2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)逆向思維應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.若化簡$|x-2|+|x+3|$的結(jié)果為$2x+1$，則$x$的取值范圍是（）A.$x\geq2$B.$x\leq-3$C.$-3\leqx\leq2$D.$x\geq-3$2.已知三角形三邊長分別為$a=2n$，$b=n^2-1$，$c=n^2+1$（$n>1$，且$n$為整數(shù)），則該三角形的形狀為（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定3.若關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）有兩個相等的實數(shù)根，且$a+b+c=0$，則下列結(jié)論正確的是（）A.$a=c$B.$a=b$C.$b=c$D.$a=b=c$4.已知平行四邊形$ABCD$中，對角線$AC$與$BD$交于點$O$，添加下列條件能判定四邊形$ABCD$為菱形的是（）A.$AC=BD$B.$\angleABC=90^\circ$C.$OA=OB$D.$AC\perpBD$5.若二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像經(jīng)過點$(1,0)$，且對任意實數(shù)$x$都有$y\geqx-1$，則$a+c$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$6.已知一組數(shù)據(jù)$x_1,x_2,x_3$的方差為$2$，則數(shù)據(jù)$2x_1+1,2x_2+1,2x_3+1$的方差為（）A.$2$B.$4$C.$8$D.$16$7.如圖，在$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$為$BC$中點，下列結(jié)論不一定成立的是（）A.$AD\perpBC$B.$\angleBAD=\angleCAD$C.$BD=CD$D.$AB=BD$8.若分式$\frac{x^2-4}{x-2}$的值為零，則$x$的值為（）A.$2$B.$-2$C.$\pm2$D.$0$9.已知點$P(m,n)$在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的圖像上，且$m+n=5$，$mn=6$，則$k$的值為（）A.$5$B.$6$C.$11$D.$30$10.在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，若點$P$在$\triangleABC$內(nèi)，且$P$到三邊的距離相等，則這個距離為（）A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11.若關(guān)于$x$的方程$ax+1=2x-3$的解為正數(shù)，則$a$的取值范圍是________。12.已知菱形的兩條對角線長分別為$6$和$8$，則菱形的面積為________，周長為________。13.若拋物線$y=x^2-2x+m$與$x$軸只有一個交點，則$m$的值為________；若與$x$軸有兩個交點，且交點間的距離為$4$，則$m$的值為________。14.在一個不透明的袋子中裝有$3$個紅球和$m$個白球，這些球除顏色外都相同。若從袋子中隨機(jī)摸出一個球，摸到紅球的概率為$\frac{1}{3}$，則$m$的值為________。15.如圖，在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC$，$D$為$BC$上一點，若$BD=3$，$CD=1$，則$AD$的長為________。16.已知$a+b=3$，$ab=2$，則$a^2+b^2=$，$(a-b)^2=$。三、解答題（本大題共8小題，共96分）17.（10分）計算：（1）已知$x+\frac{1}{x}=3$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；（2）已知$a^2-3a+1=0$，求$\frac{a^4+1}{a^2}$的值。18.（10分）解不等式組：$\begin{cases}\frac{x-1}{2}\leq1\x-2<4(x+1)\end{cases}$并寫出該不等式組的所有整數(shù)解。19.（12分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，$E$，$F$分別為$AD$，$BC$的中點，連接$BE$，$DF$。（1）求證：$\triangleABE\cong\triangleCDF$；（2）若$\angleABE=90^\circ$，$AB=2$，$AD=4$，求四邊形$BFDE$的面積。20.（12分）某商店銷售一種商品，每件成本為$40$元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的銷售單價$x$（元）與日銷售量$y$（件）之間滿足關(guān)系$y=-2x+200$。（1）若商店每日獲利$1200$元，求銷售單價$x$；（2）為了提高銷量，商店決定降價促銷，當(dāng)銷售單價定為多少元時，每日獲利最大？最大利潤是多少？21.（12分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，點$P$從點$A$出發(fā)沿$AC$方向向點$C$勻速運動，速度為$1$個單位/秒；同時點$Q$從點$C$出發(fā)沿$CB$方向向點$B$勻速運動，速度為$2$個單位/秒。設(shè)運動時間為$t$秒（$0<t<4$）。（1）用含$t$的代數(shù)式表示線段$PC$和$CQ$的長度；（2）當(dāng)$t$為何值時，$\trianglePCQ$與$\triangleACB$相似？22.（12分）已知二次函數(shù)$y=x^2-2mx+m^2-1$（$m$為常數(shù)）。（1）求證：不論$m$為何值，該函數(shù)的圖像與$x$軸總有兩個公共點；（2）若該函數(shù)的圖像與$y$軸交于點$A$，與$x$軸交于點$B$，$C$（點$B$在點$C$左側(cè)），點$P$為圖像上一點，且$\triangleABP$的面積為$4$，求點$P$的坐標(biāo)。23.（14分）如圖，在$\odotO$中，$AB$為直徑，$C$為$\odotO$上一點，$AD$平分$\angleBAC$交$\odotO$于點$D$，過點$D$作$DE\perpAC$，垂足為$E$。（1）求證：$DE$是$\odotO$的切線；（2）若$AE=3$，$DE=4$，求$\odotO$的半徑。24.（14分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點$A(0,3)$，$B(4,0)$，點$P$為線段$AB$上一動點（不與$A$，$B$重合），過點$P$作$PD\perpx$軸于點$D$，$PE\perpy$軸于點$E$。（1）求線段$AB$的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)矩形$PDOE$的面積為$S$，求$S$的最大值；（3）在點$P$運動過程中，是否存在點$P$，使得$\triangleAPE$與$\trianglePBD$相似？若存在，求出點$P$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。注：本試卷共三大題，24小題，滿分150分，考試時間120分鐘。（注：實際試卷需包含答題區(qū)域，此處省略