專題26立體幾何大題訓(xùn)練（理科）題型一、三棱錐的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．2．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．3．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。?．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)頂?shù)（全國(guó)卷II））如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．5．如圖，在三棱錐中，，，記二面角的平面角為．(1)若，，求三棱錐的體積；(2)若M為BC的中點(diǎn)，求直線AD與EM所成角的取值范圍．6．（2023屆貴州省聯(lián)合考試（五）理科數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角為，求的值．題型二、直三棱柱的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2022年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?3．（2022年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．5．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點(diǎn)N，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.6．如圖，在三棱柱中，，，且，底面，為中點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)，若，寫出的值（不需寫過(guò)程）.7．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱，，且M，N分別為BB1，AC的中點(diǎn)，連接MN．(1)證明：平面；(2)若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小．題型三、斜三棱柱的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.2．（2023屆廣東省二模數(shù)學(xué)試題）在三棱柱中，，，.(1)證明:；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值.3．在三棱柱中中，為中點(diǎn)，平面平面.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.題型四、三、四棱臺(tái)的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2023屆浙江?。ǘ＃?shù)學(xué)試題）如圖，在三棱臺(tái)中，.(1)求證：平面平面；(2)若四面體的體積為2，求二面角的余弦值.2．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）如圖，四棱臺(tái)的下底面和上底面分別是邊和的正方形，側(cè)棱上點(diǎn)滿足.(1)證明：直線平面；(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.3．如圖，在四棱臺(tái)中，，，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值．4．如圖，在三棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．5．（2023年浙江省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，均為銳角.(1)求證：；(2)若異面直線與所成角正弦值為，四棱錐的體積為1，求二面角的平面角的余弦值.6．（2023年浙江省教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱臺(tái)中，三棱錐的體積為，的面積為，，且平面．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值．題型五、四棱錐的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．2．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．3．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．4．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)高考試題（山東））如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．5．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.6．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)考試題文檔版（海南卷））如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為．（1）證明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為上的點(diǎn)，QB=，求PB與平面QCD所成角的正弦值．7．（2023屆黑龍江省模擬考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，△PAD為等邊三角形，平面平面ABCD，．(1)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；(2)E為線段PC上一點(diǎn)，若直線AE與平面ABCD所成的角的正弦值為，求平面ADE與平面ABCD夾角的余弦值．8．（2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷））如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底面，是的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．9．（2023屆廣東省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，，且，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，．(1)證明：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若，求平面PAB與平面PBC夾角的余弦值．題型六、底面是平行四邊形的四棱柱的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．2．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．3．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．4．（2021年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．5．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．題型七、擺放不正的幾何體相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．

2．（2022年高考天津卷數(shù)學(xué)真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．3．（2023屆廣東省教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）如圖，三棱柱中，側(cè)面為矩形，且為的中點(diǎn)，．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．題型八、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．2．（2023屆安徽省、云南省、吉林省、黑龍江省適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形ABCD是圓柱底面的內(nèi)接四邊形，是圓柱的底面直徑，是圓柱的母線，E是AC與BD的交點(diǎn)，，．(1)記圓柱的體積為，四棱錐的體積為，求；(2)設(shè)點(diǎn)F在線段AP上，，求二面角的余弦值．3．（2022屆廣東省一模數(shù)學(xué)試題）如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于，的母線.(1)證明：平面DEF；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.4．（2023屆江蘇省二模數(shù)學(xué)試題）如圖，在圓臺(tái)中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．5．如圖，四邊形是一個(gè)半圓柱的軸截面，E，F(xiàn)分別是弧，上的一點(diǎn)，，點(diǎn)H為線段的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)G為線段上一動(dòng)點(diǎn).(1)試確定點(diǎn)G的位置，使平面，并給予證明；(2)求三棱錐的體積.5．如圖，已知AB是圓柱底面圓的一條直徑，OP是圓柱的一條母線．(1)求證：OA⊥PB；(2)若C底面圓上一點(diǎn)，且，，，，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．6．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．(1)證明：；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值；7．（2023屆湖北省模擬（二）數(shù)學(xué)試題）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，內(nèi)接于，為的一條弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.8．已知圓臺(tái)側(cè)面的母線長(zhǎng)為，母線與軸的夾角為，一個(gè)底面的半徑是另一個(gè)底面半徑的倍．（1）求圓臺(tái)兩底面的半徑；（2）如圖，點(diǎn)為下底面圓周上的點(diǎn)，且，求與平面所成角的正弦值．題型九、翻折圖形形成幾何體的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷））如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.2．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.3．如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．(1)求四棱錐的體積的最大值；(2)若棱的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．4．（2023屆重慶市適應(yīng)性月考（一）數(shù)學(xué)試題）如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.5．已知△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的三等分點(diǎn)，且，，沿MN將△AMN折起到的位置，使．(1)求證：平面MBCN；(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)D，使平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，設(shè)，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．6．（2023屆湖北省調(diào)研數(shù)學(xué)試題）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)．將沿EF翻折至，得到四棱錐，P為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若平面平面EFCB，求直線與平面BFP所成的角的正弦值．7．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進(jìn)行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點(diǎn)為F．(1)證明：平面ABC．(2)若，二面角D-AC-E為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．8．如圖1，在等邊中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，記.將△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)N為MC的中點(diǎn)．(1)當(dāng)EN∥平面MBD時(shí)，求λ的值；(2)試探究：隨著λ值的變化，二面角B-MD-E的大小是否改變？如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角的正弦值大小．題型十、其它幾何體的相關(guān)證明及角度問(wèn)題1．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．2．（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．3．（2018年全國(guó)卷Ⅲ理數(shù)高考試題）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．4．（2023屆廣東省一模數(shù)學(xué)試題）如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.5．如圖，在四棱錐E-ABCD中，，，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．6．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點(diǎn)，四邊形OBCH為正方形.(1)設(shè)平面平面，證明：；(2)設(shè)D為OH的中點(diǎn)，N是線段CD上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時(shí)，求MN的長(zhǎng).7．（20