平面向量基本定理及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)性1．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐標(biāo)是()A．(2，2)B．(－2，－2)C．(1，1)D．(－1，－1)解析：D因?yàn)锳(2，2)，B(1，1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1).故選D.2．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，7)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－2，－4)B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)解析：Beq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，4).故選B.3．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，eq\r(3))，則與向量2a－b共線的單位向量為()A．(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))B．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))C．(eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))或(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))D．(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))或(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))解析：D由題意可知，2a－b＝(1，－eq\r(3))，所以|2a－b|＝2.與2a－b共線的單位向量為±eq\f(2a－b,|2a－b|)＝±(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)).故選D.4．已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(1，4)B．(1，5)C．(2，4)D．(2，5)解析：B因?yàn)锳(－1，－2)，B(3，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，1).由四邊形ABCD為平行四邊形可得eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，設(shè)D(x，y)，又C(5，6)，則(5－x，6－y)＝(4，1)，所以x＝1，y＝5，即D的坐標(biāo)為(1，5).故選B.5．(多選)已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為線段OA的中點(diǎn)，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))B．eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))D．eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))解析：AC如圖所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為E，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→)).故選AC.6．已知點(diǎn)A(2，0)，B(4，2)，若點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3，1)B．(1，－1)C．(3，1)或(1，－1)D．(3，－1)或(－1，1)解析：C設(shè)P(x，y)，因?yàn)锳(2，0)，B(4，2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，y).因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝±2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2(x－2)＝2，,2y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2(x－2)＝2，,－2y＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))故選C.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.向量p＝(a＋c，－b)，q＝(a＋b，a－c)，若p∥q，則角C的大小為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(2π,3)解析：D因?yàn)閜＝(a＋c，－b)，q＝(a＋b，a－c)，p∥q，所以(a＋c)·(a－c)－(－b)·(a＋b)＝0，即－ab＝a2＋b2－c2，由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(－ab,2ab)＝－eq\f(1,2).因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq\f(2π,3)，故選D.8．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|等于__________．解析：eq\f(8,9)由4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)·(4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)))，因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，可得eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,9)(4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(4,9)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(4,9)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(8,9).綜合性9．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是()A．－2B．eq\f(1,2)C．1D．－1解析：ABD因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形．10．若向量a＝(x，2)，b＝(－3，y)，c＝(－1，－2)，且(a－c)⊥(b＋c)，則|a－b|的最小值為________.解析：eq\r(2)由題設(shè)，a－c＝(x＋1，4)，b＋c＝(－4，y－2)，又(a－c)⊥(b＋c)，所以(a－c)·(b＋c)＝－4(x＋1)＋4(y－2)＝0，則x－y＋3＝0.又a－b＝(x＋3，2－y)，則|a－b|＝eq\r((x＋3)2＋(2－y)2)，所以要求|a－b|的最小值，即求定點(diǎn)(－3，2)到直線x－y＋3＝0的距離，所以|a－b|min＝eq\f(|－3－2＋3|,\r(2))＝eq\r(2).11．如圖，已知平面內(nèi)有三個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角分別為30°和90°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋2μ＝________．解析：8如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作向量eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))的平行線與OA，OB的延長(zhǎng)線分別交于D，E兩點(diǎn)，所以四邊形ODCE為平行四邊形，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))，因?yàn)橄蛄縠q\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角分別為30°和90°，即∠BOC＝90°，∠AOC＝30°，則∠OCD＝90°，∠OCE＝30°，在Rt△OCD中，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠AOC＝30°，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OC,\s\up6(→))|,cos30°)＝4，在Rt△OCE中，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，∠OCE＝30°，所以|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·tan30°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝2，又由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)).又因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋2μ＝8.12．已知△ABC內(nèi)的點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，點(diǎn)Q為BC邊上離C最近的一個(gè)四等分點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得eq\f(5,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))成立，則λ等于__________．解析：eq\f(4,3)因?yàn)椤鰽BC內(nèi)的點(diǎn)M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以M為△ABC的重心，如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，則M為AD的三等分點(diǎn)且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－(eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).又點(diǎn)Q為BC邊上離C最近的一個(gè)四等分點(diǎn)，所以Q為CD的中點(diǎn)，所以eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AC,\s\up6(→))]＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\f(5,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(MC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，即eq\f(5,3)(eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(2,3)(－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))＝λ(eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(λ,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3λ,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＝\f(λ,4)，,\f(3λ,4)＝1，))解得λ＝eq\f(4,3).創(chuàng)新性13．(2024·安徽馬鞍山模擬預(yù)測(cè))已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠BAC＝eq\f(π,6)，b＝1，c＝eq\r(3)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(m,2(m＋n))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2n,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值為__________.解析：eq\f(\r(21),7)在△ABC中，因?yàn)椤螧AC＝eq\f(π,6)，b＝1，c＝eq\r(3)，如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，再延長(zhǎng)AC到點(diǎn)M，使得AM＝2AC，可得eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(m,2(m＋n))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2n,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(m,m＋n)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(AM,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)＝1，所以M，N，D三點(diǎn)共線，連接MN，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|的最小值，即為△AMN中MN邊上的高d，在△AMN中