中考數(shù)學最優(yōu)化問題專項練習題在中考數(shù)學的戰(zhàn)場上，最優(yōu)化問題猶如一座需要智慧攻克的堡壘。它不僅考察同學們對數(shù)學知識的綜合運用能力，更考驗大家將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的思維技巧。這類問題往往緊密聯(lián)系生活實際，形式靈活多變，要求我們具備較強的分析、抽象和解決問題的能力。掌握其核心解題策略，對于提升中考數(shù)學成績至關(guān)重要。一、解題策略概述解決最優(yōu)化問題，首先要深刻理解題意，明確問題的目標是什么（是求最大值還是最小值？例如利潤最大、成本最低、用料最省、路程最短等）。其次，要善于從題目中提取關(guān)鍵信息，找出已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，將實際問題抽象為數(shù)學模型，通常是函數(shù)模型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)）或幾何模型。在建立模型后，我們主要依賴以下數(shù)學思想和方法：1.函數(shù)思想：將所求最值的量表示為某個自變量的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)（如二次函數(shù)的頂點坐標、一次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性）求出最值。2.方程思想：根據(jù)等量關(guān)系列出方程，求解關(guān)鍵變量。3.幾何直觀與性質(zhì)：對于一些幾何最值問題，常利用軸對稱、兩點之間線段最短、垂線段最短、三角形三邊關(guān)系等基本幾何性質(zhì)求解。4.分類討論思想：當問題中存在多種可能性時，需分類討論，逐一求解后再比較得出最優(yōu)方案。5.不等式（組）：有時需要利用不等式（組）確定自變量的取值范圍，這是求最值的前提。特別提醒，在求解過程中，一定要注意自變量的實際取值范圍，確保所求結(jié)果具有實際意義。二、專項練習題（一）利潤最大化問題題目1：某商店購進一批單價為a元的商品，若按每件b元出售，每天可售出c件。經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低d元，每天的銷售量可增加e件。為了使每天獲得的利潤最大，商店應將單價定為多少元？此時每天的最大利潤是多少？（注：為方便計算，假設(shè)a、b、c、d、e均為已知的正整數(shù)，且b>a，d<b-a）（二）幾何圖形最值問題題目2：如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=m，BC=n。點P是邊AC上的一個動點（不與A、C重合），過點P作PD⊥AB于點D，連接PB。設(shè)AP的長為x，四邊形PDBC的面積為y。求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值。（三）方案設(shè)計與最優(yōu)化題目3：某運輸公司有A、B兩種型號的貨車若干輛，已知A型貨車每輛可裝載貨物p噸，每天的運營成本為q元；B型貨車每輛可裝載貨物r噸，每天的運營成本為s元。現(xiàn)有一批貨物共t噸需要在一天內(nèi)運完。若每輛車都滿載，且A型貨車數(shù)量不得超過u輛，B型貨車數(shù)量不得超過v輛。請問：如何安排A、B兩種型號的貨車數(shù)量，能使當天的運營成本最低？最低運營成本是多少元？（注：p、q、r、s、t、u、v均為已知的正整數(shù)）（四）用料最省問題題目4：用一塊長為a米、寬為b米的長方形鐵皮（a>b>0），在它的四個角上分別剪去一個邊長為x米的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個無蓋的長方體鐵盒。（1）用含x的代數(shù)式表示鐵盒的容積V；（2）當x取何值時，鐵盒的容積V最大？最大容積是多少？（不考慮鐵皮厚度，且2x<b）三、參考答案與提示（一）利潤最大化問題（題目1）提示：1.設(shè)單價降低了k個d元（k為非負整數(shù)），則降價后的單價為(b-kd)元，每天的銷售量為(c+ke)件。2.每天的利潤W=(售價-進價)×銷售量=(b-kd-a)(c+ke)。3.將W表示為關(guān)于k的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的頂點坐標公式求出k的值（注意k的實際意義，可能需要取整數(shù)），進而求出最大利潤及對應的單價。若k為小數(shù)，則需比較k取相鄰整數(shù)時的利潤大小。（二）幾何圖形最值問題（題目2）提示：1.首先利用勾股定理求出AB的長度，再求出Rt△ABC中AB邊上的高，或者利用相似三角形求出PD的長度（因為△APD∽△ABC）。2.四邊形PDBC的面積y可以表示為Rt△ABC的面積減去Rt△APD的面積和△PBC的面積（或者減去△APB的面積）。3.將y表示為關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和自變量x的取值范圍（0<x<m），求出y的最大值。（三）方案設(shè)計與最優(yōu)化（題目3）提示：1.設(shè)安排A型貨車m輛，B型貨車n輛。根據(jù)題意，可得不等式組：pm+rn≥t（貨物運完）m≤u，n≤v（車輛數(shù)量限制）m、n為非負整數(shù)。2.目標是使運營成本C=qm+sn最小。3.可以通過列舉法（在可能的m取值范圍內(nèi)，求出滿足條件的最小n，計算C并比較）或根據(jù)兩種車型的單位載貨成本（q/p與s/r）初步判斷優(yōu)先使用哪種車型更經(jīng)濟，再進行調(diào)整和驗證。（四）用料最省問題（題目4）提示：1.折成的無蓋長方體鐵盒，底面長為(a-2x)米，寬為(b-2x)米，高為x米。2.容積V=(a-2x)(b-2x)x，其中0<x<b/2。3.這是一個關(guān)于x的三次函數(shù)，對于初中生而言，可嘗試通過展開后，在給定的x取值范圍內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的知識或代入一些特殊值（如利用均值不等式的思想，若a、b為具體數(shù)值）來分析其最大值，或者根據(jù)題目給定的a、b具體值，通過配方法或求導（高中知識，初中階段可不要求）的思想來理解。中考中此類問題通常會給出具體數(shù)值，使得函數(shù)在頂點處取得最值且x符合實際意義。三、總結(jié)與建議最優(yōu)化問題的求解，核心在于“轉(zhuǎn)化”與“建?！?。同學們在平時練習中，應注重以下幾點：1.強化審題能力：仔細閱讀題目，圈點關(guān)鍵信息，明確已知、未知和目標。2.注重數(shù)學建模：有意識地將文字信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號和關(guān)系式，培養(yǎng)建模意識。3.熟練掌握函數(shù)性質(zhì)：尤其是二次函數(shù)的最值求法，這是解決最優(yōu)化問題的利器。4.關(guān)注實際意義：時刻記住自變量的取值范圍必須符合實際情況，對解出的結(jié)果要進行檢驗。5.多思多練，歸納總結(jié)：不同類型的最優(yōu)化