專題21空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)精講精練）1.近幾年真題考點(diǎn)分布空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系近幾年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年全國(guó)乙（文科），第16題,5分已知三棱錐外接求半徑，求線段長(zhǎng)2023年全國(guó)乙（文科），第19題,12分1、證明線面平行；2、求三棱錐的體積；2023年全國(guó)乙（理科），第3題,5分2023年全國(guó)乙（文科），第3題,5分通過(guò)三視圖求幾何體的表面積2023年全國(guó)乙（理科），第8題,5分圓錐體積相關(guān)計(jì)算2023年全國(guó)乙（理科），第9題,5分證明面面垂直，由二面角求線段長(zhǎng)，從而求線面角的正切值2023年全國(guó)乙（理科），第19題,12分1、證明線面平行；2、證明面面垂直；3、求二面角2023年全國(guó)甲（文科），第10題,5分證明線面垂直，求三棱錐的體積2023年全國(guó)甲（文科），第16題,5分正方體的外接球、棱切球問(wèn)題2023年全國(guó)甲（文科），第18題,12分1、證明面面垂直；2、求四棱錐的高2023年全國(guó)甲（理科），第11題,5分四棱錐表面積有關(guān)計(jì)算余弦定理解三角形2023年全國(guó)甲（理科），第15題,5分正方體的棱切球問(wèn)題2023年全國(guó)甲（理科），第18題,12分1、已知點(diǎn)面距，證明線面垂直，從而得到線線相等；2、已知平行線間的距離，求線面角的正弦值2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】1.本節(jié)內(nèi)容為高考?？純?nèi)容，常以選填題形式出現(xiàn)，偶爾會(huì)在解答題中考查證明共面問(wèn)題；2.考查判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；3.考查基本事實(shí)的應(yīng)用以及共面的條件；【備考策略】1.了解平面的含義,理解空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系及符號(hào)表示；2.能用基本事實(shí)和定理判斷或證明位置關(guān)系；3.會(huì)求異面直線所成的角；【命題預(yù)測(cè)】1.考查判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；2.考查基本事實(shí)的應(yīng)用以及共面的條件；知識(shí)講解一、平面的基本事實(shí)三個(gè)基本事實(shí)的“圖形語(yǔ)言”“文字語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面A,B,C不共線?A,B,C確定平面α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l,B∈l,A∈α,B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α,P∈β?α∩β=l,P∈l三個(gè)推論:推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.二、空間中線、面之間的位置關(guān)系1.空間中兩條直線的位

置關(guān)系共面2.空間中直線與平面的

位置關(guān)系直線在平面內(nèi):直線與平面有3.空間中兩個(gè)平面的

位置關(guān)系平行平面:兩個(gè)平面唯一性定理:(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.三、異面直線1.異面直線過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.2.異面直線所成的角過(guò)空間任一點(diǎn)分別作異面直線與的平行線與,那么直線與所成的銳角或直角叫作異面直線與所成的角,其范圍是.

四、直線與直線平行基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.

等角定理:空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法(1)直接法:證明直線平行或相交,從而證明線共面.(2)納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).(3)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.2.證明點(diǎn)共線問(wèn)題的常用方法(1)基本性質(zhì)法:一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)基本性質(zhì)證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.(2)納入直線法:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.一、空間中位置關(guān)系的判斷空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷,常常需要進(jìn)行文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換和交替使用,特別要注意“構(gòu)造法”的運(yùn)用,通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體等模型,化抽象為直觀,快速判斷.二、異面直線的判定方法(1)定理:平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.(2)反證法:先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩條直線平行或相交,由假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理,導(dǎo)出矛盾,從而否定假設(shè),肯定兩條直線異面.求異面直線所成角的步驟一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.二證:證明所作的角是異面直線所成的角.三求:解三角形,求出所作的角.常用平移法來(lái)作異面直線所成的角:①利用圖中已有的平行線平移;②利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;③補(bǔ)形平移.由于異面直線所成的角α的取值范圍是0°<α≤90°,故若所作的角為鈍角,則其補(bǔ)角為異面直線所成的角.確定截面的主要依據(jù):(1)平面的四個(gè)公理及推論;(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì);(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì);(4)球的截面的性質(zhì).考點(diǎn)一、基本事實(shí)的應(yīng)用1．如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）

A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面 B．C． D．四邊形MNPQ為梯形【答案】D【分析】由基本事實(shí)4即可判斷A，由等角定理即可判斷，由三角形的中位線即可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由條件可得，,，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)等角定理，得，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由等角定理，知，，所以，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由三角形中位線的性質(zhì)知，，，，所以,，所以四邊形為平行四邊形，故D不正確．2．如圖,已知空間四邊形,,分別是,的中點(diǎn),,分別是,上的點(diǎn),且,.求證:(1),,,四點(diǎn)共面;(2)直線,,共點(diǎn).【詳解】(1)連接,,如圖所示.∵,分別是,的中點(diǎn),∴.又∵,,∴,∴,∴,,,四點(diǎn)共面.(2)易知與直線不平行,但共面,設(shè),∴平面,平面.又∵平面平面,∴,∴直線,,共點(diǎn).3．如圖所示,已知在正方體中,,分別是,的中點(diǎn).求證:(1),,,四點(diǎn)共面;(2),,三線共點(diǎn).【詳解】(1)如圖,連接,,.∵,分別是,的中點(diǎn),∴.又∵,∴,∴,,,四點(diǎn)共面.(2)∵,,∴與必相交,設(shè)交點(diǎn)為,由直線,平面,得平面.同理平面.又平面平面,∴直線,∴,,三線共點(diǎn).1．（2023屆吉林省適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）在長(zhǎng)方體中，直線與平面的交點(diǎn)為為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)異不共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】C【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知四點(diǎn)共面且是異面直線,再根據(jù)與、面、面的位置關(guān)系知在面與面的交線上,同理判斷,即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?則四點(diǎn)共面.因?yàn)?則平面,又平面,則點(diǎn)在平面與平面的交線上,同理,也在平面與平面的交線上,所以三點(diǎn)共線;從而四點(diǎn)共面,都在平面內(nèi)，而點(diǎn)B不在平面內(nèi)，所以四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；三點(diǎn)均在平面內(nèi)，而點(diǎn)A不在平面內(nèi)，所以直線AO與平面相交且點(diǎn)O是交點(diǎn)，所以點(diǎn)M不在平面內(nèi)，即四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，且，所以為平行四邊形，所以共面，所以四點(diǎn)共面.2．在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】對(duì)于B，證明即可；而對(duì)于，首先通過(guò)輔助線找到其中三點(diǎn)所在的平面，然后說(shuō)明另外一點(diǎn)不在該平面中即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，如下圖，點(diǎn)、、、確定一個(gè)平面，該平面與底面交于，而點(diǎn)不在平面上，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)，連結(jié)底面對(duì)角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點(diǎn)共面對(duì)于選項(xiàng)C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)不在該平面內(nèi)，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點(diǎn)不在直線上，故、、、四點(diǎn)不共面．3．（2023年湖北省階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，分別在BC，CD上，且則下面幾個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）

①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】推導(dǎo)出，，從而，由此能證明四點(diǎn)共面；，從而直線與直線必相交，設(shè)交點(diǎn)為，證明點(diǎn)在直線上．【詳解】如圖所示，

，分別為，的中點(diǎn)，∴，，分別在，上，且，∴，，∴，則，，，四點(diǎn)共面，說(shuō)法①正確；∵，四邊形是梯形，不成立，說(shuō)法②錯(cuò)誤；若直線與直線交于點(diǎn)，則由，平面，得平面，同理平面，又平面平面，∴則，，三點(diǎn)共線，說(shuō)法③正確；說(shuō)法中正確的有2個(gè).考點(diǎn)二、空間位置關(guān)系的判斷1．（2023年河南名校聯(lián)考模擬數(shù)學(xué)試題）已知空間三條直線,,.若與垂直,與垂直,則（）A．與異面 B．與相交C．與平行 D．以上均有可能【答案】D【詳解】∵,,∴與既可以相交,也可以異面,還可以平行.2．如圖,兩個(gè)正方形,不在同一個(gè)平面內(nèi),點(diǎn),分別為線段,的中點(diǎn),則直線與的位置關(guān)系是（）A．相交B．平行C．異面D．不確定【答案】C【詳解】如圖,取的中點(diǎn),連接,,,則,又,∴,則,,,四點(diǎn)確定平面.又平面,平面,,平面,∴直線與是異面直線.3．已知平面，直線、，若，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用線面的位置關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，且，則或，即“”“”；若，且，則或、異面，則“”“”.因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.4．（2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（遼寧卷））已知，表示兩條不同直線，表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．1．（2023年廣東省模擬數(shù)學(xué)試題）已知a，b為不同的兩條直線，α，β為不同的兩個(gè)平面，則的一個(gè)充分條件是（

）A．，B．，C．，且D．，，【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)，結(jié)合充分條件，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若，，則直線與平行、相交或異面，所以A不符合題意；對(duì)于B中，若，，則直線與平行或異面，所以B不符合題意；對(duì)于C中，若，，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得，所以“，且”是“”的充分條件，所以C符合題意；對(duì)于D中，若，，，則直線與平行或異面，所以D不符合題意.2．若直線和是異面直線,在平面內(nèi),在平面內(nèi),是平面與平面的交線,則下列結(jié)論正確的是（）.A.與,都不相交B.與,都相交C.至多與,中的一條相交D.至少與,中的一條相交【答案】D【詳解】(法一)由于與直線,分別共面,故直線與,要么都不相交,要么至少與,中的一條相交.若∥,∥,則∥,這與,是異面直線矛盾.故至少與,中的一條相交.(法二:模型法)如圖(1),與是異面直線,與平行,與相交,故A,B不正確;如圖(2),與是異面直線,,都與相交,故C不正確.圖(1)圖(2)3．若,是異面直線,,是異面直線,則（）A． B．是異面直線C．相交 D．平行或相交或異面【答案】D【詳解】,,的位置關(guān)系有下面三種情況,如圖,由圖形分析可知應(yīng)選D.4．（2023年內(nèi)蒙古自治區(qū)模擬數(shù)學(xué)試題）已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若，，則③若，，且，則④若，，且，則其中正確的命題是（）A．①③ B．①② C．①④ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)線線、線面和面面位置關(guān)系的有關(guān)知識(shí)對(duì)各個(gè)命題進(jìn)行分析,由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于①,若,則分別為一個(gè)法向量，由,所以①正確；對(duì)于②,若,則可能是異面直線，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若,則,由于,所以,所以③正確；對(duì)于④，若，，且,此時(shí)無(wú)法判斷是否與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；故④錯(cuò)誤；考點(diǎn)三、異面直線所成的角1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.2．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．3．《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，若都是直角圓錐底面圓的直徑，且，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件證明，得到或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.在中利用余弦定理計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，所以，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角.設(shè)圓的半徑為1，則.因?yàn)椋?在直角中，，得.所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.1．在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如圖，連接，，，利用余弦定理可求的值，從而可得直線與直線所成角大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連接，，，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因?yàn)闉殇J角，故，2．（2023年浙江省模擬數(shù)學(xué)試題）在正方體中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可得異面直線與所成角為（或的補(bǔ)角），在中利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，則為平行四邊形，可得，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，所以，故異面直線與所成角為（或的補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，在中，由余弦定理，所以異面直線與所成角的余弦值是.3．已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點(diǎn)，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設(shè)正三棱柱的各棱長(zhǎng)為,則，設(shè)直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)四、空間幾何體的截面問(wèn)題1．（2023年貴州模擬數(shù)學(xué)試題）在正三棱柱中,,,,分別在,上,且,則過(guò),,三點(diǎn)的平面截此棱柱所得截面的面積為（）A．4 B．26 C．6 D．210【答案】C【詳解】如圖,連接,易知,過(guò),,三點(diǎn)的截面的面積,即等腰梯形的面積.因?yàn)檎庵?,,所以,,,所以等腰梯形的面積為.2．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面圖形周長(zhǎng)為（

）A．6 B．10 C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接,則,取的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于，連接交于點(diǎn)，連接，作出截面圖形，然后再分別求出各邊長(zhǎng)，從而得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連接,則,取的中點(diǎn)，連接，則所以,則直線平面延長(zhǎng)交于，連接交于點(diǎn)，連接,則為的中點(diǎn).則平面截該正方體所得的截面圖形為由條件可得,則,則,取的中點(diǎn)，連接，則，所以所以,則則所以截面圖形周長(zhǎng)為3．（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·押題卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，該截面將正方體分成上、下兩部分，則分成的上、下兩部分幾何體的體積比為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意分析可得過(guò)點(diǎn)，，的截面即為截面，截面將正方體分成上、下兩部分，其中下部分為三棱臺(tái)，結(jié)合臺(tái)體的體積公式分析運(yùn)算.【詳解】如圖，連接，，∵，分別為棱，的中點(diǎn)，則，又∵，且，則為平行四邊形，∴，可得，故則過(guò)點(diǎn)，，的截面即為截面，截面將正方體分成上、下兩部分，其中下部分為三棱臺(tái)，且三棱臺(tái)的高為．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，可得正方體的體積，三棱臺(tái)的體積，故分成的上、下兩部分幾何體的體積比為．1．如圖，在三棱柱中，過(guò)的截面與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用棱柱，棱臺(tái)的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可知平面與棱柱上，下底面分別交于，，則∥，，顯然是三棱臺(tái)，設(shè)的面積為1，的面積為S，三棱柱的高為h，，解得，由，可得.2．在正方體中，棱長(zhǎng)為3，E為棱上靠近的三等分點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖，在正方體中，面面，面面，面面，又四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.又，在等腰梯形中，過(guò)作，.3．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．（2023年貴州省文化水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 B．兩條平行直線一定能確定一個(gè)平面C．兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)則一定平行 D．若直線不在平面內(nèi)，則與無(wú)交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)空間點(diǎn)線面關(guān)系辨析即可；【詳解】選項(xiàng)A:不共線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B:兩條平行直線一定能確定一個(gè)平面，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C:兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)可以平行或者異面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:若直線不在平面內(nèi)，則與無(wú)交點(diǎn)或者有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；2．下列命題中正確的命題為.①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則三點(diǎn)共線；②若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面；③若直線異面，異面，則異面；④若，則.【答案】①②【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線和共面的性質(zhì)、異面直線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?，所以平面，所以，同理，，故三點(diǎn)共線，①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以可以確定一個(gè)平面，因?yàn)樗?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以或，又，所以不成立，所以，即這四條直線共面，所以②正確；對(duì)于③，直線異面，異面，但是平行，所以③錯(cuò)誤，如下右圖；對(duì)于④，，但，所以④錯(cuò)誤，如下左圖.3．（2023年湖南省模擬數(shù)學(xué)試題）下列命題正確的為（

）①若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P、Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；②若三條直線a，b、c互相平行且分別交直線于A、B、C三點(diǎn)，則這四條直線共面；③已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面；④已知a，b，c為三條直線，若，，則.A．①③ B．②③ C．②④ D．①②【答案】D【分析】根據(jù)基本事實(shí)3可判斷①的正誤，利用基本事實(shí)及3個(gè)推論可判斷②的正誤，根據(jù)可能的反例可判斷③④的正誤.【詳解】對(duì)于①，設(shè)平面平面，因?yàn)?，平面，所以，同理，，故、、三點(diǎn)共線，①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，可以確定一個(gè)平面，因?yàn)?，，，，所以，所以，又，所?同理，也可以確定一個(gè)平面，且，，因?yàn)?，故重合，故這四條直線共面，所以②正確；對(duì)于③，直線、異面，、異面，則，可能平行、相交或異面，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，，則，可能平行、相交或異面，所以④錯(cuò)誤.4．已知是兩個(gè)不同的平面，直線，且，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，結(jié)合必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：當(dāng)直線，且，，則，或，與相交，故充分性不成立，當(dāng)直線，且，時(shí)，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分條件.5．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國(guó)卷II））在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.6．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，則所求角為，易得，因此．平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．7．（2023年江蘇省模擬數(shù)學(xué)試題）正方體的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)，，分別是，，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所截面的周長(zhǎng)為.【答案】【分析】先作出平面截正方體所得截面，進(jìn)而求得該截面的周長(zhǎng).【詳解】連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，則過(guò)Q作，交于，交于，則，過(guò)K作，交于，連接，則六邊形即為平面截正方體所得截面，又均為棱的中點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為.8．（2023屆云南省教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題）如下圖所示，在正方體中，如果點(diǎn)E是的中點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)、B、E的截面圖形為（

）A．三角形

B．矩形 C．正方形 D．菱形【答案】D【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，如圖即為過(guò)點(diǎn)截正方體所得的截面圖形，由題意可知：且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)榍?，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所?所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所以平行四邊形為菱形?．如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為菱形，從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱，∴故四邊形為平行四邊形，所以，又，∴，同理，且，所以過(guò)，，三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面為菱形，所以該菱形的面積為.10．正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得的截面面積為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】作出示意圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再計(jì)算其面積.【詳解】如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由且，得是平行四邊形，則且，又且，得且，則共面，故平面截該正方體所得的截面為.又正方體的棱長(zhǎng)為2，，，，，故的面積為.11．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ））如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則（）A．，且直線是相交直線B．，且直線是相交直線C．，且直線是異面直線D．，且直線是異面直線【答案】B【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過(guò)作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，．．【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．【能力提升】1．（2023年河北省模擬數(shù)學(xué)試題）一個(gè)正四棱錐的平面展開(kāi)圖如圖所示，其中E，F(xiàn)，M，N，Q分別為，，，，的中點(diǎn)，關(guān)于該正四棱錐，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①直線與直線是異面直線；②直線與直線是異面直線；③直線與直線MN共面；④直線與直線是異面直線.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】作出直觀圖，根據(jù)直線共面的判定與性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【詳解】根據(jù)展開(kāi)圖，復(fù)原幾何體，如下圖所示：對(duì)②，因?yàn)榉謩e為，，，的中點(diǎn)，所以，又，則，故四點(diǎn)共面，故直線與直線是共面直線，①錯(cuò)誤；對(duì)②，在過(guò)四點(diǎn)的平面外，故直線與直線是異面直線，②正確；對(duì)③，N，Q重合，故直線與直線共面，③正確；對(duì)④，在過(guò)四點(diǎn)的平面外，故直線與直線是異面直線，④正確；綜上有②③④正確.2．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個(gè)命題正確的是（

）①若，，則；

②若，，則；③若，，則；

④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】D【分析】舉例說(shuō)明判斷①②；利用線線、線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷③④作答.【詳解】長(zhǎng)方體中，平面為平面，直線為直線，如圖，當(dāng)直線為直線時(shí)，滿足，，而，①不正確；當(dāng)直線為直線時(shí)，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線，如圖，因，則，而，則，又，是相交直線，所以，③正確；因，過(guò)直線作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，所以給定命題正確的是③④.3．如圖正方體，棱長(zhǎng)為1，P為中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，為四邊形 B．當(dāng)時(shí)，為等腰梯形C．當(dāng)時(shí)，為六邊形 D．當(dāng)時(shí)，的面積為【答案】C【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項(xiàng)，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時(shí)，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時(shí)，如下圖3，是五邊形，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為.4．在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線，的交點(diǎn)，若平面平面，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，利用平面的基本性質(zhì)可得直線即為直線，然后利用正方體的性質(zhì)可得，即得.【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，∵平面，平面，平面平面，∴，故直線即為直線，取的中點(diǎn)，連接，又點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，即.5．如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，、分別為棱、的中點(diǎn)，則平面截該正方體所得截面的面積為.【答案】/【分析】連接、、，分析可知平面截正方體所得截面為梯形，計(jì)算出梯形的面積，即可得解.【詳解】連接、、，如下圖所示：在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點(diǎn)，則且，，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，設(shè)平面平面，則，因?yàn)闉槠矫媾c平面的一個(gè)公共點(diǎn)，且，，故直線與直線重合，且，故梯形為截面截正方體所得截面，過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作，，垂足點(diǎn)分別為、，因?yàn)?，同理可得，則梯形為等腰梯形，因?yàn)?，，，則，所以，，在平面內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，所以，，則，，因此，截面面積為.6．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；7．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且P到平面的距離等于線段PM的長(zhǎng)度，則線段長(zhǎng)度的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義，可知點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，然后根據(jù)空間中兩點(diǎn)的距離來(lái)求解.【詳解】由P到平面的距離等于線段的長(zhǎng)度，可知點(diǎn)是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線.以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，設(shè)點(diǎn)的方程為：當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度最小為8．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面平面，則平面截該正方體所得截面的面積為（

）.A．B．C． D．【答案】B【分析】如圖1，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，則，，所以，故，在同一平面內(nèi)，然后利用面面平行的判定定理可證得平面平面，所以平面截該正方體所得截面為平面，然后在圖2中的圖形計(jì)算即可.【詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，則，，所以，故，在同一平面內(nèi)，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，，，，等腰梯形如圖2，過(guò)，作的垂線，垂足分別為，，則四邊形為矩形，所以，故所得截面的面積為.9．已知長(zhǎng)方體中，，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，過(guò)的平面與DM，都平行，則平面截長(zhǎng)方體所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)作交延長(zhǎng)線于，為中點(diǎn)，連接，利用長(zhǎng)方體性質(zhì)及線面平行的判定證面、面，即面為平面，再延長(zhǎng)交于，連接，利用線線、線面的性質(zhì)確定面為平面截長(zhǎng)方體所得截面，最后延長(zhǎng)分別交于一點(diǎn)并判斷交于同一點(diǎn)，根據(jù)已知結(jié)合余弦定理、三角形面積公式及求截面面積即可.【詳解】過(guò)作交延長(zhǎng)線于，則，若為中點(diǎn)，連接，而M為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方體中，而且面，由面，則面，由面，則面，所以面即為平面，延長(zhǎng)交于，易知：為中點(diǎn)，則且，又且，故為平行四邊形，則且，故共面，連接，即面為平面截長(zhǎng)方體所得截面，延長(zhǎng)分別交于一點(diǎn)，而在中都為中位線，由，，則，故交于同一點(diǎn)，易知：△為等腰三角形且，，則，可得，又.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)及線面平行的判定確定平面，再根據(jù)平面的基本性質(zhì)找到平面截長(zhǎng)方體所得截面，并應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式及相似比求截面面積.10．為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】②③【分析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，以坐