公用設(shè)備工程師考試（公共基礎(chǔ)）全真題庫及答案(甘肅2025年)高等數(shù)學(xué)題目1已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求$\lim\limits_{x\to1}f(x)$。答案本題可先對函數(shù)\(f(x)\)進(jìn)行化簡，再求極限。-步驟一：化簡函數(shù)\(f(x)\)。已知\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)，根據(jù)平方差公式\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，對分子\(x^2-1\)進(jìn)行因式分解可得：\(f(x)=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\)因為\(x\to1\)時，\(x\neq1\)，所以可以約去分子分母的\(x-1\)，得到\(f(x)=x+1\)（\(x\neq1\)）。-步驟二：求極限\(\lim\limits_{x\to1}f(x)\)。將化簡后的函數(shù)\(f(x)=x+1\)代入極限\(\lim\limits_{x\to1}f(x)\)中，可得：\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)\)根據(jù)極限的加法法則\(\lim\limits_{x\toa}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\toa}f(x)+\lim\limits_{x\toa}g(x)\)，可得：\(\lim\limits_{x\to1}(x+1)=\lim\limits_{x\to1}x+\lim\limits_{x\to1}1\)因為\(\lim\limits_{x\to1}x=1\)，\(\lim\limits_{x\to1}1=1\)，所以：\(\lim\limits_{x\to1}x+\lim\limits_{x\to1}1=1+1=2\)綜上，\(\lim\limits_{x\to1}f(x)=2\)。題目2求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案本題可先對函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的極值。-步驟一：求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)。根據(jù)求導(dǎo)公式\((X^n)^\prime=nX^{n-1}\)，對\(y=x^3-3x^2+2\)求導(dǎo)可得：\(y^\prime=(x^3-3x^2+2)^\prime=(x^3)^\prime-(3x^2)^\prime+(2)^\prime=3x^2-6x\)-步驟二：求函數(shù)的駐點。令\(y^\prime=0\)，即\(3x^2-6x=0\)，提取公因式\(3x\)可得：\(3x(x-2)=0\)則\(3x=0\)或\(x-2=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。-步驟三：根據(jù)駐點劃分區(qū)間，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。將定義域\(R\)劃分為\((-\infty,0)\)，\((0,2)\)，\((2,+\infty)\)三個區(qū)間，分別討論\(y^\prime\)在這三個區(qū)間的正負(fù)性：-當(dāng)\(x\in(-\infty,0)\)時，\(3x\lt0\)，\(x-2\lt0\)，則\(y^\prime=3x(x-2)\gt0\)，所以函數(shù)\(y\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增。-當(dāng)\(x\in(0,2)\)時，\(3x\gt0\)，\(x-2\lt0\)，則\(y^\prime=3x(x-2)\lt0\)，所以函數(shù)\(y\)在\((0,2)\)上單調(diào)遞減。-當(dāng)\(x\in(2,+\infty)\)時，\(3x\gt0\)，\(x-2\gt0\)，則\(y^\prime=3x(x-2)\gt0\)，所以函數(shù)\(y\)在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增。-步驟四：求函數(shù)的極值。根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，\(x=0\)為函數(shù)的極大值點，\(x=2\)為函數(shù)的極小值點。將\(x=0\)代入函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)中，可得：\(y(0)=0^3-3\times0^2+2=2\)將\(x=2\)代入函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)中，可得：\(y(2)=2^3-3\times2^2+2=8-12+2=-2\)綜上，函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)；極大值為\(2\)，極小值為\(-2\)。普通物理題目3一平面簡諧波沿\(x\)軸正方向傳播，波速\(u=100m/s\)，\(t=0\)時刻的波形圖如圖所示，求該波的波長\(\lambda\)、頻率\(f\)和波動方程。答案本題可根據(jù)波形圖求出波長，再結(jié)合波速求出頻率，最后根據(jù)波的傳播方向和已知條件寫出波動方程。-步驟一：求波長\(\lambda\)。由波形圖可知，相鄰兩個波峰（或波谷）之間的距離為波長\(\lambda\)，從圖中可以直接讀出\(\lambda=2m\)。-步驟二：求頻率\(f\)。根據(jù)波速、波長和頻率的關(guān)系\(u=\lambdaf\)，可得：\(f=\frac{u}{\lambda}=\frac{100}{2}=50Hz\)-步驟三：求波動方程。設(shè)該平面簡諧波的波動方程為\(y=A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi_0]\)，其中\(zhòng)(A\)為振幅，\(\omega\)為角頻率，\(\varphi_0\)為初相位。-求振幅\(A\)：由波形圖可知，振幅\(A=0.1m\)。-求角頻率\(\omega\)：根據(jù)角頻率和頻率的關(guān)系\(\omega=2\pif\)，可得：\(\omega=2\pi\times50=100\pirad/s\)-求初相位\(\varphi_0\)：\(t=0\)時刻，\(x=0\)處的質(zhì)點位移\(y_0=0\)，且該質(zhì)點向\(y\)軸正方向運動。將\(t=0\)，\(x=0\)，\(y_0=0\)代入波動方程\(y=A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi_0]\)中，可得：\(0=0.1\cos\varphi_0\)則\(\cos\varphi_0=0\)，解得\(\varphi_0=\pm\frac{\pi}{2}\)。因為\(t=0\)時刻，\(x=0\)處的質(zhì)點向\(y\)軸正方向運動，所以\(\sin\varphi_0\lt0\)，則\(\varphi_0=-\frac{\pi}{2}\)。將\(A=0.1m\)，\(\omega=100\pirad/s\)，\(\varphi_0=-\frac{\pi}{2}\)，\(u=100m/s\)代入波動方程\(y=A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})+\varphi_0]\)中，可得：\(y=0.1\cos[100\pi(t-\frac{x}{100})-\frac{\pi}{2}]\)綜上，該波的波長\(\lambda=2m\)，頻率\(f=50Hz\)，波動方程為\(y=0.1\cos[100\pi(t-\frac{x}{100})-\frac{\pi}{2}]\)。題目4一定量的理想氣體，經(jīng)歷如圖所示的循環(huán)過程\(abcda\)，其中\(zhòng)(ab\)為等壓過程，\(bc\)為等容過程，\(cd\)為等溫過程，\(da\)為等容過程。已知\(p_1=1.0\times10^5Pa\)，\(p_2=2.0\times10^5Pa\)，\(V_1=2.0\times10^{-3}m^3\)，\(V_2=4.0\times10^{-3}m^3\)，求該循環(huán)過程的效率\(\eta\)。答案本題可先分別求出各過程中氣體吸收和放出的熱量，再根據(jù)熱機效率的定義求出該循環(huán)過程的效率。-步驟一：分析各過程中氣體吸收和放出的熱量。-\(ab\)過程（等壓過程）：根據(jù)等壓過程的熱量公式\(Q_{ab}=nC_p\DeltaT\)，其中\(zhòng)(n\)為氣體的物質(zhì)的量，\(C_p\)為定壓摩爾熱容，\(\DeltaT\)為溫度變化量。由理想氣體狀態(tài)方程\(pV=nRT\)可得：\(Q_{ab}=nC_p(T_b-T_a)=nC_p(\frac{p_1V_2}{nR}-\frac{p_1V_1}{nR})=\frac{C_p}{R}p_1(V_2-V_1)\)對于理想氣體，\(C_p=\frac{5}{2}R\)，代入上式可得：\(Q_{ab}=\frac{\frac{5}{2}R}{R}p_1(V_2-V_1)=\frac{5}{2}p_1(V_2-V_1)=\frac{5}{2}\times1.0\times10^5\times(4.0\times10^{-3}-2.0\times10^{-3})=500J\)因為\(Q_{ab}\gt0\)，所以該過程氣體吸收熱量。-\(bc\)過程（等容過程）：根據(jù)等容過程的熱量公式\(Q_{bc}=nC_V\DeltaT\)，其中\(zhòng)(C_V\)為定容摩爾熱容。由理想氣體狀態(tài)方程可得：\(Q_{bc}=nC_V(T_c-T_b)=nC_V(\frac{p_2V_2}{nR}-\frac{p_1V_2}{nR})=\frac{C_V}{R}V_2(p_2-p_1)\)對于理想氣體，\(C_V=\frac{3}{2}R\)，代入上式可得：\(Q_{bc}=\frac{\frac{3}{2}R}{R}V_2(p_2-p_1)=\frac{3}{2}V_2(p_2-p_1)=\frac{3}{2}\times4.0\times10^{-3}\times(2.0\times10^5-1.0\times10^5)=600J\)因為\(Q_{bc}\gt0\)，所以該過程氣體吸收熱量。-\(cd\)過程（等溫過程）：根據(jù)等溫過程的熱量公式\(Q_{cd}=nRT\ln\frac{V_d}{V_c}\)，由理想氣體狀態(tài)方程可得\(T_c=T_d=\frac{p_2V_2}{nR}\)，則：\(Q_{cd}=nR\frac{p_2V_2}{nR}\ln\frac{V_1}{V_2}=p_2V_2\ln\frac{V_1}{V_2}=2.0\times10^5\times4.0\times10^{-3}\ln\frac{2.0\times10^{-3}}{4.0\times10^{-3}}\approx-554.5J\)因為\(Q_{cd}\lt0\)，所以該過程氣體放出熱量。-\(da\)過程（等容過程）：根據(jù)等容過程的熱量公式\(Q_{da}=nC_V\DeltaT\)，由理想氣體狀態(tài)方程可得：\(Q_{da}=nC_V(T_a-T_d)=nC_V(\frac{p_1V_1}{nR}-\frac{p_2V_1}{nR})=\frac{C_V}{R}V_1(p_1-p_2)\)對于理想氣體，\(C_V=\frac{3}{2}R\)，代入上式可得：\(Q_{da}=\frac{\frac{3}{2}R}{R}V_1(p_1-p_2)=\frac{3}{2}V_1(p_1-p_2)=\frac{3}{2}\times2.0\times10^{-3}\times(1.0\times10^5-2.0\times10^5)=-300J\)因為\(Q_{da}\lt0\)，所以該過程氣體放出熱量。-步驟二：求該循環(huán)過程的效率\(\eta\)。該循環(huán)過程中，氣體吸收的總熱量為：\(Q_1=Q_{ab}+Q_{bc}=500+600=1100J\)氣體放出的總熱量為：\(Q_2=|Q_{cd}|+|Q_{da}|=554.5+300=854.5J\)根據(jù)熱機效率的定義\(\eta=1-\frac{Q_2}{Q_1}\)，可得：\(\eta=1-\frac{854.5}{1100}\approx0.223=22.3\%\)綜上，該循環(huán)過程的效率為\(22.3\%\)。普通化學(xué)題目5在\(25^{\circ}C\)時，將\(0.1mol/L\)的\(HAc\)溶液與\(0.1mol/L\)的\(NaOH\)溶液等體積混合，求混合溶液的\(pH\)值。（已知\(HAc\)的\(K_a=1.76\times10^{-5}\)）答案本題可先分析混合溶液的成分，再根據(jù)相關(guān)公式計算混合溶液的\(pH\)值。-步驟一：分析混合溶液的成分。\(HAc\)（醋酸）與\(NaOH\)（氫氧化鈉）發(fā)生中和反應(yīng)：\(HAc+NaOH=NaAc+H_2O\)。由于\(HAc\)溶液與\(NaOH\)溶液的濃度均為\(0.1mol/L\)，且等體積混合，所以二者恰好完全反應(yīng)，生成\(NaAc\)（醋酸鈉）溶液?；旌虾笕芤褐衆(zhòng)(NaAc\)的濃度為：\(c(NaAc)=\frac{0.1mol/L\timesV}{V+V}=0.05mol/L\)-步驟二：分析\(NaAc\)在溶液中的水解情況。\(NaAc\)是強堿弱酸鹽，在溶液中會發(fā)生水解反應(yīng)：\(Ac^-+H_2O\rightleftharpoonsHAc+OH^-\)。設(shè)水解產(chǎn)生的\(OH^-\)濃度為\(xmol/L\)，則平衡時\(c(HAc)=xmol/L\)，\(c(Ac^-)=0.05-xmol/L\)，由于水解程度較小，\(0.05-x\approx0.05\)。-步驟三：根據(jù)水解平衡常數(shù)\(K_h\)計算\(OH^-\)的濃度。\(K_h\)為水解平衡常數(shù)，\(K_h=\frac{K_w}{K_a}\)，其中\(zhòng)(K_w\)為水的離子積常數(shù)，在\(25^{\circ}C\)時，\(K_w=1.0\times10^{-14}\)，\(K_a\)為\(HAc\)的電離平衡常數(shù)，\(K_a=1.76\times10^{-5}\)，則：\(K_h=\frac{K_w}{K_a}=\frac{1.0\times10^{-14}}{1.76\times10^{-5}}\approx5.68\times10^{-10}\)根據(jù)水解平衡常數(shù)表達(dá)式\(K_h=\frac{c(HAc)\cdotc(OH^-)}{c(Ac^-)}\)，可得：\(K_h=\frac{x\cdotx}{0.05}\)即\(5.68\times10^{-10}=\frac{x^2}{0.05}\)解方程可得：\(x^2=5.68\times10^{-10}\times0.05=2.84\times10^{-11}\)\(x=\sqrt{2.84\times10^{-11}}\approx5.33\times10^{-6}mol/L\)所以\(c(OH^-)=5.33\times10^{-6}mol/L\)。-步驟四：計算混合溶液的\(pH\)值。根據(jù)\(pOH=-\logc(OH^-)\)，可得：\(pOH=-\log(5.33\times10^{-6})\approx5.27\)因為\(pH+pOH=14\)，所以：\(pH=14-pOH=14-5.27=8.73\)綜上，混合溶液的\(pH\)值為\(8.73\)。理論力學(xué)題目6如圖所示，均質(zhì)桿\(AB\)長為\(l\)，重為\(P\)，\(A\)端靠在光滑的鉛直墻上，\(B\)端放在光滑的水平面上，并用一水平繩\(BC\)拉住，使桿處于平衡狀態(tài)。已知桿與水平面的夾角為\(\theta\)，求繩的拉力\(T\)和\(A\)、\(B\)處的約束力。答案本題可通過對桿\(AB\)進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)平衡條件列出方程，進(jìn)而求解繩的拉力\(T\)和\(A\)、\(B\)處的約束力。-步驟一：對桿\(AB\)進(jìn)行受力分析。桿\(AB\)受到重力\(P\)、繩的拉力\(T\)、\(A\)處的法向約束力\(F_A\)和\(B\)處的法向約束力\(F_B\)的作用。重力\(P\)作用在桿的重心，即桿的中點；繩的拉力\(T\)沿水平方向；\(A\)處的法向約束力\(F_A\)垂直于墻面，水平向右；\(B\)處的法向約束力\(F_B\)垂直于水平面，豎直向上。-步驟二：建立坐標(biāo)系，列出平衡方程。以\(B\)為坐標(biāo)原點，水平向右為\(x\)軸正方向，豎直向上為\(y\)軸正方向。-\(\sumF_x=0\)（水平方向合力為零）：\(F_A-T=0\)，即\(F_A=T\)。-\(\sumF_y=0\)（豎直方向合力為零）：\(F_B-P=0\)，即\(F_B=P\)。-\(\sumM_B=0\)（對\(B\)點的力矩之和為零）：取逆時針方向為正方向，重力\(P\)對\(B\)點的力矩為\(M_{P}=P\times\frac{l}{2}\cos\theta\)，繩的拉力\(T\)對\(B\)點的力矩為\(M_{T}=T\timesl\sin\theta\)，\(A\)處的法向約束力\(F_A\)對\(B\)點的力矩為\(M_{F_A}=F_A\timesl\cos\theta\)。則\(\sumM_B=M_{P}-M_{T}=0\)，即\(P\times\frac{l}{2}\cos\theta-T\timesl\sin\theta=0\)。-步驟三：求解繩的拉力\(T\)和\(A\)處的約束力\(F_A\)。由\(P\times\frac{l}{2}\cos\theta-T\timesl\sin\theta=0\)，可得：\(T=\frac{P}{2}\cot\theta\)因為\(F_A=T\)，所以\(F_A=\frac{P}{2}\cot\theta\)。綜上，繩的拉力\(T=\frac{P}{2}\cot\theta\)，\(A\)處的約束力\(F_A=\frac{P}{2}\cot\theta\)，\(B\)處的約束力\(F_B=P\)。材料力學(xué)題目7如圖所示，一矩形截面梁，承受均布載荷\(q\)作用。已知梁的跨度為\(l\)，截面寬度為\(b\)，高度為\(h\)，材料的許用正應(yīng)力為\([\sigma]\)，許用切應(yīng)力為\([\tau]\)，試校核梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度。答案本題可先分別求出梁的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，再將其與許用正應(yīng)力和許用切應(yīng)力進(jìn)行比較，從而校核梁的強度。-步驟一：求梁的最大正應(yīng)力并進(jìn)行強度校核。-求梁的最大彎矩\(M_{max}\)：對于承受均布載荷\(q\)的簡支梁，其最大彎矩發(fā)生在梁的跨中，根據(jù)簡支梁受均布載荷的彎矩公式可得：\(M_{max}=\frac{1}{8}ql^2\)-求梁的抗彎截面系數(shù)\(W_z\)：矩形截面的抗彎截面系數(shù)公式為\(W_z=\frac{bh^2}{6}\)。-求梁的最大正應(yīng)力\(\sigma_{max}\)：根據(jù)彎曲正應(yīng)力公式\(\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_z}\)，將\(M_{max}=\frac{1}{8}ql^2\)和\(W_z=\frac{bh^2}{6}\)代入可得：\(\sigma_{max}=\frac{\frac{1}{8}ql^2}{\frac{bh^2}{6}}=\frac{3ql^2}{4bh^2}\)-進(jìn)行正應(yīng)力強度校核：若\(\sigma_{max}\leq[\sigma]\)，則梁的正應(yīng)力強度滿足要求；若\(\sigma_{max}\gt[\sigma]\)，則梁的正應(yīng)力強度不滿足要求。-步驟二：求梁的最大切應(yīng)力并進(jìn)行強度校核。-求梁的最大剪力\(F_{Smax}\)：對于承受均布載荷\(q\)的簡支梁，其最大剪力發(fā)生在梁的支座處，根據(jù)簡支梁受均布載荷的剪力公式可得：\(F_{Smax}=\frac{1}{2}ql\)-求梁的截面面積\(A\)：矩形截面的面積公式為\(A=bh\)。-求梁的最大切應(yīng)力\(\tau_{max}\)：對于矩形截面梁，其最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，根據(jù)矩形截面梁的切應(yīng)力公式\(\tau_{max}=\frac{3F_{Smax}}{2A}\)，將\(F_{Smax}=\frac{1}{2}ql\)和\(A=bh\)代入可得：\(\tau_{max}=\frac{3\times\frac{1}{2}ql}{2bh}=\frac{3ql}{4bh}\)-進(jìn)行切應(yīng)力強度校核：若\(\tau_{max}\leq[\tau]\)，則梁的切應(yīng)力強度滿足要求；若\(\tau_{max}\gt[\tau]\)，則梁的切應(yīng)力強度不滿足要求。綜上，通過比較\(\sigma_{max}\)與\([\sigma]\)、\(\tau_{max}\)與\([\tau]\)的大小關(guān)系，即可完成梁的正應(yīng)力和切應(yīng)力強度校核。流體力學(xué)題目8如圖所示，水從水箱經(jīng)管道流出，已知水箱水面到管道出口的高度差為\(H\)，管道直徑為\(d\)，管道長度為\(l\)，沿程阻力系數(shù)為\(\lambda\)，局部阻力系數(shù)之和為\(\sum\xi\)，求管道出口的流速\(v\)。答案本題可應(yīng)用伯努利方程來求解管道出口的流速\(v\)。-步驟一：選取截面并確定相關(guān)參數(shù)。選取水箱水面為\(1-1\)截面，管道出口為\(2-2\)截面，以管道出口中心為基準(zhǔn)面。在\(1-1\)截面，由于水箱截面遠(yuǎn)大于管道截面，可認(rèn)為水箱水面的流速\(v_1\approx0\)；該截面的壓強\(p_1=p_{atm}\)（大氣壓強）；該截面的位置水頭為\(H\)。在\(2-2\)截面，壓強\(p_2=p_{atm}\)；該截面的位置水頭為\(0\)；流速為\(v\)。-步驟二：寫出伯努利方程。根據(jù)伯努利方程\(z_1+\frac{p_1}{\rhog}+\frac{v_1^2}{2g}=z_2+\fr