20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練

第11章《三用形》

篁制出后m

知識(shí)點(diǎn)01:三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.三角形三邊的關(guān)系：

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.

要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若

兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.當(dāng)已

知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍.

2.二角形按“邊”分類：

3.三角形的重要線段：

（1）三角形的高

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)■邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三

角形的高.

要點(diǎn)詮釋：三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角

三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.

（2）三角形的中線

三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線.

要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心.中線把三角形分成面積

相等的兩個(gè)三角形.

（3）三角形的角平分線

三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)■邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平

分線.

要點(diǎn)詮釋：一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.

知識(shí)點(diǎn)02:三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.

要點(diǎn)詮釋：（1）二角形的形狀固定是指二角形的二個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指二條邊長(zhǎng)不改變.（2）二角

形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上

斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形.大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形

結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理.（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，

它的各個(gè)角的大小可以改變.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺.有時(shí)我們又要克服四

邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形.

知識(shí)點(diǎn)03:三角形的內(nèi)角和與外角和

1.三角形內(nèi)角和定理：一:角形的內(nèi)角和為180。.

推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余

2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形

2.三角形外角性質(zhì)：

（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

（2）二角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)向.

3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

知識(shí)點(diǎn)04:多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由?些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

要點(diǎn)詮釋：多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形.三角形、四邊形都屬于多邊形，其

中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.

2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等.

要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一

定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才

是正方形.

3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

要點(diǎn)詮釋：（I）從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引（n-3）條對(duì)角線，將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形；

知識(shí)點(diǎn)05:多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為（n—2）-180°（n>3,n是正整數(shù)）.

要點(diǎn)詮釋：（1）一般把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決；

（2）內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和：

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).

2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°,它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

要點(diǎn)詮釋：（1）外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)：

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

（2）多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于（n—2）-180°（n23,n是正整數(shù)），可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增

加1條邊，內(nèi)角和增加180°.

知識(shí)點(diǎn)06：鑲嵌的概念和特征

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面（或

平面鑲嵌）.這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同.

要點(diǎn)詮釋：（1）拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360。；相鄰的多邊形有公共邊.

（2）用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。.（3）

只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°

時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形.事實(shí)上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.：

篁新題逋面板高臺(tái)

一.選擇題（共11小題，滿分22分，每小題2分）

1.（2分）（2023春?宿豫區(qū)期末）將一副三角板按如圖位置放在直尺上，則N1的度數(shù)是（）

【分析】由題意可求得N1比三75°,再由平行線的性質(zhì)可得N2=75°,由鄰補(bǔ)角的定義即可求N1.

'：AB//CD,

E.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)I).4個(gè)

【分析】根據(jù)角平分線定義得出/力8C=2N力劭=2NM?,/EAC=2/EAD,4ACF=24DCF,根據(jù)三角形

的內(nèi)角和定理得出N胡自/IGN力⑶=180°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出NzlgN/1mNMC,ZEAC=

/ABC+/ACB,根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng).

【解答】解：???/切平分/口C,

：?/EAC=2/EAD,

■：/EAC=/AB8/ACB,/ABC=/AC&

???/EAD=/ABC,

:,AD〃BC,???①正確；

?：AD//BC

：,^ADB=4DBC,

YBD平分/ABC,ZABC=ZACB,

???AABC=2ACB=2/DBC,

：.AACB=2ZADB,，②錯(cuò)誤；

在△/!〃。中，ZADC+ZCAI^ZACD=180°,

???C少平分△力比的外角4ACF,

???4ACD=4DCF,

*：AD//BC,

:?/ADC=4DCF,4ADB=4DBC,ACAD=^ACB

：?/ACD=4ADC,NCAD=NACB=NABC=2/ABD,

：?4ADC+/CAANACD=/ADC包/ABA/ADC=2/ADC+2/ARD=180°,

:./AD鱗/ABD=9Q"

JZADC=90°-/ABD,

即N49G■//劭=90°,二③正確;

?:BD平令/ABC,

：.AABD=ADBC,

*：AABD=ADBC,

???4BDC=/DBC,

,**900-yZABC=900-ZABD=ZDBC+ZBDC=ZABD+ZBD,

乙

；?/毗=9U°-2匕ABD,

???N/1的=45°-工/BDC,④正確：

2

故選：C.

4.（2分）（2023?大連一模）如圖，在Rt△力胸中，/43=90°,N力=30°,點(diǎn)〃是〃'上一點(diǎn)，將△力劭

沿線段而翻折，使得點(diǎn)力落在力處，若/力'仁28°,則/物=（）

【分析】先由直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得N4?C=60°,由N4H=28°,求得N才物=88°,再由

翻折的性質(zhì)得N/1放=』/）陽(yáng)=44°,則NC粉=16°.

2

【解答】解：:/力加90°,Z/f=30°,

???/180=90°-30°=60°,

VZ/BC=2^0,

Z/ZM=60°+28°=88°,

由翻折得N/1劭=/力,劭力=2X88。=44°,

22

：?/CBD=/ABC-/ABD=&）°-44°=16°,

故選：B.

5.（2分）（2023春?萊州市期末）如圖，點(diǎn)力、B、aD、E、產(chǎn)在同一平面內(nèi),連接肪、BC、CD、DE、EF、

FA,若/%=110°,則/力+/8+N9?/月■/廠等于（）

E

AC

BD

A.470°B.450°C.430°D.410°

【分析】根據(jù)N4CZ）=U（）°得出/比戶/比戶=360°-110°=250°,根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得出答案.

【解答】解：連接江；如圖所示：

▲

BD

ZBCD=llO°,

：?/BCF+/DCF=36T-110°=250°,

?:/A+/B+/BC>/AFC=360°,冷■/小N￡*N08=36O°,

:?/A+/m//R/阱/AFE=360°+360°-（/BCF+/DCF）=720°-250°=470°.

故選：A.

6.（2分）（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期末）如圖，NABC=NACB,BD,CD,/〃分別平分△力比'的內(nèi)角/從定，外

角/ACF,外角/必C.以下結(jié)論：?AD//BCx②/ACB=2/ADB；③/BDC=，/BAC；④乙仞ZH450-

2

-^CD!k⑤NADC+NA8s其中正確的結(jié)論有（）

2

BCF

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，4ABC=2/ABD=2/DBC,ZEAC=2ZEAD,NACF=24DCF,根據(jù)三

角形的內(nèi)角和定理得出，NBA糙/ABC+/ACB=180°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出/以4/力冊(cè)

/Ag/ABC+/BAC,根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項(xiàng).

【解答】解：①??"〃平分/氏匕

：?NEAC=2/EAD,

ZEAC=ZABC+ZACB,AABC=AACB,

：,/EAC=2/ABC,

???AEAD=/ABC,

：.A1)//BC,故①正確；

②??"〃〃比、，

:.4ADB=4DBC,

■:BD平分/ABC,NABC=NACB,

???NABC=ZACB=2ZDBC=2ZADB,故②正確；

③*：/DCF+/AC//ACB=\80：4ACD=4DCF,

：.2/DCF^/ACB=\80°,

???NZW乙DBC=/DCF,

???2/此22/〃40/月3180°,

:ABC+24BDC+NACI=180°,

VZHAaZABaZ.ACB=180°,

:./BAC=2/BDC,

*,-ZBDC=yZBAC*故③正確；

乙

④?：BD平分/ABC,

???AABD=/DBC,

'：AD//BC,

???4A1)B=4DB3

:./ABD=4ADR,

YCD平分/ACF、

：./ACF=2NDCF,

,：/ADB"CDB=/DCF,2N/力8=180°,

：.2/DCR4ABC=2/DCB2/ABD=180",

：.NDCF+/ABD=9G,

:/ADB+/C煙/ADB=9G,

；?NABD=45°]/CDB，故④正確;

⑤由④得，/DCR/ABD=90°,

'：AD//BC,

，AADC=/DCF,

???/月〃?！?/＜做=90°，故⑤正確.

故選：D.

7.（2分）（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△力a?中，NA=NABC,皮/是的平分線，8。和CD是

△力回兩個(gè)外角的平分線，〃、C、〃三點(diǎn)在一條直線上，下列結(jié)論中：①DBLBH；②/加90?！猌A：

2

③DH〃AB；④NA；⑤NOM=N〃，其中正確的是（)

C.①②④⑤D.①②③④⑤

【分析】①根據(jù)8〃、劭是N力酎與/鹿的平分線，可得乙切7=2N%y/CBE=24CBD,再由鄰補(bǔ)角

的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)劭和⑦是△力比兩個(gè)外角的平分線，可得

ND=180°J（180°-NABC）J（180°-NACB），可得②正確；③根據(jù)乙4=乙4a?，可得N6g

乙乙

N力+/力a=2/月比；可得/8徵=/力比；可得③正確；④根據(jù)/D=90。—ZA,NDBH=90。，可得

④正確；⑤根據(jù)/月盼/跡=180°,BD平分/CBE,可得/CBD=90°-^-ZABC-再由/力=/四。，

乙

可得NCBD=90°-i-ZA-可得⑤正確，即可求解?

【解答】解：①???夕/、劭是N/1比與/儂的平分線，

:2ABC=2NCBH,NCBE=2/CBD,

???/力冊(cè)N鹿=180°,

：/CB出/CBD=9G,即/頌=90°,

:.DB1BH,故①正確；

②：劭和必是△力8C兩個(gè)外角的平分線，

：.ZD=180°-ADBC-ADCB

=180°-^ZEBC-yZBCF

乙乙

=180°-y(1800-ZABC)-4(180°-ZACB)

乙乙

(ZABC+ZACB)

得(180。-NA)

=90°-.4,故②正確；

乙

③?；NA=NABC,

:.ABCF=/A+/ABC=2/ABC,

???切是N直尸的平分線，

**?ZBCD=yZBCF=ZABC*

乙

AH,故③正確；

?7/0=90°—NA,NDBH=90°，

乙

?,-ZH=90°-ZD=yZA'故④正確；

?VZABaZCBE=\^,磔平分/跡

?,-ZCBD=yZCBE=y(1800-ZABC)=90°[/ABC，

乙乙乙

???Z/f=/ABC,

???ZCBD=90°[/A，

乙

，-*ZD=90°J/A,

乙

:,乙CBD=￡D,故⑤正確.

綜上所述，正確的有①②③④⑤.

故選：D.

8.(2分)(2022秋?武昌區(qū)期末)如圖，在△力8c中，ZJ^=60°,N4電80°,點(diǎn)、。在△48。外,連接

AD,BD,CD,

若/物=20°,//1浙30°,則N班〃的度數(shù)是（)

A

D

BC

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】以比、為邊，在為作NC跖=4砌=20°,連接膜.先利用三角形的內(nèi)角和定理、等腰三

角形的性質(zhì)求出/應(yīng)T說(shuō)明肉=比、，再說(shuō)明△應(yīng)應(yīng)是等邊一年形、△力眼是等腰三角形，最后通過(guò)說(shuō)明△

出必是等腰三角形得結(jié)論.

【解答】解：如圖，以比為邊，在4ABC內(nèi)作/CBE=NABD=20：連接DE.

力80=60°,ZACB=80°,

???/物4180°■/48C?N力340°.

在△勿。中，

■:乙CBE=20°,N/O=80°,

:?NBEC=80°.

:,BC=BE.

VZJ6^=80°,Z/167?=30o,

；?N8CD=50°.

VAABC=W,NABD=20°,

，N頌=80°.

：.ZBDC=18O°■/頌?N片昨50°.

???ABDC=ABCD.

:,BD=BC.

:.BD=BE.

'：^DBE=^DBC-Z.EBC=^,

???△頌是等邊三角形.

???/頌=60°,DE=BE.

：.ZABE=ZBEC-ZBAC=40°.

Y/ABE=/BAC=AC.

:.BE=AE=DE.

:.4EAD=ZADE,

VZAED=180°?/DEB?/BEC=180°-60°-80°=40°,

??./%￡=180。-NW-7o。.

2

:?/BAD=4DAE?/BAC=70°-40°=30°.

故選：C.

9.（2分）（2023春?桐柏縣期末）如圖，在上網(wǎng)課時(shí)把平板放在三角形支架上用到的數(shù)學(xué)道理是（）

A.三角形的穩(wěn)定性B.對(duì)頂角相等

C.垂線段最短D.兩點(diǎn)之間線段最短

【分析】利用三角形的穩(wěn)定性直接回答即可.

【解答】解：把平板電腦放在?個(gè)支架上面，就可以非常方便的使用它上網(wǎng)課，這樣做的數(shù)學(xué)道理是三

角形具有穩(wěn)定性，

故選：A.

10.（2分）（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖，在△/比、中，夕為4。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/月比'與//1成的平分線相交

于點(diǎn)〃N415°,則N/I的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.20°D.22.5°

【分析】先根據(jù)角平分線的定義得到N/1做=/曲，AACD=^ECD,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得N/13N

A+NABC,代入得：ZA=2QECD-/CBD）,可得結(jié)論.

【解答】解：???//1歐的平分線與N/1四的平分線交于點(diǎn)僅

：.AABD=^CBD,4ACD=4ECD,

ZACE=ZA+ZABC,

郎/AQR/ECD=/AB1R/CBIH/A,

:?'24ECD=24CBiR乙A,

：.ZJ=2k/ECD-ZCBD）,

Y4ECD=/CBm4D,NA15°,

：.ZD=ZECD-ZCBD=\^,

???/力=2X15°=30°.

故選：A.

11.（2分）（2023?南陵縣模擬）一副直角二角板按如圖所示方式擺放，圖中Na的度數(shù)為（）

【分析】先利用三角板的角度以及外角性質(zhì)即可求得Na=90°-ZEDC,進(jìn)而得出結(jié)果.

【解答】解：?:NABC=NACB=A5°,

:./ACD=/CE/4CDE,

：?/CDE=4ACD-4CED=45°-30°=15°,

VZa=^ADE-￡CDE=W-15°=75°,

故選：C.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

12.（2分）（2023?裕華區(qū)二模）一塊板材如圖所示，測(cè)得/8=90°,N力=20°,NC=35°,根據(jù)需要/

仞T為140°,師傅說(shuō)板材不符合要求且只能改動(dòng)N4則可如N/1減少（選填“增加”或“減少”）.

FA

【分析】百先延長(zhǎng)C"交力〃于點(diǎn)區(qū)根據(jù)三角形的外角定理得N/WT=NX+NC胡，/CEA=4班43由

此得/力〃「=/力+/8+/。=145°,據(jù)此即可得出答案.

【解答】解：延長(zhǎng)⑦交48于點(diǎn)回

■:乙ADC=KA+乙CEA,乙CEA=4階4C,

：,4ADC=/A+/^/C,

?：N490°,ZJ=20°,NC=35°,

???/力ZT=20°+90°+35°=145°,

VZJZ>f=140°,

...可將N4減少50.

故答案為：減少.

13.（2分）（2023春?淮安期末）如圖，△械中,/力=40°,/8=80°,CE平?分匕ACB,CDLAB千D,DF

1CE,則的度數(shù)=70°.

【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得N力％的度數(shù)，以及N加9的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得

/核的度數(shù)，則/或9可以求解.，然后在△如'中，利用內(nèi)角和定理即可求得火的度數(shù).

【解答】解：???N4=40°,/戶80：

???/力8=180°-ZJ-Z^=60°.

?：CE*'R4ACB,

：.ZACE=-ZACB=300.

2

???CDVAB^〃，

；?/如=90°,

N月CZ/=180°-N/l-NC陰=50°.

：.^ECD=Z.ACD-ZACE=20Q.

■:DFLCE,

:?NCFD=90°,

AZ6ZF=1800-ACFD-ZP67^70°.

故答案為：70°.

14.（2分）（2022秋?歷城區(qū)期末）如圖所示，△力比中/a80'，力C邊上有一點(diǎn)〃，使得N/l=N/1即，將

△4〃。沿被翻折得△"〃〃，此時(shí)HD//BQ則/力比=75度.

【分析】設(shè)N/1=N/1Bgx,根據(jù)翻折得，ZA=ZDBA'=ZA,=4ABD=x,[tlA1D//BC,NH=Z

CBA'=x,所以NCBA=/CBA，+N4筋N/18〃=3x,由三角形內(nèi)角和定理求得即可.

【解答】解：設(shè)N/l=N/lBD=x,

???△力/r沿切翻折得/姒

:,/A=/DBA'=NH=/ABD=x,

?：A'D//BC,

???NH=Z.CBA,=x,

：.ZCBA=ZCBA,+ZAfB//ABD=3x,

由三角形內(nèi)角和定理得，

Z/f+ZJ^Z6^180°,

廣3A+80°=180°,

x=25。,

???3x=3X25°=75°,

故答案為：75.

15.（2分）（2022秋?和碩縣校級(jí)期末）如圖，四邊形仍切中，點(diǎn)MN分別在俯，BC上,ZC=80°,按

如圖方式沿著折疊，使此時(shí)量得/9后50°,則//，的度數(shù)是90°

【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出/例廣，再根據(jù)翻折的性質(zhì)求出/身介和NHW,然后利用三角

形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：:川〃〃。，

.△用你沿，惻翻折得△以M

：?淤=4F解=30°,

^BN^f=—ABNF=-X80°=40°,

22

在△引介中，/8=180。-（N8J仲NAW）=180°-（50°+40°）=180°-90°=90°.

故答案為：90°.

16.（2分）（2022秋?簡(jiǎn)陽(yáng)市期末）如圖，將△力砥紙片沿龐'折疊，使點(diǎn)?!落在點(diǎn)/處，且48平分N

【解答】解：連接初'.

5

???/!'?平分/科a4。平分//區(qū)z/^c=no°,

???/"BC+NA'6?=70°,

AZABC+ZACB=140Q,

???/胡。=180°-140°=40°,

VZ1=ZZMJ,+/%'J,Z2=ZEAA,+N刈'A,

VADAA'=ZDA,4AEAA'=ZEAr4

AZ1+Z2=2（ND/W+ZEAA'）=2ZBAC=80a,

故答案為800.

17.（2分）（2022秋?榆陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放,的度數(shù)為75°

【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，

VZ2+Z3=90°,Z2=45°,

???N3=45°,

VZ1=Z>4+Z3,

AZI=300+45°=75°.

故答案為：75°.

18.（2分）（2022秋?棲霞市期末）如圖所示的折線圖形中，a+B=85°

【分析】如圖，連接利用三角形內(nèi)角和定理以及四邊形為角和定理求解即可.

在△旗C中，Zl+Z2=180°-N￡=140°,

在四邊形力戈刀中，NA+NAEGNBC訃/0=360°,

A700+a+Zl+Z2+P+65°=360°,

/.a+0=360°-70°-65°?140°=85°,

故答案為85°.

19.（2分）（2022秋?濰坊期末）如圖，和5相交于點(diǎn)0,ZC=ZCOA,4BDC=/BOD,力化加分別平

分NC4O和/做C,若N介/代N3=165°,則NC的度數(shù)是70。.

【分析】設(shè)/C=/AOC=NBOD=/BDO=x,ACAP=APAB=y,/P=z,則N6=2y,構(gòu)建方程組解決問(wèn)

題即可.

【解答】解：'：ZC=/COA,4BDC=/B0D,2Aoe=/BOD,

：.Zr=ZAOC=4B0D=4BD0,

：./B=NCAO,議/C=/AOC=/BOD=/BDO=x,ZCAP=^PAB=y,/P=z,則NQ2M

'2x+2y=180°

則有"x+y=z+^x,

x+z+2y=165°

\=70°

解得卜=20°,

z=55°

???NC=70",

故答案為70°.

20.（2分）（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，BE、四分別為的內(nèi)、外角平分線，BF、6分別為△胸

的內(nèi)、外角平分線，若N/l=44°,則N8UII度.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，由.平分/次平分/力比,得N/；CRJNACD，N/：〃C=JNABO

進(jìn)而推斷出/?=/ah-/做UNACD-ANABCUNM同理可得/外NE，從而解決此

題..

【解答】解：:四平分N/1SBE平分4ABC,

，/￡切=之NACD，/皈得NABC.

乙乙

又,：4ECD=/E+4EBC,

：,AE=AECD-Z^lzA3D-yZABC=y（ZACD-ZABC）=yZA=-1x44°=22。.

乙乙乙乙乙

同理可證：z^/^—=—X22°=11°.

22

故答案為：11.

21.（2分）（2022秋?黃島區(qū)校級(jí)期末）如圖，把△/比紙片沿施折疊，使點(diǎn)力落在圖中的/'處，若/力=

29°,ZW=90°,則N/fEC的大小為32°

B

【分析】如圖，利用折疊性質(zhì)得/DE=45°，N/3NW"，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得N

陽(yáng)9=74°,利用鄰補(bǔ)角得到N力瓦=106°,則NH放=106°,然后利用N4EC=ZA,ED-/CED選

行計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，

VZW=90°,

:.ZADA=90°,

???△力■紙片沿〃E折疊，使點(diǎn)力落在圖中的力'處，

:"ADE=/A'〃匹=45°,ED,

,：/CED=/A+4ADE=^°+45°=74°,

???N/B9=106°,

AAA'&=106°,

???//EC=ZAfED-ZCED=10^-74°=32°.

故答案為32°.

三.解答題（共7小題，滿分58分）

22.（8分）（2023春?晉江市期末）閱讀材料：兩個(gè)三角形各有一個(gè)角互為對(duì)頂角，這兩個(gè)三角形叫做對(duì)頂

三角形.

解決問(wèn)題：如圖，△/1勿與△￡%是對(duì)頂三角形.

（1）試說(shuō)明：ZDA^ZD=ZOBC+ZC；

（2）試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論解決下列問(wèn)題：

若"、利分別平分/的。與AC=ma,ZD=n°.

①求/尸的度數(shù)（用含小〃的代數(shù)式表示）；

②若/10、回分別平分/胡。與/如尸，120°VN0C15O0,求府〃的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)容易得出結(jié)果；

（2）①由角平分線得出乙ABP=々DBP,由二角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等得出Z/f夕iR

A=/ABK/P,乙DCR4P=NDBR乙D,得出/力-N—NP-/〃，即可得出結(jié)果；

②根據(jù)角平分線的定義及平角的定義可得NQ4—NQ/?盧=90°,再由四邊形內(nèi)角和定理可得

180°,最后由120°<Ng：150°可得答案.

【解答】（1）解：由三角形外角的性質(zhì)可得：

/DOC=N/NDAO,NDOC=/C=OBC,

DAe/D=/OBC"a

（2）解：①???“、8尸分別平分/%。與/如C,

???N〃4/=NO1R4CBP=/［）BP,

,：4DA打/D=4GB卅4P,4GBP^/P=4CB*/C,

???/〃-4P=/P-NC,

/.ZP=-(N3N〃)，

2

VZC=m°,ZD=nQ,

—2Cm°+/?°)；

2

②??"0、制分別平分NEk?與/〃即

???/W=NW=-^NEAO，NFBQ=/QBO=三乙FBO,

乙乙

VZDAP^-APAO^AOAQ^AQAE=180°,4CBP^4PBS/OB54QBF=1800，/DAP=/CAP,』CBP=4DBP,

???/川仍/》-90°,/陽(yáng)ONO或=90°,

???/4/0=360°-90°-90°=180°,

A—（川。+〃。）+/g80。；

2

:.球+〃°=360°-2N0,

V120°VN0<15O°,

/.2400號(hào)2Ng300,

-300°W-2Nk-240°,

A60°W360°-2/慮120°,

???60W/^〃W120.

23.（8分）（2023春?巨野縣期末：在△力旗中，NOE=25°,Z6^40°,4CBD=30：求Nd/刃的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的外角定理得出/力陽(yáng)=/。￡+/乙再根據(jù)/力陽(yáng)=/頒卜乙4金即可求解.

【解答】解：???/?！?25°,Zr=40°,

：.ZAEB=ZCAE+ZC=250+40°=65°,

???/物=30。，

1/AFB=/CB//AEB=33+65°=95°.

24.（8分）（2023春?玄武區(qū)期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做對(duì)補(bǔ)四邊形.

（1）已知四邊形力根〃是對(duì)補(bǔ)四邊形.

①若N/W=65。，則NZCT=115°.

②如圖①，/BAD、/直刀的平分線分別與比、、力〃相交于點(diǎn)八F,且NZ>=90°,求證：AE//CFx

（2）如圖②，在四邊形力灰刀中，對(duì)角線〃；助交于點(diǎn)反且"平分N羽〃，ZABC=/BEC,小平分N

BCD,與力。交于點(diǎn)月且6RL劭于點(diǎn)G則四邊形相⑦是對(duì)補(bǔ)四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）己知四邊形力版是對(duì)補(bǔ)四邊形，其三個(gè)頂點(diǎn)4B,〃如圖③所示，連接力8,AD.若AE平分NBAD,

CF平分4BCD,且直線力反）交于點(diǎn)。（與點(diǎn)。不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出/4/與N〃之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①由對(duì)補(bǔ)四邊形的定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

②由對(duì)補(bǔ)四邊形的定義及角平分線的定義可得/力抄上〃儀'=123BA步/BCD）=90°,由同角的余角

相等可得N胡。=NO刃，從而即可得證；

(2)由角平分線的性質(zhì)、三角形外角的定義以及同角的余角相等可求得N協(xié)分/時(shí)=2(N1+NaZ7)

=180。，從而即可得到四邊形仍⑦是對(duì)補(bǔ)四邊形；

(3)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)對(duì)補(bǔ)四邊形的定義、角平分線的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和為360°,以及

三角形外角的定義，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

【解答】解：(1)①：四邊形月〃口是對(duì)補(bǔ)四邊形，/砌465°,

二/8加180°-N8AQ18C-65°=115°.

故答案為：115

②?：/BAN/D=360°,

又：四邊形，仍切是互補(bǔ)四邊形，

:.NBA訃NBCD=18G,

YAE、6F分別平分/吼9、4BCD,

:?/EA護(hù)■NECF=9Q0,

.:4ECF=43,

???/功―/3=90°,

在RtZ\09*'中，/。=90°,

Z2+Z3=90°,

：,4EAF=42,

：.AE//CF.

（2）四邊形力砥9是對(duì)補(bǔ)四邊形

理由：???/龐。是△力然的外隹，

???/跖4N1+/3,

又?：4ABC=/BEC,

/.Z2+Z3=Z1+Z3,

AZ1=Z2,

?:CFLBD,

N6%=90°,

在RtZ\8GC中，NBGC=90。,

???N2+N8CG=9(r,

又,；/1=/2,

r.Zl+Z^6Z；=90o,

'：AC.。'分別平分/如〃、4BCD,

：.4BAC=24\,4BCD=24BCG,

：?/BAO/BCD=2(Nl+N8cG)=180°,

???四邊形ABCD是對(duì)補(bǔ)四邊形.

(3)第一種答案：ZAOC-NP=90°

???四邊形/I四是對(duì)補(bǔ)四邊形，

???/a/〃=180°,ZA+ZC=180°,

??"反思分別為/以〃和的角平分線,

.,.Zl+Z2=90°,

??,四邊形內(nèi)角和為360。，

二在四邊形川笫。中N'a/H優(yōu)'=270",

即/13=270°-N8,

?；/屏N〃=180°,

AZAOC=270°-(180°?/〃)，

即/13-N〃=90°；

B

AFD

第二種答案：ZZAZ/KX-=90o

???四邊形力仇》是互補(bǔ)四邊形，

：.ZBA^ZBCD=180°,

?：AE、)為角平分線，

???N1+N2=9O0,

???在川叨中，/"。=180°-Z2-ZAOC,

在△5/中，/AFO=1+/D,

.*.Zl+ZP=180°-Z2-ZAOC,

即/次/月比-90°；

第三種答案：ZP-ZAOC=W

???四邊形/歷切是對(duì)補(bǔ)四邊形，

???/例/P=18()°,/BAIR480)=180°,

,：AE、。?為角平分線，

AZ1+Z2=9O°,

??,在△龐T中，外角/曲=N4Q>/2,

在△力龍'中，N8口=180°-Z1-N8

：.ZAOC+Z2=18Qa-Z1-ZB

VZ^=180°-AD

：,ZAOC+Z2=180°-Z1-180°+ZZ?

卻/〃-N力3=900.

25.(8分)(2022秋?駐馬店期末)我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形”.例如，在圖1

中,△力奶的內(nèi)角N力仍與△加的內(nèi)角N6W互為對(duì)頂角，則△/!必與NC勿為“對(duì)頂三角形”，根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：/A+/B=/G/D.

性質(zhì)理解：

(1)如圖1,在“對(duì)頂三角形”△月如與NQ7"中，則N戊厲=70°,則NGN3110°.

性質(zhì)應(yīng)用：

(2)如圖2,在△力瓶?中，AD.應(yīng)、分別平分/的。和/力龐、，若NU60°,/力原比/應(yīng)〃大6°,求N

必9的度數(shù).

拓展提高：

(3)如圖3,BE、⑦是△力8c的角平分線，且/腦和的平分線DP和以相交于點(diǎn)R設(shè)乙4=0,

直接寫(xiě)出NP的度數(shù)(用含a的式子表示NP).

【分析】(1)利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)利用對(duì)頂三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可求解；

(3)由題意得N力沖N力緲=18()°-a,再由角平分線的定義可求得：

ZABE+ZACD-y(ZABC+ZACB)=90°-yd，ZCEP=4zBEC=y(ZABE+ZA)，

ZCDP=-^ZBDC=y(ZACD+ZA)，從而可求解?

乙乙

【解答】解：(1)在“對(duì)頂三角形”△力如與NC切中，則/月仍=70°,

???/3/〃=/力+/8=180°?/力淅110°,

故答案為：110：

(2)在△/應(yīng)。中，ZC=60°,

：.ZBAC+ZABC=\20°.

??"〃、比'分別平分/物。和N/山。，

?,?ZFBA+ZFAB-^(ZBAC+ZABC)=60"，

乙

:?/ADE+/BED=60°.

又,：/ADE-/BED=6°,

.,./■=33°,N均必=27°；

(3)在△力比?中，ZJ=a,

：.ZABC+ZACB=180<>-a.

?:BE、69分另ij平分/力頗和/4功,

?'?ZABE=ZCBE=^ZABC-ZACD=ZBCD=yZACB?

乙乙

ZABE+ZACD-y(ZABC+ZACB)=90°-ya.

乙乙

,//加。和/配'。的平分線如和步相交于點(diǎn)P,

???ZCEP=4zBEC=y(ZAB3+ZA)，ZCDP=-^ZBDC=y(ZACD+ZA)-

乙乙乙乙

?：4CER4ACD=4CDR4P,

?二ZP=ZCEP+ZACD-ZCDP4(ZABE+ZA)+ZACD-y(ZACD+ZA)

乙乙

yZABE+yZACD=y(ZABE+ZACD)=yX(90°-ya)=450-ya.

乙乙乙乙乙UL

卻NP=450-4a-

4

26.(8分)(2022秋?蝶州市期末)如圖，已知射線跖是△4%的外角平分線，ZJ=40°,NCBE=Q.

(1)若BE〃AC,求a的值.

(2)若月。的延長(zhǎng)線與射線原相交于一點(diǎn)E求a的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，若過(guò)點(diǎn)C的直線將△仇萬(wàn)分成兩個(gè)筆腰三角形，直接寫(xiě)出a的值.

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/〃應(yīng)1=40°,根據(jù)角平分線的定義可得/0%=/〃宏，從而得a=

40°；

（2）由力C的延長(zhǎng)線與射線跖相交于一點(diǎn)/知BE與力。不平行，由三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義

可得/曲=2Q,ZACB=2（i-40°,再根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍可得0°V2a-40°<180°,求解

即可;

（3）分①CG=CB=GF,,?CG=BG=FG,@BC=BG,FC=FG、④BC=BG,CG=FG、⑤BC=CG,五種

情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：（1），：BE平分NCBD,

：,4DBE=4CBE=a,

?:BE"AC,

:?/DBE=/A,

：,ZCBE=ZA,

VZ/l=40o,

AZ6ZJZT=40°,

即：a=40°；

（2）由HC的延長(zhǎng)線與射線以相交于一點(diǎn)〃知BE與力。不平行，

?:NQ仍是3c的外角,

:,NCBD=/A+/ACB,

■:BE平■分4CBD,

：?/CBD=2/CBE=2a,

?:/A+/ACB=/CBD,

：.4ACB=20-40°,

V0°<Z/f6^<180°,

AO°<2a-40°<180°,

.*.200<a<110°,

,:NFBD是AA即的外角,

故4FBD>4A,即a>40°,

A400<a<110°；

（3）設(shè)過(guò)點(diǎn)。的直線交跖于點(diǎn)G,

:.XBCG,△&方均為等腰三角形，

①當(dāng)"=5=征'時(shí)，則有N4M=NC"；=a,ZCFG=—ZCGB=—?

22

/ACB=/CBF+/CFG=亳Q、

?：4A+/ACB=/CBD,

A40°+Z/!6^=2a,

：?4ACB=2<i-40°,

???2a-40。-1a，

:.a=80°；

②當(dāng)CG=BG=FG卡,/GCB=4CBG=a,

???NC68=180°-ACBG-ZGCB=180°-2a,

?,-ZCFG=yZCGB=90°-a，

乙

/.ZACB=ZCFB+zCBG=90°-a+a=90°,

/.2a=40°+90°,

:.a=65°；

③當(dāng)BC=BG,加=文時(shí)，NBCG=4BGC,4FCG=/FGC,

?'?ZBGC=y(180°-NCBG)】(1800-a)=90°[a，

乙乙乙

?*?ZCGF=ZFCG=900卷a，

：?4CGF+/FCG=18N+a>180°,

故此情況不存在；

④當(dāng)BC=BG,4=用時(shí)，/BCG=/BGC,4GCF=4GFC,

???ZBGC=y(1800-ZCBG)=^(180°-a)，

乙乙

???ZCFG-ZCGB-(1800-a)，

乙i

又/ACB=/CFB+/CBF=43。+Sa，且/A+/ACB=/CBD,

4

，40°+45°普a=2a，

:.a=68°；

⑤當(dāng)BC=CG,gG/7時(shí)，則NCGB=/CBG=a,/FCG=/FGC=180°-a,

又/CFG"FCG'/FGC=1,

???/67^=180°-ZFCG-ZFGC=2a-180°,

又匕ACB=4CF吩匕CBF,

A2a-400=3a?180°,

解得：a=140°>110°,

故此情況不存在，

綜上，a的值為80°,65°或68°.

27.（8分）（2023春?南通期末）如圖，銳角N加尼點(diǎn)區(qū)。分別在力笈AFk.

（1）如圖1,若N瓦伊=56°,連接8C,/ABC=a,ZACB=P,N鹿的平分線與N比尸的平分線交于

點(diǎn)P,則力B=1240,ZP=62°:

（2）若點(diǎn)。在/必尸內(nèi)部（點(diǎn)0不在線段8。上），連接制，QQ/分尸=56°,/CQB=\C4：BM,CN

分別平分NQ陽(yáng)和//A且卻/與。V交于點(diǎn)〃，求/腦的度數(shù)；

（3）如圖2,點(diǎn)G是線段⑦延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、G作GHLAE于點(diǎn)、H,/掰廠與NQN的平分線交于點(diǎn)

9,請(qǐng)直接寫(xiě)出/力出與/力位的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義即可求a+B的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義以及角平分線性