第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年湖北省荊楚聯(lián)盟九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10題，每題3分，共30分．在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝22．（3分）2024年巴黎奧運(yùn)會，我國體育健兒頑強(qiáng)拼搏、追求卓越，取得了優(yōu)異的成績不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個數(shù)與實(shí)數(shù)b的取值有關(guān)4．（3分）將拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣35．（3分）下列事件為必然事件的是（）A．打開電視機(jī)，正在播放新聞 B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上 C．買一張電影票，座位號是奇數(shù)號 D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°6．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB′＝CB′，則∠C的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．24° D．28°7．（3分）如圖，線段AB是半圓O的直徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心的長為半徑作弧，兩弧交于M，作直線MN，交半圓O于點(diǎn)C，連接AC，BC，則BC的長是（）A． B．4 C．6 D．38．（3分）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣x）＝6009．（3分）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④二、填空題（共5題，每題3分，共15分）11．（3分）設(shè)方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2+x1x2的值為．12．（3分）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x，4x2，6x3，8x4，…，第n個代數(shù)式是．13．（3分）從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，水珠的豎直高度y（單位：m）與它距離噴頭的水平距離x（單位：m）2+4x+1，則噴出水珠的最大高度是m．14．（3分）如圖，在⊙O中，半徑OA，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝．15．（3分）正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AD，沿EF折疊正方形，使點(diǎn)A恰好落在邊CD的中點(diǎn)G處，若AB＝4，則BM＝．三、解答題（共9題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（7分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6＝0；（2）2x2﹣8x+3＝0．17．（7分）在一個不透明的袋子中分別裝有紅色、黃色、藍(lán)色的3個小球，除顏色外無其它差別．隨機(jī)摸出一個小球后，放回并搖均（1）“第一次摸出紅色小球”的概率是；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求“兩次摸到相同顏色小球”的概率．18．（7分）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，C（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．（1）以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）直接寫出以B，C1，B1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積；（3）在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點(diǎn)E，使得射線AE平分∠BAC，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．19．（7分）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處相交，∠QON＝30°，AO＝200m．如果火車行駛時，周圍200m以內(nèi)會受到噪聲的影響，居民樓是否會受到噪聲的影響？如果火車行駛的速度為72km/h，居民樓受噪聲影響的時間約為多少秒？（不考慮火車的長度，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）20．（7分）如圖，函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）若P是函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象上的點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且，AC，過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)D．（1）判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，，求劣弧的長．22．（7分）如圖，用一根120cm的鐵絲制作一個“日”字型矩形框架ABCD，AB的長不超過AD的長（單位：cm），AD的長為y（單位：cm），所圍成的矩形框架ABCD的面積為S（單位：cm2）．（1）直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）若所圍成的矩形框架ABCD的面積S為504cm2，求出x的值；（3）當(dāng)x的值是多少時，矩形框架ABCD面積S最大？最大面積是多少？23．（7分）綜合探究：在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜180°），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）如圖1，若BC交AD于點(diǎn)O，延長線交DE于點(diǎn)P．求證：PC＝PE．（2）如圖2，延長EC交BD于點(diǎn)M，判斷M是否為線段BD的中點(diǎn)（3）如圖3，EC與BD，AD分別交于點(diǎn)M，時，若，求CN的長．24．（7分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，PM∥y軸，交直線BC于點(diǎn)M．（1）求a，b的值；（2）如圖，若點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)線段PM長度最大時；（3）點(diǎn)Q是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m+2，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N．設(shè)以點(diǎn)P，M，N①直接寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出當(dāng)S隨m的增大而增大時m的取值范圍．25．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+ax﹣6a與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求A，B，C的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P是第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)D恰好在直線x＝1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)（點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合），連接AQ，BN∥AQ交y軸于點(diǎn)N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動過程中，求其值；若變化

2024-2025學(xué)年湖北省荊楚聯(lián)盟九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCABDCACBA一、選擇題（共10題，每題3分，共30分．在每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（3分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2【解答】解：∵x2+2x+2＝0，∴（x+1）8＝0，則x+1＝8，解得x1＝x2＝﹣4，故選：C．2．（3分）2024年巴黎奧運(yùn)會，我國體育健兒頑強(qiáng)拼搏、追求卓越，取得了優(yōu)異的成績不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形；B、是中心對稱圖形；C、不是中心對稱圖形；D、是中心對稱圖形．故選：C．3．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個數(shù)與實(shí)數(shù)b的取值有關(guān)【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣2）＝b2+4＞5，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．4．（3分）將拋物線y＝2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3 C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣3【解答】解：將拋物線y＝2x2向上平移6個單位長度，再向右平移2個單位長度2+3，故選：B．5．（3分）下列事件為必然事件的是（）A．打開電視機(jī)，正在播放新聞 B．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上 C．買一張電影票，座位號是奇數(shù)號 D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°【解答】解：A、打開電視機(jī)，是隨機(jī)事件；B、擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，是隨機(jī)事件；C、買一張電影票，是隨機(jī)事件；D、任意畫一個三角形，是必然事件；故選：D．6．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，且AB′＝CB′，則∠C的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．24° D．28°【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴∠AB′B＝∠ABB′，AB′＝AB，∵AB′＝CB′，∴∠C＝∠CAB′，∴∠ABB′＝2∠C，，∵∠BAC＝108°，∴∠C+∠ABB′＝72°，∴∠C+5∠C＝72°，∴∠C＝24°，故選：C．7．（3分）如圖，線段AB是半圓O的直徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心的長為半徑作弧，兩弧交于M，作直線MN，交半圓O于點(diǎn)C，連接AC，BC，則BC的長是（）A． B．4 C．6 D．3【解答】解：如圖，連接OC．根據(jù)作圖知CE垂直平分AO，∴AC＝OC，AE＝OE＝2，∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝4，∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝5，即AB＝AO+BO＝8，∵線段AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得＝＝4，故選：A．8．（3分）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為x米，列方程為（）A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣x）＝600【解答】解：依題意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．故選：C．9．（3分）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【解答】解：由題意可知，AB＝37m，設(shè)主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝，在RtADO中，AD2+OD8＝OA2，∴（）8+（R﹣7）2＝R4，解得R＝≈28．故選：B．10．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論①b2＞4ac，②abc＜0，③2a+b﹣c＞0（）A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④【解答】解：①∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞2，即b2＞4ac，所以①正確；②由二次函數(shù)圖象可知，a＜2，b＜0，∴abc＞0，故②錯誤；③∵對稱軸：直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+b﹣c＝4a﹣c，∵a＜0，6a＜0，c＞0，﹣c＜6，∴2a+b﹣c＝4a﹣c＜3，故③錯誤；∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線上橫坐標(biāo)為﹣3和3的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，∵x＝﹣3時，∴x＝1時，故④正確，故選：A．二、填空題（共5題，每題3分，共15分）11．（3分）設(shè)方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2+x1x2的值為﹣1．【解答】解：∵x1，x2是方程x3﹣2x﹣3＝8的兩根，∴x1+x2＝7，x1x2＝﹣5，且Δ＝4+12＝16＞0．∴x8+x2+x1x5＝2+（﹣3）＝﹣8，故答案為：﹣1．12．（3分）按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x，4x2，6x3，8x4，…，第n個代數(shù)式是2nxn．【解答】解：∵2x，4x6，6x3，2x4，…，∴第n個代數(shù)式是2nxn，故答案為：5nxn．13．（3分）從噴水池噴頭噴出的水珠，在空中形成一條拋物線，如圖所示，水珠的豎直高度y（單位：m）與它距離噴頭的水平距離x（單位：m）2+4x+1，則噴出水珠的最大高度是3m．【解答】解：∵y＝﹣2x2+7x+1＝﹣2（x﹣3）2+3，∴當(dāng)x＝2時，y有最大值為3，∴噴出水珠的最大高度是3m，故答案為：7．14．（3分）如圖，在⊙O中，半徑OA，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝26°．【解答】解：如圖所示，在優(yōu)弧，連接AD，∵半徑OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴，∵四邊形ACBED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ACB＝180°﹣∠D＝135°，∵∠ABC＝19°，∴∠BAC＝180°﹣19°﹣135°＝26°，故答案為：26°．15．（3分）正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AD，沿EF折疊正方形，使點(diǎn)A恰好落在邊CD的中點(diǎn)G處，若AB＝4，則BM＝．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∵G為CD的中點(diǎn)，∴DG＝CG＝2，如圖，作MK⊥BC于K，，由折疊的性質(zhì)可得：∠EGH＝∠A＝90°，HG＝AB＝4，AE＝EG，設(shè)AE＝EG＝x，則DE＝4﹣x，由勾股定理可得：DE2+DG3＝EG2，即（4﹣x）2+22＝x2，解得：，∴，，∵∠EGD+∠DEG＝∠EGD+∠NGC＝90°，∴∠DEG＝∠NGC，∵∠D＝∠C＝90°，∴△EDG∽△GCN，∴，∴，∴，，∴，設(shè)BF＝FH＝y(tǒng)，則，∵∠FNH＝∠GNC，∠H＝∠C＝90°，∴△FNH∽△GNC，∴，即，∴，∴，，，∵M(jìn)為HG的中點(diǎn)，∴HM＝4，∴，∵∠FNH＝∠MNK，∠H＝∠MKN＝90°，∴△FNH∽△MNK，∴，即，∴，，∴，∴，故答案為：．三、解答題（共9題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（7分）解方程：（1）x2﹣5x﹣6＝0；（2）2x2﹣8x+3＝0．【解答】解：（1）由題意得，（x﹣6）（x+1）＝8，x﹣6＝0或x+7＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1；（2）3x2﹣8x+4＝0，∴a＝2，b＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×8×3＝40，∴，解得，．17．（7分）在一個不透明的袋子中分別裝有紅色、黃色、藍(lán)色的3個小球，除顏色外無其它差別．隨機(jī)摸出一個小球后，放回并搖均（1）“第一次摸出紅色小球”的概率是；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求“兩次摸到相同顏色小球”的概率．【解答】解：（1）由題意可得：“第一次摸出紅色小球”的概率是，故答案為：；（2）列表可得：第一次第二次紅黃藍(lán)紅紅，紅黃，紅藍(lán)，紅黃紅，黃黃，黃藍(lán)，黃藍(lán)紅，藍(lán)黃，藍(lán)藍(lán)，藍(lán)由表格可得，共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，∴“兩次摸到相同顏色小球”的概率為．18．（7分）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）A，B，C（7，8），（2，8），（10，4），（5，4）．（1）以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C1，畫出△A1B1C1；（2）直接寫出以B，C1，B1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積；（3）在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點(diǎn)E，使得射線AE平分∠BAC，寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，畫出△A1B1C2；（2）以B，C1，B1，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積＝10×7﹣2××2×4﹣6×；（3）如圖，點(diǎn)E即為所求（答案不唯一），7）．19．（7分）如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處相交，∠QON＝30°，AO＝200m．如果火車行駛時，周圍200m以內(nèi)會受到噪聲的影響，居民樓是否會受到噪聲的影響？如果火車行駛的速度為72km/h，居民樓受噪聲影響的時間約為多少秒？（不考慮火車的長度，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）【解答】解：過點(diǎn)A作AB⊥MN，AB是火車在行駛的過程中，∵∠QON＝30°，AO＝200m，∴AB＝OA＝200×，∴居民樓會受到噪音的影響；∵OA＝200m，∴以A為圓心，OA為半徑作圓，則OA＝AD＝200（m），∵AB⊥OD，∴OB＝BD，∵OB＝＝100，∴OD＝2BO＝200（m），∵火車行駛的速度為72km/h＝20m/s，∴≈17.4（s）．答：居民樓受噪音影響的時間為17.3 s．20．（7分）如圖，函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）若P是函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3圖象上的點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣3，﹣6），令y＝0，則x2﹣8x﹣3＝0，解得：x5＝﹣1，x2＝2，∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴A（﹣1，0），4）；（2）由題意可得：，，∵△PAD的面積是△CAD的面積的2倍，∴，∴yP＝6，在y＝x2﹣3x﹣3中，令y＝66﹣2x﹣3＝8，解得：x＝1±，∵點(diǎn)P在第一象限，∴x＞0，∴x＝8+，即．21．（7分）如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且，AC，過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)D．（1）判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，，求劣弧的長．【解答】解：（1）直線CD與⊙O的位置關(guān)系為相切，理由如下：如圖，連接CO，∵，∴∠EAC＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴直線CD與⊙O的位置關(guān)系為相切；（2）連接OE，連接BE交OC于F，∵，∴∠COE＝∠BOC，∵OB＝OE，∴BE＝2EF，OF⊥BE，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∠CFE＝∠D＝∠DCF＝90°，∴四邊形DCFE為矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝7，∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝3，∴AE＝OA＝OE＝2，∴△AOE為等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∴，∴劣弧的長．22．（7分）如圖，用一根120cm的鐵絲制作一個“日”字型矩形框架ABCD，AB的長不超過AD的長（單位：cm），AD的長為y（單位：cm），所圍成的矩形框架ABCD的面積為S（單位：cm2）．（1）直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式（不要求寫出x的取值范圍）；（2）若所圍成的矩形框架ABCD的面積S為504cm2，求出x的值；（3）當(dāng)x的值是多少時，矩形框架ABCD面積S最大？最大面積是多少？【解答】解：（1）由題意可得：3x+2y＝120，∴；∴；（2）由題意可得，解得x1＝12，x2＝28，根據(jù)題意得，解得x≤24，∴x＝12；（3），由（2）可得：0＜x≤24，∴當(dāng)x＝20時，S的值最大6．23．（7分）綜合探究：在△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)β（0°＜β＜180°），點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．（1）如圖1，若BC交AD于點(diǎn)O，延長線交DE于點(diǎn)P．求證：PC＝PE．（2）如圖2，延長EC交BD于點(diǎn)M，判斷M是否為線段BD的中點(diǎn)（3）如圖3，EC與BD，AD分別交于點(diǎn)M，時，若，求CN的長．【解答】（1）證明：如圖1，連接AP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC＝AE，∠ACB＝∠E＝90°，∴∠ACP＝∠E＝90°，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴PC＝PE；（2）解：M是線段BD的中點(diǎn)．理由如下：如圖2，作DF∥BC交CM的延長線于F，則∠F＝∠BCM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠BCM＝∠AEC+∠MED＝90°，∴∠BCM＝∠MED＝∠F，∴DF＝DE＝BC，在△BMC和△DMF中，，∴△BMC≌△DMF（AAS），∴BM＝DM，∴M是線段BD的中點(diǎn)；（3）解：∵，∴設(shè)AC＝3a，則BC＝7a，∴，如圖3，令A(yù)C交BD于G，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AE＝AC＝3a，∠EAD＝∠BAC，∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∴△AEH∽△ABC，∴，∴，∴，，∵DA⊥AC，∴∠CAN＝∠EHN＝90°，∵∠ANC＝∠HNE，∴△ANC∽△HNE，∴，∴，∴AN＝a，在直角三角形ACN中，由勾股定理得：，作BK⊥DA交DA的延長線于K，則∠K＝∠ACB＝∠CAK＝90°，∴四邊形ACBK為矩形，∴BK＝AC＝3a，AK＝BC＝4a，∴DK＝AD+AK＝6a，在直角三角形BDK中，由勾股定理得：，∴，∴．24．（7分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，PM∥y軸，交直線BC于點(diǎn)M．（1）求a，b的值；（2）如圖，若點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)線段PM長度最大時；（3）點(diǎn)Q是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m+2，過點(diǎn)Q作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)N．設(shè)以點(diǎn)P，M，N①直接寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出當(dāng)S隨m的增大而增大時m的取值范圍．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的坐標(biāo)分別代入得：，解得：；（2）由（1）得拋物線表達(dá)式為y＝﹣x2+8x+3，∵拋物線y＝﹣x2+3x+3與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)x＝0時，得：y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC表達(dá)式為y＝kx+b，將點(diǎn)B，解得：，∴直線BC表達(dá)式為y＝﹣x+3，∵點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，交直線BC于點(diǎn)M，∴P（m，﹣m2+2m+3），M（m，∴，∵﹣1＜5，0＜m＜3，∴當(dāng)時，PM取得最大值；（3）①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為；理由如下：∵xQ＝m+4，∴，∴Q（m+6，﹣m2﹣2m+8），∴N（m，﹣m﹣2+3），﹣m+3），當(dāng)點(diǎn)Q在y軸右側(cè)時，m+2＞0，∴當(dāng)﹣8＜m＜0時，此時P在M下方，如圖1，∴PM＝﹣m+6﹣（﹣m2+2m+7）＝m2﹣3m，QN＝﹣m4﹣2m+3﹣（﹣m+4）＝﹣m2﹣m+2，此時高為：|xQ﹣xP|＝4，∴；當(dāng)0＜m＜1時，點(diǎn)P，如圖2，此時PM＝﹣m2+2m+7﹣（﹣m+3）＝﹣m2+6m，QN＝﹣m2﹣2m+6﹣（﹣m+1）＝﹣m2﹣m+5，此時高為：|xQ﹣xP|＝2，∴；當(dāng)1＜m＜3時，P在M上方，如圖7，此時PM＝﹣m2+2m+7﹣（﹣m+3）＝﹣m2+8m，QN＝﹣m+1﹣（﹣m2﹣8m+3）＝m2+m﹣2，此時高為：|xQ﹣xP|＝2，∴