試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市致遠中學2025-2026學年上學期9月月考九年級數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題（本大題共6題，每題4分，共24分）1．符號sinA表示（）A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切2．如果，那么（

）A． B． C．5 D．3．在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的長是（

）A． B． C． D．4．直角梯形ABCD如圖放置，AB、CD為水平線，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，從低處A處看高處C處，那么點C在點A的（）A．俯角67°方向 B．俯角23°方向C．仰角67°方向 D．仰角23°方向5．已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關系是（）A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直 D．和之間夾角的正切值為56．如果點、、分別在邊、、上，聯(lián)結、，且，那么下列說法錯誤的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）7．已知，那么8．如果，那么銳角度9．線段AB＝2cm，點P為線段AB的黃金分割點（AP＞BP），則AP的長為cm．10．計算：2（﹣2）+3（+）＝．11．在比例尺為1:8000000地圖上測得甲、乙兩地間的圖上距離為4厘米，那么甲、乙兩地間的實際距離為千米12．如果兩個相似三角形的周長比為1：2，那么它們某一對對應邊上的高之比為．13．如圖，，，，，那么

14．如圖，△ABC中，DE是BC的垂直平分線，DE交AC于點E，連接BE，若BE=9，BC=12，則cosC=．15．如圖，的中線、交于點，點在邊上，，那么．16．如圖，斜坡長為100米，坡角，現因“改小坡度”工程的需要，將斜坡改造成坡度的斜坡（、、三點在地面的同一條垂線上），那么由點到點下降了米（結果保留根號）17．如圖，點C是長度為8的線段AB上一動點，如果AC＜BC，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側作等邊△ACD、△BCE，聯(lián)結DE，當△CDE的面積為3時，線段AC的長度是．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉后得到矩形A'BC'D'，點A的對應點A'在對角線AC上，點C、D分別與點C'、D'對應，A′D'與邊BC交于點E，那么BE的長是．三、解答題（本大題共7題，共10+10+10+10+12+12+14=78分)19．計算：20．如圖，在梯形中，，，對角線、相交于點，設，．(1)試用、的式子表示向量；(2)在圖中作出向量在、方向上的分向量，并寫出結論．21．如圖，已知在中，，，延長邊至點D，使，連接.（1）求的正切值；（2）取邊的中點E，連接并延長交邊于點F，求的值.22．某校九年級數學興趣小組的學生進行社會實踐活動時，想利用所學的解直角三角形的知識測量教學樓的高度，他們先在點D處用測角儀測得樓頂M的仰角為30°，再沿DF方向前行40米到達點E處，在點E處測得樓頂M的仰角為45°，已知測角儀的高AD為1.5米．請根據他們的測量數據求此樓MF的高．（結果精確到0.1m，參考數據：≈1.414，≈1.732，≈2.449）23．在中，點D、E分別在邊、上，與交于點F.若平分，．(1)求證：；(2)若，交邊的延長線于點G，求證：．24．綜合與實踐(1)【問題初探】某興趣小組探索這樣一個問題：若是的角平分線，則線段，，，有何數量關系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，請完成填空：小智的思路和方法：如圖①，作，，垂足分別為M，N．∵平分，，，___________．∵，，∴．再用另一種方式表示與的面積，即可推導出結論…小勇的思路和方法：如圖②，作，交的延長線于點E．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴___________．再通過證明得到比例式，從而推導出結論…根據小智或小勇的方法，可以得到線段，，，的數量關系是___________；(2)【變式拓展】小慈對問題作了進一步拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點，，，求的值．請你完成解答．(3)【遷移應用】請你借助以上結論或方法，用無刻度直尺和圓規(guī)在圖4的線段上作一點P，使．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D為AB邊上一動點（點D與點A、B不重合），連接CD，過點D作DE⊥DC交邊BC于點E．（1）如圖，當ED＝EB時，求AD的長；（2）設AD＝x，BE＝y(tǒng)，求y關于x的函數解析式并寫出函數定義域；（3）把△BCD沿直線CD翻折得△CDB'，連接AB'，當△CAB'是等腰三角形時，直接寫出AD的長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案題號123456答案ABBDBC7．68．309．（﹣1）/（﹣1＋）10．511．32012．1:2．13．/2.2514．15．16．17．2．18．．19．原式====．20．（1）解：，，∴，，，即，，，，方向相同，，，；（2）如圖所示：即為向量在方向上的分向量分別為，．21．解：（1）過點C作于G，則，∴，∵，∴設，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，故的正切值為；（2）延長至H，使，連接，∵E是的中點，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．22．解：設MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝x，∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：樓MF的高56.1米．23．（1）證明：∵平分，∴，又∵，，，，又，，又，．（2）證明：∵，，，，，，，，，，，．24．（1）解：由角平分線定理可知，角平分線上任意一點向兩邊作垂線，兩條線段相等可得；由等腰三角形兩個底角相等可得兩腰相等，即；通過題意的推論進一步得出其對應邊成比例的關系，即．故答案為：，，．（2）解：如圖，設的邊上的高為h，作邊上的高，邊上的高，則，，又，，∴，∴．（3）解：如圖所示為所求：25．解：（1）∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠B，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝∠A＝90°，∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，∴tan∠ACD＝tan∠B，∴，∴，∴AD＝．（2）如圖1中，作EH⊥BD于H．在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝，∴sin∠B=，cos∠B=∵BE＝y(tǒng)，∴EH＝BE?sin∠B=y，BH＝BE?cos∠B=y，∴DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，∴△ACD∽△HDE，∴，∴，∴y＝（0＜x＜4）．（3）①如圖3﹣1中，設CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N∵AC＝AB＝3，AE⊥CB′，∴CE＝EB′=CB′＝，∴AE＝，∵∠