7.1為什么要證明教學(xué)設(shè)計北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第7.1節(jié)《為什么要證明》。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過的幾何證明方法，結(jié)合實際案例，讓學(xué)生認(rèn)識到證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，為后續(xù)的幾何證明學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力、幾何直觀能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過探究證明的必要性，學(xué)生將學(xué)會運用邏輯推理進(jìn)行數(shù)學(xué)論證，發(fā)展空間觀念，并能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行建模。同時，課程強調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識：學(xué)生在進(jìn)入八年級之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的幾何知識，包括點、線、面、角、三角形、四邊形等基本概念，以及它們的性質(zhì)和關(guān)系。此外，學(xué)生對證明的基本概念也有所了解，例如公理、定理和推論。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：八年級的學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣參差不齊，部分學(xué)生對幾何證明可能感到枯燥乏味，但同時也表現(xiàn)出對探索和發(fā)現(xiàn)新知識的強烈興趣。他們的數(shù)學(xué)能力正在從計算為主向邏輯推理和證明能力轉(zhuǎn)變。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生既有善于通過直觀圖形理解概念的，也有偏好通過邏輯推理進(jìn)行論證的。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)證明時可能會遇到以下困難：

-理解證明的邏輯結(jié)構(gòu)，特別是如何從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論；

-構(gòu)建合適的證明方法，包括直接證明、反證法等；

-將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何證明問題；

-在證明過程中保持邏輯清晰，避免出現(xiàn)錯誤。這些挑戰(zhàn)需要教師通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略和方法來幫助學(xué)生克服。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第7.1節(jié)《為什么要證明》的相關(guān)教材或?qū)W習(xí)資料。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的幾何圖形圖片、證明方法的圖表，以及幾何證明相關(guān)視頻，以幫助學(xué)生直觀理解證明過程。

3.實驗器材：本節(jié)課不涉及實驗，無需準(zhǔn)備實驗器材。

4.教室布置：布置教室環(huán)境，設(shè)置分組討論區(qū)，準(zhǔn)備白板或黑板用于展示幾何圖形和證明過程。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

1.老師角色：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾何圖形的基本概念，接下來我們將進(jìn)入一個全新的學(xué)習(xí)領(lǐng)域——證明。請大家回憶一下，我們?yōu)槭裁葱枰C明？請談?wù)勀銈兊南敕ā?/p>

學(xué)生角色：老師，我覺得證明可以幫助我們更好地理解幾何圖形的性質(zhì)。

老師角色：非常好，今天我們就來探究“為什么要證明”。首先，請打開教材，找到第7.1節(jié)《為什么要證明》。

二、新課導(dǎo)入

1.老師角色：同學(xué)們，接下來，我們將通過以下步驟來探究這個問題：

a.回顧已學(xué)過的幾何證明方法；

b.分析證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性；

c.探討證明在解決實際問題中的應(yīng)用。

2.學(xué)生角色：好的，老師。

三、新課探究

1.回顧已學(xué)過的幾何證明方法

a.老師角色：首先，我們來回顧一下已學(xué)過的幾何證明方法。請同學(xué)們在小組內(nèi)討論，然后分享你們的討論成果。

b.學(xué)生角色：我們小組討論了公理、定理、推論等證明方法。

2.分析證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

a.老師角色：很好，現(xiàn)在請同學(xué)們思考：證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么重要性？請各小組派代表發(fā)言。

b.學(xué)生角色：證明可以幫助我們更好地理解幾何圖形的性質(zhì)，提高我們的邏輯思維能力。

3.探討證明在解決實際問題中的應(yīng)用

a.老師角色：那么，證明在解決實際問題中有什么應(yīng)用呢？請同學(xué)們結(jié)合生活實際舉例說明。

b.學(xué)生角色：例如，在建筑設(shè)計中，證明可以幫助工程師確保建筑結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

4.小組合作探究

a.老師角色：接下來，請同學(xué)們以小組為單位，完成以下任務(wù)：

-分析一個幾何問題，并嘗試用已學(xué)過的證明方法進(jìn)行證明；

-小組內(nèi)討論，共同解決遇到的問題；

-匯報小組的證明過程和結(jié)果。

b.學(xué)生角色：我們小組選擇了一個三角形內(nèi)角和定理的證明問題，通過討論和嘗試，我們找到了證明方法。

5.課堂小結(jié)

a.老師角色：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了“為什么要證明”。通過今天的探究，我們了解到證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，以及它在解決實際問題中的應(yīng)用。希望大家在今后的學(xué)習(xí)中，能夠靈活運用證明方法，提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

b.學(xué)生角色：謝謝老師，我們明白了證明的重要性，以后會更加努力地學(xué)習(xí)。

四、布置作業(yè)

1.老師角色：同學(xué)們，今天的作業(yè)是：

-復(fù)習(xí)第7.1節(jié)《為什么要證明》的內(nèi)容；

-完成教材中的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識。

2.學(xué)生角色：好的，老師，我們明白了。

五、教學(xué)反思

1.老師角色：今天的課，同學(xué)們積極參與，小組合作探究的效果不錯。在今后的教學(xué)中，我將更加注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和幾何直觀能力，讓他們在探究中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題。

2.學(xué)生角色：謝謝老師，我們會更加努力地學(xué)習(xí)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-幾何證明的歷史背景：介紹幾何證明的發(fā)展歷程，從古希臘的歐幾里得《幾何原本》到現(xiàn)代的公理化體系，讓學(xué)生了解幾何證明在數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要地位。

-幾何證明的哲學(xué)意義：探討幾何證明在哲學(xué)思想中的體現(xiàn)，如邏輯推理、形式化體系等，幫助學(xué)生從更深層次理解幾何證明的價值。

-幾何證明的應(yīng)用領(lǐng)域：介紹幾何證明在工程、建筑、物理、計算機科學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)識到幾何證明的實用性和廣泛性。

2.拓展建議：

-閱讀相關(guān)書籍：推薦學(xué)生閱讀《幾何原本》、《幾何證明的藝術(shù)》等書籍，深入了解幾何證明的歷史和理論。

-觀看教育視頻：推薦學(xué)生觀看幾何證明相關(guān)的教育視頻，如“幾何證明的奧秘”、“幾何證明的應(yīng)用”等，通過視頻加深對幾何證明的理解。

-參與數(shù)學(xué)競賽：鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，如全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽等，通過競賽鍛煉自己的證明能力。

-實踐操作：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行幾何證明的實踐操作，如制作幾何模型、進(jìn)行幾何實驗等，通過實際操作加深對幾何證明的理解。

-小組合作學(xué)習(xí)：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探究幾何證明問題，培養(yǎng)團(tuán)隊協(xié)作能力和溝通能力。

-撰寫數(shù)學(xué)論文：鼓勵學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)論文，探討幾何證明的相關(guān)問題，提高學(xué)生的研究能力和寫作能力。

-課外閱讀：推薦學(xué)生閱讀《數(shù)學(xué)之美》、《數(shù)學(xué)思維》等書籍，拓寬數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

-參加數(shù)學(xué)講座：組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)講座，邀請數(shù)學(xué)專家分享幾何證明的經(jīng)驗和心得，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

-利用網(wǎng)絡(luò)資源：指導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇、數(shù)學(xué)博客等，學(xué)習(xí)他人的證明方法，拓展自己的知識面。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

1.回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了第7.1節(jié)《為什么要證明》，我們一起探討了證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性，以及它在解決實際問題中的應(yīng)用。我們回顧了已學(xué)過的幾何證明方法，并通過小組合作探究，嘗試了將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何證明問題。

2.強調(diào)重點知識點：在本節(jié)課中，我們重點學(xué)習(xí)了以下知識點：

-幾何證明的基本概念，包括公理、定理、推論等；

-幾何證明的方法，如直接證明、反證法等；

-幾何證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性；

-幾何證明在解決實際問題中的應(yīng)用。

3.總結(jié)學(xué)習(xí)方法：為了更好地掌握幾何證明，我們需要做到以下幾點：

-理解證明的邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論；

-構(gòu)建合適的證明方法，提高證明能力；

-將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何證明問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

當(dāng)堂檢測：

1.選擇題：

（1）下列哪個選項是幾何證明的基本概念？

A.點、線、面

B.公理、定理、推論

C.角、三角形、四邊形

D.對稱、相似、全等

（2）以下哪種證明方法屬于直接證明？

A.反證法

B.歸納法

C.直接證明

D.演繹法

（3）下列哪個幾何問題適合用反證法進(jìn)行證明？

A.證明兩條平行線之間的距離相等

B.證明一個三角形是等邊三角形

C.證明一個四邊形是矩形

D.證明一個圓的直徑是半徑的兩倍

2.填空題：

（1）幾何證明的基本方法有________、________、________等。

（2）幾何證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性體現(xiàn)在________、________、________等方面。

3.簡答題：

請簡要說明幾何證明在解決實際問題中的應(yīng)用。

4.練習(xí)題：

（1）證明：在三角形ABC中，若AB=AC，則∠B=∠C。

（2）證明：若一個四邊形的對角線互相垂直，則該四邊形是矩形。典型例題講解1.例題一：在等腰三角形ABC中，底邊BC=10cm，腰AB=AC=13cm。求高AD的長度。

解答：作高AD⊥BC于點D，由于三角形ABC是等腰三角形，所以BD=DC=BC/2=5cm。在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理，AD的長度可以計算如下：

AD=√(AB^2-BD^2)

AD=√(13^2-5^2)

AD=√(169-25)

AD=√144

AD=12cm

2.例題二：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm。求斜邊AB的長度。

解答：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，斜邊AB的長度可以計算如下：

AB=√(AC^2+BC^2)

AB=√(6^2+8^2)

AB=√(36+64)

AB=√100

AB=10cm

3.例題三：在平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O。如果AO=5cm，OD=7cm，求對角線AC和BD的長度。

解答：由于ABCD是平行四邊形，所以對角線互相平分。因此，AC=2AO=2*5cm=10cm，BD=2OD=2*7cm=14cm。

4.例題四：在等腰三角形ABC中，底邊BC=12cm，頂角A=50°。求腰AB和AC的長度。

解答：由于三角形ABC是等腰三角形，所以底邊BC的中點M也是高AD的垂足。在直角三角形ABM中，∠BAM=90°，∠BAM=50°，所以∠ABM=90°-50°=40°。在直角三角形ABM中，根據(jù)正弦定理，AB的長度可以計算如下：

AB=BC/2*sin(∠ABM)

AB=12cm/2*sin(40°)

AB≈6cm*0.6428

AB≈3.85cm

由于AB=AC，所以AC也約等于3.85cm。

5.例題五：在三角形ABC中，已知AB=10cm，BC=6cm，∠B=40°。求AC的長度。

解答：在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理，AC的長度可以計算如下：

AC/BC=sin(∠A)/sin(∠B)

AC/6cm=sin(∠A)/sin(40°)

由于三角形ABC的內(nèi)角和為180°，所以∠A=180°-∠B-∠C。我們需要先求出∠C的值：

∠C=180°-∠B-∠A

∠C=180°-40°-∠A

將∠C的表達(dá)式代入正弦定理中，得到：

AC/6cm=sin(∠A)/sin(40°)

AC=6cm*sin(∠A)/sin(40°)

由于我們沒有∠A的具體值，無法直接計算AC的長度。但這個例題展示了如何使用正弦定理來求解三角形中的邊長，這是一個通用的方法。如果有了∠A的值，我們就可以計算出AC的確切長度。內(nèi)容邏輯關(guān)系①本文重點知識點：

-幾何證明的基本概念（公理、定理、推論）

-幾何證明的方法（直接證明、反證法）

-幾何證明在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性

-幾何證明在解決實際問題中的應(yīng)用

②關(guān)鍵詞：

-證明

-公理

-定理

-推論

-直接證明

-反證法

-幾何直觀

-邏輯推理

-數(shù)學(xué)建模

③重點句子：

-“證明是數(shù)學(xué)