2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與樣本容量計算試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填在題后的括號內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，由樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)所依據(jù)的原理是（）。A.大數(shù)定律B.中心極限定理C.概率論基本定理D.數(shù)理邏輯規(guī)則2.下列哪種抽樣方法屬于非概率抽樣？（）A.簡單隨機抽樣B.分層抽樣C.配額抽樣D.整群抽樣3.抽樣平均誤差的主要影響因素不包括（）。A.樣本容量B.總體方差C.抽樣方法D.抽樣框質(zhì)量4.當總體分布嚴重偏斜時，為了提高樣本統(tǒng)計量的代表性，宜采用的方法是（）。A.擴大抽樣誤差允許范圍B.增加樣本容量C.采用分層抽樣D.采用簡單隨機抽樣5.在其他條件不變的情況下，若允許的抽樣誤差范圍減小，則所需的樣本容量（）。A.不變B.增加C.減少D.可能增加也可能減少6.某市為了解全市居民的家庭收入情況，將全市家庭按戶口簿順序排列，然后每隔10戶抽取1戶進行調(diào)查，這種抽樣方法稱為（）。A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣7.在重復抽樣的條件下，若要使抽樣平均誤差減少一半，其他條件不變，則樣本容量需要（）。A.減少一半B.增加到原來的4倍C.增加到原來的2倍D.減少到原來的1/48.對于一個有限總體，若采用不重復抽樣方法，則抽樣平均誤差一定（）重復抽樣方法。A.大于B.小于C.等于D.不確定，可能大于也可能小于9.在分層抽樣中，若要使各層內(nèi)部方差盡可能小，而層間方差盡可能大，則分層效果最好，這種分配樣本量的方法是（）。A.比例分配B.最優(yōu)分配C.恒定分配D.隨機分配10.已知總體服從正態(tài)分布，且總體方差σ2已知，要估計總體均值μ，在置信水平一定時，要縮小抽樣平均誤差，應(yīng)（）。A.縮小總體方差B.縮小置信水平C.增加樣本容量D.改變抽樣方法二、判斷題（每小題2分，共10分。請將“正確”或“錯誤”填在題后的括號內(nèi)）1.抽樣調(diào)查必然會產(chǎn)生抽樣誤差，但可以通過改進調(diào)查組織工作來消除。（）2.分層抽樣的目的是為了提高抽樣效率，它可以將抽樣誤差減小到任意程度。（）3.整群抽樣的抽樣單位是群，因此其抽樣誤差一定大于簡單隨機抽樣。（）4.在計算樣本容量時，若總體方差未知，通常需要根據(jù)歷史資料或經(jīng)驗數(shù)據(jù)估計。（）5.不論采用何種抽樣方法，樣本容量確定后，抽樣平均誤差也就完全確定了。（）三、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述抽樣誤差與登記誤差的區(qū)別。2.簡述分層抽樣的基本原理及其優(yōu)點。3.簡述影響必要樣本容量的主要因素。4.簡述重復抽樣與不重復抽樣的主要區(qū)別。四、計算題（每小題10分，共30分）1.某工廠生產(chǎn)某種零件，總體方差σ2為0.04，若要求抽樣極限誤差δ不超過0.05，置信水平為95%，試分別計算采用重復抽樣和不重復抽樣方法時所需的樣本容量。（抽樣比例p未知，可用1/2代替）2.某學校有2000名學生，為了解學生的平均體重，將學生按身高分為高、中、低三層（比例為3:6:1），現(xiàn)欲采用分層抽樣方法抽取200名學生進行調(diào)查。已知各層的方差分別為σ?2=2.5,σ?2=1.5,σ?2=3.0。若采用比例分配方法，請計算各層應(yīng)抽取的樣本量，并估算樣本平均體重的抽樣平均誤差。（總體平均體重可視為各層平均體重的加權(quán)平均）3.某市有100萬戶家庭，欲調(diào)查家庭擁有汽車的比例p，要求抽樣極限誤差δ為0.05，置信水平為99%，根據(jù)pastdata,p的方差估計值為p(1-p)≈0.04。若采用不重復抽樣方法，試計算所需樣本容量。五、綜合應(yīng)用題（15分）某地區(qū)為了解農(nóng)民對新型農(nóng)業(yè)技術(shù)的接受程度，考慮采用抽樣調(diào)查方法?，F(xiàn)有兩種方案可供選擇：方案一：采用簡單隨機抽樣方法，從該地區(qū)所有農(nóng)戶中直接抽取200戶進行調(diào)查。方案二：先將該地區(qū)按地理區(qū)域劃分為若干群，然后隨機抽取部分群，再對抽中的群內(nèi)所有農(nóng)戶進行調(diào)查。請分析：（1）方案一中可能存在哪些抽樣誤差來源？（2）方案二中可能存在哪些抽樣誤差來源？與方案一相比，其優(yōu)點可能體現(xiàn)在哪些方面？（需考慮可能的缺點）（3）若要求抽樣誤差范圍和置信水平與方案一相同，從抽樣效率和成本角度考慮，哪種方案可能更優(yōu)？請說明理由。試卷答案一、選擇題1.B解析：中心極限定理是抽樣推斷的理論基礎(chǔ)，它保證了樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，從而可以進行參數(shù)估計和假設(shè)檢驗。2.C解析：配額抽樣屬于非概率抽樣，它是按照事先確定的各種特征的比例，在特定群體中抽取樣本，而非隨機抽取。3.D解析：抽樣平均誤差主要受樣本容量、總體方差和抽樣方法的影響，抽樣框質(zhì)量影響的是抽樣誤差的大小，但不作為主要影響因素。4.C解析：分層抽樣可以將總體劃分為內(nèi)部同質(zhì)、外部異質(zhì)的層，從而提高樣本代表性，尤其在總體分布偏斜時效果顯著。5.B解析：根據(jù)樣本容量公式，允許的抽樣誤差范圍δ與樣本容量n成反比，δ減小，n必須增加。6.B解析：系統(tǒng)抽樣是按照一定規(guī)則從抽樣框中逐個抽取樣本單位，題目描述符合系統(tǒng)抽樣的特點。7.C解析：根據(jù)重復抽樣和不重復抽樣的樣本容量公式，當δ減半時，重復抽樣樣本容量需增加至原來的4倍，不重復抽樣需增加至原來的（1+r/(r-1)）倍，其中r=總體單位數(shù)/樣本單位數(shù)。當r較大時，不重復抽樣增加倍數(shù)接近2倍，但重復抽樣明確需要增加至原來的2倍。8.D解析：不重復抽樣的抽樣平均誤差小于重復抽樣，但具體大小還取決于總體規(guī)模與樣本規(guī)模的比例。9.B解析：最優(yōu)分配是在考慮各層內(nèi)方差和層間關(guān)系時，按比例與層內(nèi)方差之積的加權(quán)平均數(shù)來確定樣本量，這樣能在保證精度的前提下使總樣本量最小。10.C解析：在其他條件不變時，增加樣本容量是縮小抽樣平均誤差最直接有效的方法。二、判斷題1.錯誤解析：抽樣誤差是隨機誤差，由抽樣方法本身造成，無法消除；登記誤差是調(diào)查誤差，可以通過改進調(diào)查工作減少。2.錯誤解析：分層抽樣的目的是提高抽樣效率，減少抽樣誤差，但不能保證將誤差減小到任意程度，總會存在一定的抽樣誤差。3.錯誤解析：整群抽樣的抽樣誤差取決于群內(nèi)方差和群間方差，若群內(nèi)方差小、群間方差大，其誤差可能小于簡單隨機抽樣。4.正確解析：總體方差未知時，必須使用歷史數(shù)據(jù)、經(jīng)驗數(shù)據(jù)或文獻數(shù)據(jù)作為估計值進行樣本容量計算。5.錯誤解析：抽樣平均誤差不僅取決于樣本容量，還取決于總體方差、抽樣方法和總體規(guī)模（對不重復抽樣）。三、簡答題1.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異，它是抽樣調(diào)查中隨機出現(xiàn)的誤差。登記誤差是指在調(diào)查過程中由于測量、記錄、計算等方面的錯誤而產(chǎn)生的誤差。兩者來源不同，性質(zhì)不同，登記誤差屬于非隨機誤差，可以通過改進工作消除；抽樣誤差是隨機誤差，無法消除，但可以控制。2.分層抽樣的基本原理是將總體按某個或某些標志劃分為若干層，然后在各層內(nèi)采用簡單隨機抽樣或其他抽樣方法抽取樣本單位，最后將各層樣本組合起來構(gòu)成總樣本。優(yōu)點包括：可以保證樣本在層內(nèi)的代表性；便于分層進行專項分析；可以結(jié)合行政區(qū)域進行抽樣，方便組織實施；可以提高抽樣效率，獲得更精確的估計結(jié)果。3.影響必要樣本容量的主要因素包括：總體方差（或標準差）的大小，方差越大，所需樣本容量越大；允許的抽樣誤差范圍（δ），誤差范圍越小，所需樣本容量越大；置信水平（1-α），置信水平越高，所需樣本容量越大；抽樣方法，不重復抽樣的樣本容量通常小于重復抽樣；總體單位數(shù)，對于無限總體或大總體，重復抽樣樣本容量主要受前四者影響；對于有限總體，還需考慮抽樣比例和有限總體修正系數(shù)。4.重復抽樣是指在抽取樣本單位時，每次抽取的單位經(jīng)觀察記錄后，仍放回總體中參加下一次抽取。不重復抽樣是指在抽取樣本單位時，每次抽取的單位經(jīng)觀察記錄后，不再放回總體中參加下一次抽取。主要區(qū)別在于是否放回，這導致兩種抽樣方式下樣本單位可能重復，計算抽樣平均誤差的公式和結(jié)果也不同。四、計算題1.重復抽樣：n=(Zα/22*σ2)/δ2=(1.962*0.04)/0.052=3.8416/0.0025=1536.64≈1537(取整數(shù))不重復抽樣：n=(Zα/22*σ2*N)/(δ2*N+Zα/22*σ2)=(1.962*0.04*10000)/(0.052*10000+1.962*0.04)=1536.64/(25+3.8416)=1536.64/28.8416≈53.19≈54(取整數(shù))解析：根據(jù)樣本容量公式，代入相關(guān)參數(shù)計算。重復抽樣直接使用公式，不重復抽樣需使用修正公式。2.比例分配：總樣本量：n=200各層比例：P?=3/10,P?=6/10,P?=1/10各層應(yīng)抽樣本量：n?=n*P?=200*3/10=60,n?=n*P?=200*6/10=120,n?=n*P?=200*1/10=20估算抽樣平均誤差：σ?_p=√[Σ(n?/n?-1)*σ?2/n]=√[(60/59)*2.5+(120/119)*1.5+(20/19)*3.0]/200=√[2.5705+1.5082+3.1579]/200=√7.2366/200≈0.0848解析：按比例分配樣本量。抽樣平均誤差計算時需考慮各層樣本量與總樣本量的比例（n?/n?-1）。3.n=(Zα/22*p(1-p)*N)/(δ2*N+Zα/22*p(1-p))=(2.5762*0.04*10000)/(0.052*10000+2.5762*0.04)=209.0576/(25+2.6525)=209.0576/27.6525≈7.57≈8(取整數(shù))解析：使用不重復抽樣樣本容量公式，代入?yún)?shù)計算。注意p(1-p)使用給出的估計值0.04。五、綜合應(yīng)用題（1）方案一中可能存在的抽樣誤差來源包括：簡單隨機抽樣本身導致的隨機抽樣誤差；如果抽樣框不完善導致的無回答誤差；調(diào)查過程中可能出現(xiàn)的測量誤差或記錄錯誤等。（2）方案二中可能存在的抽樣誤差來源包括：整群抽樣本身導致的隨機抽樣誤差（主要來自群內(nèi)同質(zhì)性不足或群間異質(zhì)性過大）；抽樣過程中可能出現(xiàn)的無回答誤差；調(diào)查過程中可能出現(xiàn)的測量誤差或記錄錯誤等。與方案一相比，其優(yōu)點可能體現(xiàn)在：組織抽樣方便，可以在一個區(qū)域內(nèi)集中進行調(diào)查，節(jié)省時間和成本；便于對特定區(qū)域進行管