A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點，給出下列式子：①＋其中所有正確的式子的序號是________．答案：②③7．在?ABCD中，＝b，|a|＝|b|＝2，∠BAD＝120°，則|a－b|＝________.解析：如圖，依題意?ABCD是菱形，∴∠DAO＝60°，∴DO＝AD×sin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故|a－b|＝||＝2DO＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，＝c，試用a，b，c表示＝________.＝a－b＋c.答案：a－b＋c三、解答題9．如圖，在正五邊形ABCDE中，若＝c，＝e，求作向量a－c＋b－d－e.解：a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e).如圖，連接AC，并延長至點F，使CF＝AC，則.所以，即為所求作的向量a－c＋b－d－e.10.如圖，?ABCD中，＝b，(1)用a、b表示；(2)當(dāng)a、b滿足什么條件時，a＋b與a－b的所在直線互相垂直？(3)當(dāng)a、b滿足什么條件時，|a＋b|＝|a－b|.(4)a＋b與a－b有可能為相等向量嗎？為什么？解：(1)＝a－b.a＋b與a－b的所在直線垂直，即AC⊥BD.又∵ABCD