n.i.i三角形的邊

夯實基礎篇

一、單選題：（每題3分，共18分）

1.下面是小明用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）

2.如圖給出的三角形有一部分被遮擋，則這個三角形可能是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

3.如圖所示，N84C的對邊是（）

A.BDB.DCC.BCD.AD

4.如圖，圖中二角形的個數(shù)有（）

5.五條線段的長度分別為1cm,5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三條線段為邊，可

以構(gòu)成（）個三角形.

A.4B.3C.2D.1

6.三角形的兩邊長分別為6cm和10cm,則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（）

A.17cmB.16cmC.4cmD.5cm

二、填空題：（每題3分，共12分）

7.圖中N4E。分別為△—中,一邊所對的角，在AAFO中，NA。是邊—,

組成的角.

8.一個三角形的三邊長分別為x、8、2,那么工的取值范圍是.

9.若（〃-3）2+|7-回=0,則以〃、〃為邊長的等腰三角形的周長為.

10.一個三角形的兩邊長分別是3和7,且第三邊長為奇數(shù)，這樣的三角形的周長最大值是

，最小值是?

三、解答題：（每題10分，共30分）

11.已知，ABC的三邊長為4，9,工.

（1）求A8C的周長的取值范圍；

（2）當.ABC的周長為偶數(shù)時,求x.

12.已知三角形的兩邊長為4和6,第三條邊長x最小.

（1）求x的取值范圍；

（2）當x為何值時，組成的三角形周長最大？最大值是多少？

13.已知”，仇c是；ABC的三邊長，若。=2。-1,c=a+5,且4ABe的周長不超過20cm,

求a范圍.

能力提升篇

一、單選題：（每題3分，共15分）

1.三角形的兩邊長分別是4和11,第三邊長為3+4〃?，則加的取值范圍在數(shù)軸上表示正確

的是（）

2.如果八b、c分別是三角形的三條邊，那么化簡,一。+4+|〃+。-4的結(jié)果是（）

A.-2cB.2hC.2a-2rD.1

3.已知“，b,c為../BC的三邊長八c滿足（8-Zf+lc-BkO,月.〃為方程卜―4|=2的解，

則ABC的周長為（）

A.6B.7C.6或2D.7或11

4.已知，關于x的不等式組-至少有三個整數(shù)解，且存在以3,45為邊的三角形,

2.V-1..7

則。的整數(shù)解有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

5.如圖，已知P是△ABC內(nèi)任一點，AB=12,BC=IO,4C=6,貝ij%+PB+PC的值一定

A.14B.15C.16D.28

二、填空題：（每題3分，共9分）

6.已知a,b,c是三角形的三邊長，化簡：\a-h-c\-Y\b-c-\-a\-\c-a-h\=_.

7.已知〃為整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是4〃+31,〃-13,6〃,則所有滿足條件的〃

值的和為.

x-r2y=ni+3

8.若二元一次方程組、的解人）的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這

x+y=2m

個等腰三角形的周長為7,則〃?的值為.

三、解答題：（每題12分，共24分）

9已知三角形的三邊長分別為mb,c,化簡:\a^b-c\-2\a-b-c\+\a+b+c\,

10.如圖，在，A4c中，點。在AC上，點夕在8。上，求證：AB+AC>BP+CP.

思維拓展篇

1.若三邊均不相等的三角形三邊八氏c滿足a（。為最長邊，c為最短邊），貝IJ稱

它為“不均衡三角形例如，一個三角形三邊分別為7,5,4,因為7-5>5-4,所以這個

三角形為“不均衡三角形

（1）以下4組長度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為（填序號）

①4cm,2cm>Icm（2）13cm,18cm,9cm③19cm,20cm,19cm@9cm,8cm,6cm

（2）已知”不均衡三角形”三邊分別為2*+2,16,2x-6（戈為整數(shù)）求文的值。

11.1.1三角形的邊

夯實基礎篇

一、單選題：（每題3分，共18分）

1.下面是小明用三根火柴組成的圖形，其中符合三角形概念的是（）

【分析】

根據(jù)三角形對邊的定義可知：NB4c的對邊是8C.

【詳解】

NB4C的對邊是BC.

故選C.

【點睛】

考查三角形中角的對邊的概念，解題關鍵是熟記其概念.

4.如圖，圖中三角形的個數(shù)有（）

A.6個B.8個C.10個D.12個

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題解析：以。為一個頂點的有ACBO、ACDO、△人80、不以。為頂點的三角形

有△CAD、bCBA、△8C。、ABAD,共有8個.

故選B.

5.五條線段的長度分別為1cm,5cm,6cm,8cm,13cm,以其中任意三條線段為邊，可

以構(gòu)成（）個三角形.

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用兩邊之和大于第三邊的原則來進行排列組合即可求解.

【詳解】

V1+5=6,1+6<8,1+8V13,

，構(gòu)成三角形的邊中沒有長度為1cm的線段，

?二在剩下的5cm,6cm,8cm,13cm中，構(gòu)成一:角形的組合有：5cm,6cm,8cm；6cm,8cm,

13cm,共計2種，

故選：C.

【點睛】

本題考查三角形的構(gòu)成條件的知識，注意：三角形的三邊滿足任意兩邊之和大于第三邊，任

意兩邊之差小于第三邊.

6.三角形的兩邊長分別為6cm和10cm,則下列長度的四條線段中能作為第三邊的是（）

A.17cmB.16cmC.4cmD.5cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關系可得10-60<10+6,再解不等式可得答案.

【詳解】

解：設三角形的第三邊為xcm,由題意可得：

10-6<x<10+6,

即4<x<16,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角形的三邊關系，解題的關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形

的兩邊差小于第三邊.

二、填空題：（每題3分，共12分）

7.圖中NAE。分別為△—中,一邊所對的角，在AAFO中，NAFZ）是邊—,

組成的角.

【答案】ADEABEADABAFED

【解析】

【詳解】

分析：根據(jù)三角形的有關概念解答即可.

詳解：NAEO分別為△AOE,法中A。，人8邊所對的角，在MFD中，NAFO是邊AF,

區(qū)>組成的角.

故答案為ADE,ABE,AD,AB,AF,ED.

點睛：本題考查了三角形的概念，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形

叫做三角形.組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰邊的公共端點叫做三角形的頂點.相鄰

兩條邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角.

8.一個三角形的三邊長分別為X、8、2,那么工的取值范圍是_________.

【答案】6<x<10

【解析】

【詳解】

試題解析：???三角形的三邊長分別為2,8,x,

.\8-2<x<8+2,

即6<x<IO.

9.若(〃-3)2+|7-切=0,則以。、b為邊長的等腰三角形的周長為.

【答案】17

【解析】

【分析】

先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出。、〃的值，再分情況討論求解即可.

【詳解】

V(?-3)2+|7-/?|=(),,??〃-3=0,7-b=0,解得。=3,b=l

①若。=3是腰長，則底邊為7,三角形的三邊分別為3、3、7,

V3+3<7,3、7不能組成二角形。

②若h=l是腰長，則底邊為3,三角形的三邊分別為7、7、3,能組成三角形，周長=7+7+3=17.

???以。、方為邊長的等腰三角形的周長為17.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)，以及三角形的三邊關系，難點在于要討論求

解.

10.一個三角形的兩邊長分別是3和7,且第三邊長為奇數(shù)，這樣的三角形的周長最大值是

,最小值是.

【答案】1915

【解析】

【分析】

記三角形的第三邊為。，先根據(jù)三角形的三邊關系確定c的取值范圍，進而可得三角形第三

邊的最大值與最小值，進一步即可求出答案.

【詳解】

解：記三角形的第三邊為c,則7—3VCV7+3,即4VCV10,

因為第三邊長為奇數(shù)，

所以三角形第三邊長的最大值是9,最小值是5,

所以三角形的周長最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；

故答案為：19,15.

【點睛】

木題考查了三角形的三邊關系與不等式組的整數(shù)解，屬于基礎題型，正確理解題意、掌握解

答的方法是關鍵.

三、解答題：（每題10分，共30分）

11.已知，.A3C的三邊長為4,9,x.

（1）求A8C的周長的取值范圍；

（2）當.ABC的周長為偶數(shù)時,求x.

【答案】（1）I8<A4BC的周長<26；（2）7,9或11.

【解析】

【分析】

（1）直接根據(jù)三角形的三邊關系即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)軸線為偶數(shù)，結(jié)合（1）確定周長的值，從而確定x的值.

【詳解】

解.：（1）的三邊長分別為4,9,X,

/.9-4<x<9+4,即5vxvl3,

.?.9十4+5<&3。的周長<9I4I13,

UP：18<A48C的周長<26；

（2）-.ABC的周長是偶數(shù),由⑴結(jié)果得.A8C的周長可以是20,22或24,

\x的值為7,9或11.

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第

三邊是解答此題的關鍵.

12.已知三角形的兩邊長為4和6,第三條邊長x最小.

（1）求x的取值范圍：

（2）當x為何值時，組成的三角形周長最大？最大值是多少？

【答案】（1）2<x<4；（2）x=4,14.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出第三條邊長x的取

值范圍.

（2）由（1）可知，當尸4時，三角形周長最大，據(jù)此求解即可.

【詳解】

解：⑴V6-4=2,6+4=10,并且第三條邊長x最小,

x<4

A2<x<4.

故答案為：254.

（2）當組成的三角形周長最大時，x取最大值，

即x=4,

，周長最大值是：6+4+4=14

【點睛】

本題考查了三角形的三邊關系，熟記性質(zhì)是解題的關鍵.

13.已知a,b,c是；A3C的三邊長，若。=2。-1,c=a+5,且&ABC的周長不超過20an,

求a范圍.

【答案】3<?<4

【解析】

【分析】

根據(jù)三邊關系以及題意得到關于。的不等式組，解不等式組得出。的取值.

【詳解】

（c^a+b

根據(jù)三角形三邊關系和題意得1八

[a+b+c<20

b=2a—\,c=a+5,

*a+5V2a-\+a

'[a+a+5+2a-\<20

解得3<a<4.

【點睛】

此題考查三角形的三邊關系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三

邊，建立不等式解決問題.

能力提升篇

一、單選題：（每題3分，共15分）

I.三角形的兩邊長分別是4和11,第三邊長為3+4〃?，則加的取值范圍在數(shù)軸上表示正確

的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

已知兩邊的長，第三邊應該大于任意兩邊的差，而小于任意兩邊的和，列不等式進行求解后

再進行判斷即可.

【詳解】

解：根據(jù)三角形的三邊關系，得

11-4<3+4/??<11+4,

解得1〈機V3.

故選：A.

【點睛】

此類求三角形第三邊的范圍的題，實際上就是根據(jù)三角形三邊關系定理列出不等式，然后解

不等式即可.

2.如果〃、b、c分別是三角形的三條邊，那么化簡c+4+|〃+c-司的結(jié)果是（）

A.-2cB.2bC.2a-2cD.1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關系可得〃+b>c,b+c>a,從而得出〃-<?+/?>（）,b+c-a>Of然后

根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可.

【詳解】

解：???〃、氏。分別是三角形的三條邊，

a+b>c,b+c>a,

/.?-c+Z?>0（〃+c-a>0,

|A—c+向++c—d

=a-c+b+b+c-a

=2b

故選B.

【點睛】

此題考查的是三角形三邊關系的應用和化簡絕對值，掌握三角形的三邊關系和絕對值的性質(zhì)

是解題關鍵.

3.已知。，b,c為,ABC的三邊長b,。滿足（b—2『+卜-3|=0,且。為方程上一4|=2的解，

則42c的周長為1）

A.6B.7C.6或2D.7或11

【答案】B

【解析】

【分析】

利用絕對值和偶次方的非負性分別求出伉c的值，再討論得出絕對值方程的解，通過三角

形三邊關系得出正確的4的值，進而求出AABC的周長.

【詳解】

解：:(b—2)2+|c-3|=0,

—2=0且c—3=0,

:.b=2、c=3,

:a為方程僅一4|=2的解，

/.x=2或x=6,

又c-Z?VaVc+A,即1V〃V5,

/.d=2,

則MNC的周長為2+2+3=7,

故選B.

【點睛】

本題主要考查絕對值和偶次方的非負性、三角形三邊關系以及解絕對值的方程.絕對值和偶

次方的非負性、通過三角形三邊關系得出。的值是解此類題關鍵.

4.已知，關于x的不等式組至少有三個整汰解，且存在以3,45為邊的三角形,

2X-1..7

則〃的整數(shù)解有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)不等式組至少有三個整數(shù)解，即可得到。>3,再根據(jù)存在以3,4，5為邊的三角形，

可得2<〃<8,進而得出。的取值范圍是3即可得到〃的整數(shù)解有4個.

【詳解】

f,n卜-2a<00

解不等式①，可得xV2〃，

解不等式②，可得應4,

???不等式組至少有三個整數(shù)解，

又???存在以3a,5為邊的三角形，

—

??.〃的取值范圍是3VaV8,

??”的整數(shù)解有4、5、6、7共4個,

故選:B.

【點睛】

此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關系的運用，求不等式組的解集應遵

循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

5.如圖，已知尸是△A8C內(nèi)任一點，43=12,BC=10,AC=6,則%+P8+PC的值一定

大于()

A.14B.15C.16D.28

【答案】A

【解析】

【分析】

在三個三角形中分別利用三邊關系列出三個不等式，相加后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可得到正確

的結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示，在AA6P中，AP+BP>AB,

同理：8P+PC>8C,AP+POAC,

以上三式左右兩邊分別相加得到：

2(PA+PB+PC)>A8+BC+AC,

SP%+PB+PO^(AB+BC+AC),

：.PA+PB+PO^x(12+10+6)=14,

即PA+PB+PO\4

故選A.

【點睛】

本題主要考查的是三角形為三邊關系，在三個三角形中分別利用三邊關系列出三個不等式,

相加后即可得到正確的結(jié)論；

二、填空題：(每題3分，共9分)

6.已知“，b,c是三角形的三邊長，化簡：\a-b-c\+\b-c+a\-\c-a-b\=___.

【答案】-a+b+c

【解析】

【分析】

首先根據(jù)三角形的三邊關系確定a-b-c<0,b-c+a>^c-a-b<0,然后去絕對值，化簡

即可求得.

【詳解】

解：?:a,b,c是△ABC的三邊的長，

b+c>a,a+b>ct

-b-c<0,b-c+?>0,c-a-b<0,

,*,\a-b-c\-}-\b-c+a|-\c-a-b\\

=-(a-b-c)+(b-c+a)+(c-a-b)

=-a+h+c+b-c+a+c-a-b

=—a+b+c

故答案為：—a+b+c?

【點睛】

此題考查了三角形三邊關系與絕對值的性質(zhì).解此題的關鍵是要注意符號.

7.已知〃為整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是4〃+31,〃-13,6〃，則所有滿足條件的〃

值的和為.

【答案】48

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形三邊之間的關系，可得關于〃的不等式組，解不等式組即可.

【詳解】

根據(jù)三角形三邊之間的關系，

4n+31—6n<z?—13

當4〃+31最大時，可得：,4〃+31+6〃>〃-13

44

解得:y<?

6〃一4〃一31<-13

當6〃最大時,可得：,4〃+31+6〃>〃-13

解得13v〃vl8

44

???一<〃<18

3

???〃為整數(shù)

???〃為15,16,17

，所有滿足條件的“值的和為：15+16+17=48

故填：48.

【點睛】

本題主要考查了三角形三邊之間的關系、?元?次不等式組的應用，解題的關鍵是注意調(diào)整

前后順序，能求出〃的取值范圍.

x+2y=z??+3

8.若二元一次方程組《-。的解工、的值恰好是一個等腰三角形兩邊的長，且這

x-ry=2m

個等腰三角形的周長為7,則〃7的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

解二元一次方程組，分三種情況考慮，根據(jù)周長為7得關于，〃的方程，求得根據(jù)構(gòu)成

三角形的條件判斷即可.

【詳解】

x+2y=m+3?

x+y=2m?

①-②得：尸3-〃？

把y=3-m代入②，得x=3ni-3

x=3m-3

故方程組的解為《，

若x為腰，為底，則2x+y=7

即2(3，〃-3)+3-〃?=7

解得；〃?=2

此時m3,)=1,滿足構(gòu)成三角形的條件

若y為腰，X為底，則2y+%=7

即2(3-m)+3〃b3=7

解得：機=4

此時x=9,y=-\,不合題意

若x=yf即3m-3=3-in

3

解得：加=；

此時腰為:，底為7-2x1=4

22

但|+|<4,不符合構(gòu)成三角形的條件

故不合題意

所以滿足條件的機為2

故答案為：2

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的解法，一元一次方程的解法，三條線段構(gòu)成三角形的條件，涉

及分類討論思想，方程思想，要注意的是，求出〃?的值后，要驗證是否符合構(gòu)成三角形的

條件.

三、解答題：(每題12分，共24分)

9.已知三角形的三邊長分別為小b,c,It?：\a+b-c\-2\a-b-c\+\a+b+c\.

【答案】4a-2c.

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角形的三邊關系定理可得〃+〃+c>。，再化簡絕對值，然后計算整式的加減

即可得.

【詳解】

解；由題意得；a+b>c,b+c>a,a>0,b>0,c>0,

a+b-c>0,a-b-c<0,a+b+c>0,

.'.\a+b-(]-2\a-b-(\+\a+b+c\,

=a+b-c-2(b+c-a)+(a+b+c),

=a+b-c-2ly-2c+2a+a+b+c,

=4a—2c.

【點睛】

本題考杳了三角形的三邊關系定理、化簡絕對值、整式的加減，熟練掌握三角形的三邊關系

定理是解題關鍵.

10.如圖，在，入4C中，點。在4C上，點P在B。上，求證：AB+AC>BP+CP.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形三邊關系判斷即可；

【詳解】

??,在△A8。中，AB+AD>BD,

在△PDC中，CD+PD>PC,

/.AB+AD+CD+PD>BD+PC.

?;BD=PB+PD,AD+CD=AC,

/.AB+AC>I3P+CP.

【點睛】

本題主要考查了三角形三邊關系的應用，準確理解是解題的關鍵.

思維拓展篇

1.若三邊均不相等的三角形三邊