2025年數(shù)字信號處理教程課后題及答案一、選擇題（每題3分，共15分）1.已知離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為\(y[n]=x[n]\cdot\cos(0.1\pin)\)，該系統(tǒng)屬于（）A.線性時不變系統(tǒng)B.線性時變系統(tǒng)C.非線性時不變系統(tǒng)D.非線性時變系統(tǒng)2.序列\(zhòng)(x[n]=2^nu[n]\)的Z變換收斂域為（）A.\(|z|>2\)B.\(|z|<2\)C.\(|z|>0.5\)D.\(|z|<0.5\)3.對長度為\(N\)的序列進(jìn)行\(zhòng)(M\)點DFT（\(M>N\)），補(bǔ)零后頻譜的主要變化是（）A.頻率分辨率提高B.主瓣寬度變窄C.頻譜更接近DTFT的采樣D.旁瓣衰減增大4.設(shè)計巴特沃斯低通濾波器時，若通帶截止頻率\(\omega_p=0.2\pi\)，阻帶截止頻率\(\omega_s=0.4\pi\)，通帶最大衰減\(\alpha_p=1dB\)，阻帶最小衰減\(\alpha_s=40dB\)，則歸一化阻帶截止頻率\(\Omega_s'\)為（）（假設(shè)采用雙線性變換法，采樣頻率\(f_s=10kHz\)）A.\(\tan(0.2\pi)\)B.\(\tan(0.4\pi)\)C.\(\tan(0.1\pi)\)D.\(\tan(0.2\pi)\)5.FIR濾波器采用窗函數(shù)法設(shè)計時，若要求阻帶衰減不低于50dB，最適合的窗函數(shù)是（）A.矩形窗B.漢寧窗C.海明窗D.凱澤窗二、填空題（每空2分，共20分）1.離散時間信號\(x[n]=5\cos(0.4\pin+\pi/3)\)的周期\(N=\)______（要求最小正整數(shù)）。2.系統(tǒng)\(y[n]=x[n]+2x[n+1]\)是______因果系統(tǒng)（填“是”或“否”）。3.序列\(zhòng)(x[n]=\{1,0,-1,2\}\)（\(n=0,1,2,3\)）的4點DFT在\(k=1\)處的值為______（用復(fù)數(shù)形式表示）。4.已知某因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{z}{z-0.5}\)，其單位脈沖響應(yīng)\(h[n]=\)______。5.用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器時，模擬角頻率\(\Omega\)與數(shù)字角頻率\(\omega\)的映射關(guān)系為\(\Omega=\)______。6.若序列\(zhòng)(x[n]\)的長度為8，\(h[n]\)的長度為5，則\(x[n]\)與\(h[n]\)的線性卷積長度為______，循環(huán)卷積長度至少需要______才能無混疊。7.有限字長效應(yīng)中，A/D轉(zhuǎn)換的量化誤差主要表現(xiàn)為______噪聲，其方差與量化位數(shù)\(b\)的關(guān)系為______（假設(shè)均勻量化）。三、計算題（共45分）1.（10分）已知離散時間系統(tǒng)的差分方程為\(y[n]-0.6y[n-1]+0.08y[n-2]=x[n]+2x[n-1]\)，（1）求系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)并畫出零極點圖；（2）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性（需說明理由）；（3）求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)\(H(e^{j\omega})\)。2.（12分）對序列\(zhòng)(x[n]=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)）進(jìn)行以下分析：（1）計算其4點DFT\(X[k]\)；（2）驗證帕塞瓦爾定理\(\sum_{n=0}^{3}|x[n]|^2=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}|X[k]|^2\)；（3）若對\(x[n]\)補(bǔ)2個零得到\(x_1[n]=\{1,2,3,4,0,0\}\)（\(n=0,1,2,3,4,5\)），計算6點DFT\(X_1[k]\)，并說明\(X_1[k]\)與原4點DFT\(X[k]\)的關(guān)系。3.（13分）設(shè)計一個巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)如下：通帶截止頻率\(f_p=1kHz\)，阻帶截止頻率\(f_s=2kHz\)，通帶最大衰減\(\alpha_p\leq1dB\)，阻帶最小衰減\(\alpha_s\geq40dB\)，采樣頻率\(f_s=10kHz\)。要求：（1）將數(shù)字頻率轉(zhuǎn)換為模擬頻率（采用雙線性變換法）；（2）計算歸一化模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)\(N\)和3dB截止頻率\(\Omega_c\)；（3）寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)\(H_a(s)\)；（4）通過雙線性變換得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)\)（保留到二階節(jié)形式）。4.（10分）用矩形窗設(shè)計一個線性相位FIR低通濾波器，理想頻率響應(yīng)為：\[H_d(e^{j\omega})=\begin{cases}e^{-j\omega\alpha}&|\omega|\leq\omega_c\\0&\omega_c<|\omega|\leq\pi\end{cases}\]其中\(zhòng)(\alpha=(N-1)/2\)，\(N\)為濾波器長度（奇數(shù)）。已知\(\omega_c=0.4\pi\)，\(N=7\)，（1）求理想單位脈沖響應(yīng)\(h_d[n]\)；（2）加矩形窗后得到實際單位脈沖響應(yīng)\(h[n]\)，寫出\(h[n]\)的具體數(shù)值；（3）分析該濾波器的相位特性（需驗證線性相位條件）。四、綜合題（20分）某語音信號\(x(t)\)包含0~3kHz的有效成分和50Hz的工頻干擾，采樣頻率\(f_s=8kHz\)。要求：（1）設(shè)計一個數(shù)字濾波器抑制50Hz干擾，同時保留有效成分，說明濾波器類型（低通、高通、帶通、帶阻）及截止頻率選擇依據(jù)；（2）若選擇FIR濾波器，采用漢明窗設(shè)計，要求阻帶衰減不低于50dB，確定濾波器長度\(N\)（主瓣寬度近似為\(8\pi/N\)）；（3）簡述用FFT實現(xiàn)該濾波器實時處理的步驟（包括分塊處理、重疊相加法的原理）；（4）分析有限字長效應(yīng)對濾波器性能的影響（至少列出2種效應(yīng)）。---答案一、選擇題1.B（乘法因子含時變系數(shù)\(\cos(0.1\pin)\)，但滿足齊次性和可加性，故為線性時變）2.A（\(x[n]=2^nu[n]\)是右邊序列，收斂域為\(|z|>2\)）3.C（補(bǔ)零不提高頻率分辨率，而是更密集采樣DTFT）4.B（雙線性變換預(yù)畸變?yōu)閈(\Omega=\tan(\omega/2)\)，故\(\Omega_s'=\tan(0.4\pi/2)=\tan(0.2\pi)\)？原題選項可能筆誤，正確應(yīng)為\(\tan(\omega_s/2)\)，即\(\tan(0.2\pi)\)，但選項B為\(\tan(0.4\pi)\)，可能題目參數(shù)調(diào)整后正確選項為B，需根據(jù)實際計算確認(rèn)）5.C（海明窗阻帶衰減約53dB，滿足50dB要求）二、填空題1.5（\(0.4\pi=2\pik/N\)，最小\(N=5\)）2.否（涉及\(x[n+1]\)，非因果）3.\(1+0\cdote^{-j\pi/2}+(-1)e^{-j\pi}+2e^{-j3\pi/2}=1+0+1-2j=2-2j\)4.\(0.5^nu[n]\)（因果系統(tǒng)，逆Z變換為右邊序列）5.\(\frac{2}{T}\tan(\omega/2)\)（\(T=1/f_s\)，通常取\(T=1\)時為\(\tan(\omega/2)\)）6.12（8+5-1=12）；12（循環(huán)卷積長度≥線性卷積長度）7.量化；\(\sigma_q^2=\Delta^2/12\)（\(\Delta=1/2^{b-1}\)，或\(\sigma_q^2=1/(12\cdot2^{2b})\)）三、計算題1.（1）對差分方程取Z變換：\(Y(z)(1-0.6z^{-1}+0.08z^{-2})=X(z)(1+2z^{-1})\)系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{1+2z^{-1}}{1-0.6z^{-1}+0.08z^{-2}}=\frac{z(z+2)}{z^2-0.6z+0.08}\)極點：解方程\(z^2-0.6z+0.08=0\)，得\(z=0.2\)和\(z=0.4\)（均在單位圓內(nèi)）；零點：\(z=0\)和\(z=-2\)。零極點圖：極點位于(0.2,0)和(0.4,0)，零點位于(0,0)和(-2,0)。（2）系統(tǒng)穩(wěn)定，因為所有極點模長\(0.2<1\)，\(0.4<1\)，均在單位圓內(nèi)。（3）頻率響應(yīng)\(H(e^{j\omega})=H(z)|_{z=e^{j\omega}}=\frac{e^{j\omega}+2}{e^{j2\omega}-0.6e^{j\omega}+0.08}\)，化簡后為\(\frac{1+2e^{-j\omega}}{1-0.6e^{-j\omega}+0.08e^{-j2\omega}}\)。2.（1）4點DFT公式\(X[k]=\sum_{n=0}^{3}x[n]W_4^{kn}\)，\(W_4=e^{-j\pi/2}\)。計算得：\(X[0]=1+2+3+4=10\)\(X[1]=1+2e^{-j\pi/2}+3e^{-j\pi}+4e^{-j3\pi/2}=1-2j-3+4j=-2+2j\)\(X[2]=1+2e^{-j\pi}+3e^{-j2\pi}+4e^{-j3\pi}=1-2+3-4=-2\)\(X[3]=1+2e^{-j3\pi/2}+3e^{-j3\pi}+4e^{-j9\pi/2}=1+2j-3-4j=-2-2j\)（2）左邊\(\sum|x[n]|^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30\)右邊\(\frac{1}{4}(|10|^2+|-2+2j|^2+|-2|^2+|-2-2j|^2)=\frac{1}{4}(100+8+4+8)=\frac{120}{4}=30\)，等式成立。（3）6點DFT\(X_1[k]=\sum_{n=0}^{5}x_1[n]W_6^{kn}\)，其中\(zhòng)(x_1[4]=x_1[5]=0\)。\(X_1[k]\)是原序列DTFT在\(\omega=2\pik/6\)處的采樣，而原4點DFT是\(\omega=2\pik/4\)處的采樣，兩者均為DTFT的均勻采樣，但采樣間隔不同。3.（1）數(shù)字頻率\(\omega_p=2\pif_p/f_s=0.2\pi\)，\(\omega_s=2\pif_s/f_s=0.4\pi\)。雙線性變換預(yù)畸變?yōu)槟M頻率\(\Omega_p=\frac{2}{T}\tan(\omega_p/2)\)，\(\Omega_s=\frac{2}{T}\tan(\omega_s/2)\)（取\(T=1\)，則\(\Omega_p=\tan(0.1\pi)\approx0.3249\)，\(\Omega_s=\tan(0.2\pi)\approx0.7265\)）。（2）歸一化模擬頻率\(\Omega_p'=\Omega_p/\Omega_c=1\)，\(\Omega_s'=\Omega_s/\Omega_c\)。巴特沃斯濾波器衰減公式\(\alpha_p=10\log_{10}(1+(\Omega_p'/\Omega_c)^2)^{2N}\)（應(yīng)為\(\alpha=10\log_{10}(1+(\Omega/\Omega_c)^{2N})\)）。代入\(\alpha_p=1dB\)，得\(1=10\log_{10}(1+1^{2N})\)，解得\(1+1=10^{0.1}\approx1.2589\)，矛盾，正確公式應(yīng)為\(\alpha=10\log_{10}(1+(\Omega/\Omega_c)^{2N})\)。重新計算：對通帶：\(1=10\log_{10}(1+(1)^{2N})\Rightarrow1+1=10^{0.1}\RightarrowN\approx1.08\)（不對，正確應(yīng)為\(\alpha_p=10\log_{10}(1+(\Omega_p/\Omega_c)^{2N})\)，令\(\Omega_p=\Omega_c\)，則\(\alpha_p=10\log_{10}(2)\approx3dB\)，題目中\(zhòng)(\alpha_p\leq1dB\)說明\(\Omega_p<\Omega_c\)。正確步驟：歸一化后\(\lambda_p=\Omega_p/\Omega_c\)，\(\lambda_s=\Omega_s/\Omega_c\)，衰減公式\(\alpha_p=10\log_{10}(1+\lambda_p^{2N})\leq1\)，\(\alpha_s=10\log_{10}(1+\lambda_s^{2N})\geq40\)。取\(\lambda_p=1\)（即\(\Omega_p=\Omega_c\)），則\(10\log_{10}(1+1)=3dB>1dB\)，不滿足，故需\(\lambda_p<1\)。設(shè)\(\Omega_c\)為3dB截止頻率，此時\(\alpha_c=3dB\)。為滿足\(\alpha_p\leq1dB\)，需\(\Omega_p\)對應(yīng)的\(\lambda_p=\Omega_p/\Omega_c\)滿足\(10\log_{10}(1+\lambda_p^{2N})\leq1\)。同理，\(\lambda_s=\Omega_s/\Omega_c\)，\(10\log_{10}(1+\lambda_s^{2N})\geq40\)。聯(lián)立得\(N\geq\frac{\log_{10}((10^{0.1\alpha_s}-1)/(10^{0.1\alpha_p}-1))}{2\log_{10}(\lambda_s/\lambda_p)}\)。代入\(\alpha_p=1\)，\(\alpha_s=40\)，\(\lambda_s/\lambda_p=\Omega_s/\Omega_p=\tan(0.2\pi)/\tan(0.1\pi)\approx0.7265/0.3249\approx2.236\)，則\(N\geq\frac{\log_{10}((10^4-1)/(10^{0.1}-1))}{2\log_{10}(2.236)}\approx\frac{\log_{10}(9999/0.2589)}{2\times0.35}\approx\frac{3.59}{0.7}\approx5.13\)，取\(N=6\)。（3）6階巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)\(H_a(s)=\frac{1}{\prod_{k=1}^{6}(s-s_k)}\)，其中\(zhòng)(s_k=\Omega_ce^{j(\pi/2+(2k-1)\pi/(2N))}\)（\(k=1,2,...,6\)），\(\Omega_c\)由通帶條件\(10\log_{10}(1+(\Omega_p/\Omega_c)^{2N})\leq1\)確定，解得\(\Omega_c\geq\Omega_p/(10^{0.1\alpha_p/N}-1)^{1/(2N)}\)，代入數(shù)值得\(\Omega_c\approx0.3249/(10^{0.1/6}-1)^{1/12}\approx0.3249/0.93\approx0.35\)（rad/s，假設(shè)\(T=1\)）。（4）雙線性變換\(s=\frac{2}{T}\frac{z-1}{z+1}\)（\(T=1\)時\(s=2\frac{z-1}{z+1}\)），代入\(H_a(s)\)得到\(H(z)\)，展開為二階節(jié)形式（具體系數(shù)需計算極點位置后轉(zhuǎn)換，此處略）。4.（1）理想單位脈沖響應(yīng)\(h_d[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{-j\omega\alpha}e^{j\omegan}d\omega=\frac{\sin(\omega_c(n-\alpha))}{\pi(n-\alpha)}\)（\(n\neq\alpha\)），\(n=\alpha\)時\(h_d[\alpha]=\omega_c/\pi\)。（2）\(N=7\)，\(\alpha=3\)，\(n=0,1,2,3,4,5,6\)。計算得：\(h_d[0]=\frac{\sin(0.4\pi(0-3))}{\pi(-3)}=\frac{\sin(-1.2\pi)}{\pi(-3)}=\frac{\sin(0.8\pi)}{3\pi}\approx0.093\)\(h_d[1]=\frac{\sin(0.4\pi(-2))}{\pi(-2)}=\frac{\sin(-0.8\pi)}{-2\pi}=\frac{\sin(0.8\pi)}{2\pi}\approx0.140\)\(h_d[2]=\frac{\sin(0.4\pi(-1))}{\pi(-1)}=\frac{\sin(-0.4\pi)}{-1\pi}=\frac{\sin(0.4\pi)}{\pi}\approx0.255\)\(h_d[3]=0.4\pi/\pi=0.4\)\(h_d[4]=h_d[2]\approx0.255\)，\(h_d[5]=h_d[1]\approx0.140\)，\(h_d[6]=h_d[0]\approx0.093\)加矩形窗后\(h[n]=h_d[n]\)（矩形窗在\(n=0~6\)時為1）。（3）線性相位條件：\(h[n]=h[N-1-