第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)綜合檢測(cè)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】含量詞的命題的否定可通過(guò)通過(guò)改變量詞，否定結(jié)論得到.【詳解】命題“”的否定是“”，故選：A.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將集合化簡(jiǎn)，再由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且，所?故選：A3．已知，且，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)運(yùn)算及充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】若，符合，但此時(shí)，不滿足充分性，若，符合，但是，不滿足必要性.故選：D4．已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】根據(jù)集合的描述法確定集合中的元素，根據(jù)交集的概念可得，從而根據(jù)其元素個(gè)數(shù)得子集個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為．故選：D．5．若命題“，使得”為假命題，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，根據(jù)命題的真假關(guān)系得到原命題的否定為真命題，即，恒成立，從而求解.【詳解】由命題“，使得”為假命題，則命題“，使得”為真命題，，則，所以，則，可得.故選：A6．對(duì)于集合A，B，定義A\B=且，則對(duì)于集合A={}，B={}，且，以下說(shuō)法正確的是（

）A．若在橫線上填入”∩”，則C的真子集有212﹣1個(gè).B．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)大于250.C．若在橫線上填入”\”，則C的非空真子集有2153﹣2個(gè).D．若在橫線上填入”∪”，則C中元素個(gè)數(shù)為13.【答案】B【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)確定相應(yīng)的集合，然后由集合與子集定義得結(jié)論．【詳解】，，集合無(wú)公共元素，選項(xiàng)A中，集合為空集，沒(méi)有真子集，A錯(cuò)；選項(xiàng)B中，由得，由得，因此中元素個(gè)數(shù)為，B正確；選項(xiàng)C中，中元素個(gè)數(shù)為166，非空真子集個(gè)數(shù)為，C錯(cuò)；選項(xiàng)D中，，而，因此其中元素個(gè)數(shù)為331個(gè)，D錯(cuò)．故選：B．7．在中，“是正三角形”是“A，B，C成等差數(shù)列且，，成等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差、等比數(shù)列的定義，結(jié)合正余弦定理及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】若在中，由A，B，C成等差數(shù)列，得，而，則，，，成等比數(shù)列，得，由正弦定理得，由余弦定理得，即，解得，因此是正三角形，即必要性成立；若是正三角形，則，，因此A，B，C成等差數(shù)列且，，成等比數(shù)列，即充分性成立；所以“是正三角形”是“A，B，C成等差數(shù)列且，，”成等比數(shù)列的充要條件.故選：C.8．對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）①若曲線是一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；②若曲線是一個(gè)半徑為的圓，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；③若曲線是一個(gè)長(zhǎng)度為的線段，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為；④若曲線是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題中定義分析出①②③④中點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域，計(jì)算出相應(yīng)圖形的面積，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)，對(duì)于①，若曲線表示點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，所以，點(diǎn)集所表示的圖形是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓及其內(nèi)部，所以，點(diǎn)集所表示的圖形的面積為，①對(duì)；對(duì)于②，若曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，設(shè)為曲線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在曲線內(nèi)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，可得，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在曲線外時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以，，可得，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，線段的長(zhǎng)不存在最小值，綜上所述，或，即或，所以，點(diǎn)集所表示的圖形是夾在圓和圓的區(qū)域（但不包括圓的圓周），此時(shí)，點(diǎn)集所表示的圖形的面積為，②錯(cuò)；對(duì)于③，不妨設(shè)點(diǎn)曲線為線段，且，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，由①可知，則點(diǎn)集表示的是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則點(diǎn)集表示的是以點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，故當(dāng)點(diǎn)在線段上滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)集表示的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和兩個(gè)半徑為1的半圓所圍成的區(qū)域，此時(shí)，點(diǎn)集的面積為，③對(duì)；對(duì)于④，若曲線是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，設(shè)等邊三角形為，因?yàn)?，，則，由③可知，點(diǎn)集構(gòu)成的區(qū)域由矩形、、，以及分別由點(diǎn)為圓心，半徑為1，圓心角為的三段圓弧，和夾在等邊三角形和等邊三角形中間的部分（包括邊界），因此，，則，所以，點(diǎn)集所表示的圖形的面積為，④對(duì).綜上所述：正確的序號(hào)為①③④，共3個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于分析出點(diǎn)集所表示的區(qū)域，并作出其圖形，計(jì)算其面積即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先根據(jù)集合的研究對(duì)象求出兩集合，按選項(xiàng)分別求交集，并集和補(bǔ)集再判斷即得.【詳解】由函數(shù)有意義可得：即，故，由可得：.因，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；因，故C項(xiàng)正確；又，得.故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10．已知集合，集合，能使成立的充分不必要條件有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】由成立的充要條件求出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)是的子集，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)比選項(xiàng)可知使得成立的充分不必要條件有，.故選：CD.11．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，令，則，，因此，B正確；對(duì)于C，取，，則，，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，此時(shí)，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說(shuō)明.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．，或，且，則的取值范圍是.【答案】或【分析】根據(jù)條件及集合的運(yùn)算，借助數(shù)軸，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，或，且，由圖知或，得到或，故答案為：或.13．命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是.【答案】【分析】先給出命題p的否定，由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】命題p的否定為：任意，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，而，得，故答案為：14．已知命題“方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根”，若為真命題的一個(gè)必要不充分條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先求得為真命題時(shí)的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件求得的取值范圍.【詳解】若命題“方程至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根”為真命題，時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，則此時(shí)方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)方程為符合題意；由解得，此時(shí)，則此時(shí)方程有兩個(gè)負(fù)根，符合題意.綜上所述，為真命題時(shí)，的取值范圍是.若為真命題的一個(gè)必要不充分條件為，則.故答案為：【點(diǎn)睛】含參數(shù)的一元二次方程根的分布問(wèn)題，可采用直接討論法來(lái)進(jìn)行研究，也可以采用分離參數(shù)法來(lái)進(jìn)行研究，如果采用直接討論法，在分類(lèi)討論的過(guò)程中，要注意做到不重不漏.求命題的必要不充分條件，可轉(zhuǎn)化為找一個(gè)比本身“大”的范圍來(lái)進(jìn)行求解.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．已知集合，.(1)若，求，；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出集合，然后即可求出，.（2）根據(jù)，列出相應(yīng)的不等式組從而可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）由（1）知，又，所以，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.16．已知命題，為真命題.(1)求實(shí)數(shù)的取值集合A；(2)設(shè)為非空集合，且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）把給定命題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再利用判別式求解．（2）由已知結(jié)合集合的包含關(guān)系列出不等關(guān)系，求解即可．【詳解】（1）依題意，關(guān)于的不等式恒成立，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值的集合．（2）因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以為的真子集．又為非空集合，所以，得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的值域?yàn)榧?(1)求；(2)若集合，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求出，并計(jì)算即可.（2）分類(lèi)討論整合出的取值集合即可.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則解得，所以，對(duì)于函數(shù)，，所以，所以.（2）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，要使，則，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18．已知集合，集合.(1)存在，使，成立，求實(shí)數(shù)的值及集合；(2)命題：，都有，命題：使得成立.若命題為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)實(shí)數(shù)的值為，集合(2)(3)【分析】（1）依題意，若存在，使，成立，則，可確定的值，再分別解出集合即可；（2）若命題為假命題，則命題為真命題，可得，再結(jié)合為真命題，可得，取交集即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）令，則可知的對(duì)稱軸為，要使成立，即成立，再分別討論對(duì)稱軸所在位置即可判斷的最小值，從而求得答案.【詳解】（1）因?yàn)榇嬖冢?，成立，所以恒成立，解得：，又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，集合，此時(shí)，故實(shí)數(shù)的值為1，集合.（2）因?yàn)槊}：，都有，為假命題，則命題：，有，為真命題，所以，又命題：，使得成立，且：，使得，為真命題，則恒成立，即，所以恒成立，解得：，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為：.（3）令，則是開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為的拋物線，因?yàn)槿我獾?，都有，則要使成立，即成立，當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，解得：；當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值為，所以有，解得：；當(dāng)，即時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以有，此時(shí)沒(méi)有實(shí)數(shù)解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為：.19．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，，記的元素個(gè)數(shù)為.(1)若數(shù)列A:1，3，5，7，求集合，并寫(xiě)出的值;(2)若是遞減數(shù)列，求證:“”的充要條件是“為等差數(shù)列”;(3)已知數(shù)列，求證:.【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合集合的新定義，即可求解；（2）若為等差數(shù)列，且是遞減數(shù)列，得到，結(jié)合，證得充分性成立；再由是遞減數(shù)列，得到，結(jié)合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得證；（3）根據(jù)題意，得到，得出，得到，不妨設(shè)，則，推得為奇數(shù)，矛盾，進(jìn)而得證.【詳解】（1）解：由題意，數(shù)列，可得，所以集合，所以.