2025年大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：抽樣調(diào)查方法與樣本估計(jì)誤差控制試題解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、名詞解釋（每小題4分，共20分）1.抽樣調(diào)查2.抽樣框3.抽樣平均誤差4.抽樣極限誤差5.置信區(qū)間二、簡答題（每小題6分，共30分）1.簡述簡單隨機(jī)抽樣的概念及其主要特點(diǎn)。2.與簡單隨機(jī)抽樣相比，分層抽樣有哪些優(yōu)點(diǎn)？在什么情況下適用？3.影響抽樣平均誤差的主要因素有哪些？請(qǐng)分別說明。4.解釋什么是置信水平？置信區(qū)間與置信水平之間是什么關(guān)系？5.在進(jìn)行抽樣調(diào)查時(shí)，如何通過增加樣本量來控制抽樣誤差？三、計(jì)算與分析題（每小題10分，共40分）1.某工廠生產(chǎn)一批零件，總共有10000個(gè)，采用簡單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)抽樣）方法抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。抽樣結(jié)果樣本中一級(jí)品為270個(gè)。要求：*計(jì)算樣本一級(jí)品率及其抽樣平均誤差。*若置信水平為95%，計(jì)算一級(jí)品率的抽樣極限誤差和置信區(qū)間。2.假定某城市居民家庭月收入的方差為σ2=5000元2。現(xiàn)欲進(jìn)行抽樣調(diào)查，要求以95%的置信水平估計(jì)平均月收入的抽樣極限誤差不超過100元，試問至少需要抽取多少戶家庭作為樣本？（提示：可假設(shè)城市家庭總數(shù)很大，采用重復(fù)抽樣公式）3.某農(nóng)場有5000畝小麥田，為估計(jì)其總產(chǎn)量，按不同土壤條件將田地分為A、B、C三類，各類面積和平均畝產(chǎn)量如下：*A類：1000畝，平均畝產(chǎn)800斤*B類：2000畝，平均畝產(chǎn)750斤*C類：2000畝，平均畝產(chǎn)700斤采用分層抽樣方法抽取樣本，從A類中抽取150畝，B類中抽取200畝，C類中抽取150畝。要求：*計(jì)算樣本的總體平均畝產(chǎn)。*假設(shè)各類畝產(chǎn)方差已知并分別為：σ_A2=40斤2，σ_B2=50斤2，σ_C2=45斤2，樣本平均畝產(chǎn)的抽樣平均誤差。4.比較以下三種抽樣設(shè)計(jì)在估計(jì)總體均值時(shí)的抽樣平均誤差：*從總體N=1000個(gè)單位中，簡單隨機(jī)抽取n=50個(gè)單位（不重復(fù)抽樣）。*將總體等分為10群，隨機(jī)抽取3群，然后從抽中的3群中各抽取5個(gè)單位（整群抽樣，假設(shè)每群內(nèi)單位數(shù)相等）。*將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分為5層，每層200個(gè)單位，按比例從各層抽取樣本，總樣本量n=50（分層抽樣，等比例）。假設(shè)總體方差σ2=400，請(qǐng)分別計(jì)算或比較三種設(shè)計(jì)的抽樣平均誤差。（提示：整群抽樣和分層抽樣需要知道群內(nèi)方差或?qū)觾?nèi)方差信息，此處假設(shè)群內(nèi)方差或?qū)觾?nèi)方差小于總體方差，或直接比較公式結(jié)構(gòu)差異）試卷答案一、名詞解釋1.抽樣調(diào)查：指從研究對(duì)象的總體中按照一定的抽樣規(guī)則抽取一部分單位（樣本）進(jìn)行觀察，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征的一種統(tǒng)計(jì)調(diào)查方法。2.抽樣框：指包含總體所有單位的信息列表或集合，是實(shí)施抽樣調(diào)查時(shí)用來抽取樣本的工具。3.抽樣平均誤差：指在重復(fù)抽樣條件下，樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值或樣本比例）的標(biāo)準(zhǔn)差，反映了樣本統(tǒng)計(jì)量在重復(fù)抽樣中圍繞總體參數(shù)波動(dòng)的平均程度。4.抽樣極限誤差：指在抽樣推斷中，允許樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間產(chǎn)生最大誤差的范圍，通常用Δ表示，是置信區(qū)間的半徑。5.置信區(qū)間：指以樣本統(tǒng)計(jì)量為中心，加減一個(gè)抽樣極限誤差所構(gòu)成的區(qū)間，用于估計(jì)總體參數(shù)可能的取值范圍。在給定的置信水平下，該區(qū)間包含總體參數(shù)的真值的概率。二、簡答題1.簡述簡單隨機(jī)抽樣的概念及其主要特點(diǎn)。*概念：簡單隨機(jī)抽樣是指從總體N個(gè)單位中，完全隨機(jī)地抽取n個(gè)單位作為樣本，使得每一個(gè)可能的樣本組合被抽中的概率相等，或者每一個(gè)單位被抽中的概率相等（等概率抽樣）。*主要特點(diǎn)：*直接從總體中抽取樣本單位。*每個(gè)單位被抽中的概率相同（等概率性）。*樣本中的單位相互獨(dú)立。*是其他抽樣方法的基礎(chǔ)，操作簡便。*當(dāng)總體單位分布均勻時(shí)，抽樣誤差相對(duì)較小，但若總體內(nèi)部差異大，可能抽樣誤差也較大，代表性不一定好。2.與簡單隨機(jī)抽樣相比，分層抽樣有哪些優(yōu)點(diǎn)？在什么情況下適用？*優(yōu)點(diǎn)：*可以提高估計(jì)的精確度（即減小抽樣誤差），因?yàn)榉謱幽軠p少層內(nèi)變異，增大層間變異。*可以保證每個(gè)層至少抽取一定數(shù)量的單位，避免某些層被抽中單位過少而丟失信息。*可以根據(jù)各層特點(diǎn)進(jìn)行分層抽樣設(shè)計(jì)，更靈活。*便于按層進(jìn)行管理和分析，滿足不同層特定研究的需要。*適用情況：*當(dāng)總體單位按某個(gè)重要標(biāo)志（如地域、年齡、收入等）可以劃分為差異明顯的若干類別（層）時(shí)。*當(dāng)需要保證各層代表性或?qū)μ囟▽舆M(jìn)行研究時(shí)。*當(dāng)總體各單位分布不均勻，但各層內(nèi)部分布較均勻時(shí)。3.影響抽樣平均誤差的主要因素有哪些？請(qǐng)分別說明。*總體變異程度（總體方差σ2或p）：總體單位之間的差異越大（方差或比例p越接近0.5），抽樣誤差越大；反之，總體越均勻，抽樣誤差越小。*樣本容量n：在其他條件不變的情況下，樣本容量越大，抽樣誤差越??；樣本容量越小，抽樣誤差越大。抽樣誤差與樣本容量的平方根成反比。*抽樣方法：不同的抽樣方法，其抽樣誤差的計(jì)算公式和大小通常不同。一般來說，概率抽樣方法的誤差理論上有保證，非概率抽樣方法誤差難以衡量。*抽樣組織形式：即使是概率抽樣，不同的組織形式（如整群抽樣通常誤差大于簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣通常誤差小于或等于簡單隨機(jī)抽樣）也會(huì)影響抽樣誤差的大小。4.解釋什么是置信水平？置信區(qū)間與置信水平之間是什么關(guān)系？*置信水平：指在重復(fù)進(jìn)行抽樣并構(gòu)造置信區(qū)間時(shí)，所有可能構(gòu)造出的置信區(qū)間中包含總體真實(shí)參數(shù)的區(qū)間所占的比率或概率。常用符號(hào)1-α表示，α為顯著性水平。例如，95%置信水平意味著如果反復(fù)抽樣100次，構(gòu)造100個(gè)置信區(qū)間，平均有95個(gè)區(qū)間會(huì)包含總體真值。*關(guān)系：置信區(qū)間的大小與置信水平密切相關(guān)。在其他條件不變的情況下，置信水平越高（α越?。?，構(gòu)造的置信區(qū)間越寬，估計(jì)的精度越低（把握性越強(qiáng)）；置信水平越低（α越大），置信區(qū)間越窄，估計(jì)的精度越高（但把握性越弱）。5.在進(jìn)行抽樣調(diào)查時(shí)，如何通過增加樣本量來控制抽樣誤差？*根據(jù)抽樣平均誤差的公式（如樣本均值抽樣平均誤差σ_?=σ/√n，樣本比例抽樣平均誤差σ_?p=√(pq)/√n），可以看出，在其他影響因素（總體變異程度σ2或p，抽樣方法等）不變的情況下，增加樣本容量n，會(huì)導(dǎo)致抽樣平均誤差σ_?或σ_?p減小。*抽樣平均誤差減小意味著抽樣極限誤差Δ=z*σ_?或Δ=z*σ_?p也會(huì)減小，從而使置信區(qū)間變窄。*因此，增加樣本量可以提高抽樣估計(jì)的精度（即提高估計(jì)的準(zhǔn)確性）。但需要注意，樣本量的增加會(huì)增加抽樣成本和工作量，應(yīng)在精度要求和成本之間進(jìn)行權(quán)衡。三、計(jì)算與分析題1.某工廠生產(chǎn)一批零件，總共有10000個(gè)，采用簡單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)抽樣）方法抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。抽樣結(jié)果樣本中一級(jí)品為270個(gè)。要求：*計(jì)算樣本一級(jí)品率及其抽樣平均誤差。*若置信水平為95%，計(jì)算一級(jí)品率的抽樣極限誤差和置信區(qū)間。*解析思路：*計(jì)算樣本一級(jí)品率及其抽樣平均誤差：*首先計(jì)算樣本一級(jí)品率p?：p?=樣本中一級(jí)品數(shù)/樣本容量=270/300=0.9。*然后計(jì)算抽樣平均誤差。由于是簡單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)），樣本比例p?的抽樣平均誤差公式為：σ_?p=√[p(1-p)/n]*√[(N-n)/(N-1)]。*需要總體比例p的值。通常用樣本比例p?代替。p?=0.9，1-p?=0.1。*代入公式：σ_?p=√[0.9*0.1/300]*√[(10000-300)/(10000-1)]≈√[0.09/300]*√[9700/9999]≈√(0.0003)*√(0.9700)≈0.01732*0.9850≈0.0171。*計(jì)算抽樣極限誤差和置信區(qū)間：*置信水平為95%，對(duì)應(yīng)的z值（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)）為1.96。*抽樣極限誤差Δ_?p=z*σ_?p=1.96*0.0171≈0.0335。*置信區(qū)間=(p?-Δ_?p,p?+Δ_?p)=(0.9-0.0335,0.9+0.0335)=(0.8665,0.9335)。2.假定某城市居民家庭月收入的方差為σ2=5000元2?，F(xiàn)欲進(jìn)行抽樣調(diào)查，要求以95%的置信水平估計(jì)平均月收入的抽樣極限誤差不超過100元，試問至少需要抽取多少戶家庭作為樣本？（提示：可假設(shè)城市家庭總數(shù)很大，采用重復(fù)抽樣公式）*解析思路：*需要計(jì)算重復(fù)抽樣的必要樣本容量n。公式為：n=(z*σ/Δ)2。*已知：總體方差σ2=5000，標(biāo)準(zhǔn)差σ=√5000≈70.71元。*要求的抽樣極限誤差Δ=100元。*置信水平為95%，z=1.96。*代入公式計(jì)算：n=(1.96*70.71/100)2≈(138.74/100)2≈1.38742≈1.92。*因?yàn)闃颖救萘勘仨毷钦麛?shù)，且計(jì)算結(jié)果大于1，且要滿足“不超過100元”的要求，應(yīng)向上取整。n=2。*注意：題目提示假設(shè)城市家庭總數(shù)很大，可以忽略有限總體校正系數(shù)。如果總數(shù)N不大，需要使用n=[z2*σ2*N/(N*Δ2+z2*σ2)]公式計(jì)算，并向上取整。3.某農(nóng)場有5000畝小麥田，為估計(jì)其總產(chǎn)量，按不同土壤條件將田地分為A、B、C三類，各類面積和平均畝產(chǎn)量如下：*A類：1000畝，平均畝產(chǎn)800斤*B類：2000畝，平均畝產(chǎn)750斤*C類：2000畝，平均畝產(chǎn)700斤采用分層抽樣方法抽取樣本，從A類中抽取150畝，B類中抽取200畝，C類中抽取150畝。要求：*計(jì)算樣本的總體平均畝產(chǎn)。*假設(shè)各類畝產(chǎn)方差已知并分別為：σ_A2=40斤2，σ_B2=50斤2，σ_C2=45斤2，樣本平均畝產(chǎn)的抽樣平均誤差。*解析思路：*計(jì)算樣本的總體平均畝產(chǎn)（分層抽樣樣本均值）：*首先計(jì)算各層樣本平均畝產(chǎn)：xA?=800斤，xB?=750斤，xC?=700斤。*計(jì)算各層樣本量：nA=150，nB=200，nC=150。*計(jì)算總體樣本總量：n=nA+nB+nC=150+200+150=500。*計(jì)算樣本的總體平均畝產(chǎn)（加權(quán)平均）：X?=(xA?*nA+xB?*nB+xC?*nC)/n=(800*150+750*200+700*150)/500=(120000+150000+105000)/500=375000/500=750斤。*計(jì)算樣本平均畝產(chǎn)的抽樣平均誤差（分層抽樣抽樣平均誤差）：*需要計(jì)算層內(nèi)方差。題目已給出σ_A2=40，σ_B2=50，σ_C2=45。*計(jì)算各層比例：nA/n=150/500=0.3，nB/n=200/500=0.4，nC/n=150/500=0.3。*使用分層抽樣平均誤差公式（假設(shè)總體總量N已知，這里用樣本總量n代替，且未要求使用有限總體校正系數(shù)）：σ_?X=√[(nA/n)*σ_A2+(nB/n)*σ_B2+(nC/n)*σ_C2]=√[0.3*40+0.4*50+0.3*45]=√[12+20+13.5]=√[45.5]≈6.75斤。*注意：如果題目要求使用有限總體校正系數(shù)，且N已知，公式為：σ_?X=√[Σ(w_i^2*σ_i^2)-Σ(w_i^2*σ_i^2/N_i)]，其中w_i=n_i/n，N_i為第i層總體單位數(shù)。但本題未明確要求。4.比較以下三種抽樣設(shè)計(jì)在估計(jì)總體均值時(shí)的抽樣平均誤差：*從總體N=1000個(gè)單位中，簡單隨機(jī)抽取n=50個(gè)單位（不重復(fù)抽樣）。*將總體等分為10群，隨機(jī)抽取3群，然后從抽中的3群中各抽取5個(gè)單位（整群抽樣，假設(shè)每群內(nèi)單位數(shù)相等）。*將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)分為5層，每層200個(gè)單位，按比例從各層抽取樣本，總樣本量n=50（分層抽樣，等比例）。假設(shè)總體方差σ2=400，請(qǐng)分別計(jì)算或比較三種設(shè)計(jì)的抽樣平均誤差。（提示：整群抽樣和分層抽樣需要知道群內(nèi)方差或?qū)觾?nèi)方差信息，此處假設(shè)群內(nèi)方差或?qū)觾?nèi)方差小于總體方差，或直接比較公式結(jié)構(gòu)差異）*解析思路：*簡單隨機(jī)抽樣（不重復(fù)）：*抽樣平均誤差公式：σ_?=σ/√n*√[(N-n)/(N-1)]。*已知：σ=√400=20，n=50，N=1000。*σ_?≈20/√50*√[(1000-50)/(1000-1)]≈20/7.07*√[950/999]≈2.83*√0.9501≈2.83*0.9750≈2.76。*整群抽樣：*假設(shè)每群包含k個(gè)單位，N=10k，n=3k=15。群間方差σ_g2未知，但題目提示可假設(shè)群內(nèi)方差σ_i2<σ2=400，或比較公式結(jié)構(gòu)。通常