專題8，馬爾科夫鏈(與數(shù)列結(jié)合的概率遞推問題)

如果要評選出2023年各地模擬題中最“成功”的題目，我想非“馬爾科夫鏈”莫屬了，盡管2023年新高

考I卷出乎了很多“命題專家”的意料，但第21題考察了馬爾科夫鏈，可謂為廣大“專家”“名卷”“押題

卷”挽回了一些顏面。

2023年新高考I卷第21題的投籃問題是馬爾可夫鏈；再往前的熱點(diǎn)模考卷中，2023年杭州二模第21題的

賭徒輸光問題是馬爾可夫鏈，2023年茂名二模的摸球問題是馬爾可夫鏈；再往更前的2019年全國I卷藥物

試驗(yàn)也是馬爾可夫鏈，在新人教A版選擇性必修三P9I頁拓展探索中的第10題是傳球問題，是馬爾科夫

鏈的典型模型，可以看出自從新教材引入全概率公式(新人教A版選擇性必修三P49頁)，可想而知，未

來會有越來越多的遞推型概率難題出現(xiàn)?？荚囶}中！因此，在復(fù)習(xí)備考中全概率等系列內(nèi)容需要格外關(guān)注

馬爾科夫鏈作為一種命題模型出現(xiàn)了，馬爾科夫鏈在題中的體現(xiàn)可以簡單的概括為全概率公式+數(shù)列遞推，

對于高中生而言，馬爾科夫鏈其實(shí)也不難理解。本文主要介紹了馬爾科夫鏈和一維隨機(jī)游走模型在高考中

的幾種具體的應(yīng)用情形，希望對各位接下來的復(fù)習(xí)和備考有一些幫助。

知識點(diǎn)?梳理

基本原理

雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容了，利用全概率公式，我們既可以構(gòu)造

某些遞推關(guān)系求解概率，還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于

整點(diǎn)處，在時(shí)刻，=()時(shí)，位于點(diǎn)x=i(i￡N,)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率?；蛘呦?/p>

(aw(0,l),2+￡=1)向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)X』表示：在時(shí)刻，該點(diǎn)位于位置

X=Z(ZGAZ+),那么由全概率公式可得：

p(xq=p(xl=i_])-p(xl+}=i\x,e)+p(XmJ尸(尤gI人川)

另一方面，由于p(X,+1|XTT)=/?,P(X,"j|X7+1)=a,代入上式可得：

Pi=aP“\+BPw

進(jìn)一步，我們假設(shè)在X=0與X=m(〃2>0,/W￡N+)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游

走.于是，庶=0,匕=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為。，原地不動，其概率為力，向右平

移一個(gè)單位，其概?率為C,那么根據(jù)全概率公式可得：

Pi=aP-+bPi+cP2

高考真題.回顧

2023?新高考I卷T21

1.乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃.無

論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1

次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

（I）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（X,=1）=1-尸（X,=0）=分i=l,2,…，則

EZx,卜記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中日投籃的次數(shù)為y,求石（y）.

/=1）/=1

【解析】（1）記“第i次投籃的人是甲”為事件4,，”第i次投籃的人是乙”為事件Bj,

所以，尸(員)=P(A=)+P(4B2)=P(A)P(即4)+夕(4)?(即4)

=0.5x(l-0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)設(shè)P(A)=Pi，依題可知，=則

。(4+1)=網(wǎng)44+1)+/44討)=。(4)*4"4)+。(g)網(wǎng)4*1g)，

即%=0.6p,.+(1-0.8)x(1-/?.)=0.4pi+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列{〃,+2},

,2,112fI

7殳0+1+丸=￡(化+2),解得/1=_Q,則=￡

3。J>IJ

111所以是首項(xiàng)為，,公比為2的等比數(shù)列

又Pl=—,p.—=—

12136I3j65

所以當(dāng)〃時(shí)，E（Y）=Pl+p、+…+p”=工義

6

5

故E（y）=9i

18

2019?全國I卷

2.為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：

每一?輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn).對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪

的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就

停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白

鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則中藥得I分，乙藥得T分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白

鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得一1分：若都治愈或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、乙兩種藥的治愈率

分別記為a和一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列.

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，化(，=0/,2,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為，時(shí)，最終認(rèn)為甲

藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0,=1,Pj=apif+加+%[(/?=1,2,…,7),其中a=P(X=—｝),

b=P(X=0)c=P(X=l).假設(shè)。=0.5,"=0.8.

①證明：｛Pj+i-(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

②求P4，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【解析】(1)X的所有可能取值為-1,0,1.

P(X=-i)=(1-a)j3,P(X=0)=?/?+(1-?)(1-/7),P(X=1)=久1—0),

所以X的分布列為

X-101

P(1-。)夕a（l"）

（2）①證明由（1）得。=0.4,〃=0.5,c=0.1.

因此A=（）.4pj+0.5p.+0.1Pj八,故1（R+i-月）=04（8一Pi）,則pi+｝-P,=4（化一%）.

又因?yàn)镻i-Po=Pi/（），所以｛/%1一化｝?=（）,1,2,?一,7）為公比為4,首項(xiàng)為Pi的等比數(shù)列.

②由①得

48-1

=〃8-〃7+〃7，+???+〃L〃0+〃0=（〃8-〃7）+（〃7-〃6）+…+（〃/〃（））+

41

所以〃4二（〃4一〃3）+（〃32）+（〃2-Pj+（P|-〃o）+Po=—Pl=-?

J/

〃4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)

為甲藥更有效的概率為=」一=0.0()39,此時(shí)得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試臉方案合理.

257

課本原題：人教A版數(shù)學(xué)《選擇性必修三》P91

3.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外

兩個(gè)人中的任何一人.求〃次傳球后球在甲手中的概率.

【解析】

記第n次傳球后球在甲手中的概率為2，則第〃一1次傳球后球在甲手中的概率為,

開始時(shí)球在甲手中，則4=1.

若第〃次傳球后球在甲手中，則第〃一1次傳球后球不在甲手中，即第〃一1次傳球后球在乙或丙手中，

所以第〃一1次傳球后球不在甲手中的概率為1一匕7,又乙或丙在第〃次把球傳到甲手上的概率為

2

于是有《(1—匕_])=巴，即月一呆一:[「!)‘〃N1,

1]21

于是數(shù)列，匕一4上是首項(xiàng)為兄一1二一,公比為一一得等比數(shù)列，

3J32

1212

所以p_1=_，所以

"33I2J

重點(diǎn)題型?歸類精講

1.（2024屆.武漢高三開學(xué)考）有編號為1,2,3,…，18,19,20的20個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有2個(gè)黃球

1個(gè)綠球，其余箱子均為2個(gè)黃球2個(gè)綠球，現(xiàn)從第一個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第二個(gè)箱子，再從第二

個(gè)箱子中取出一個(gè)球放入第三個(gè)箱子，以此類推，最后從第19個(gè)箱子取出一個(gè)球放入第20個(gè)箱子,

記Pi為從第i個(gè)箱子中取出黃球的概率.

⑴求〃2，〃3；

(2)求?

【答案】⑴舄4,鳥嘿;⑵//+T

【分析】（1）分第一次取出黃球和綠球兩種情況，再由互斥事件概率加法公式計(jì)算可得答案;

32

（2）由題意寸得+匕），葉得答案.

7312R

【詳解】⑴從第二個(gè)箱子取出黃球的概率鳥="+/=鼻

o/o\238

從第三個(gè)箱子取出黃球的概率I-.W=不；

3212

⑵由題意可知，匕Ly+”一用=y+歹

即為十:3一沙又耳除

〃十先?"十需）二等

2o2613/0?□2

y—

-06-5192

2024屆?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第一次診斷

2.某品牌女裝專賣店設(shè)計(jì)摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個(gè)會員號登陸，每次消費(fèi)都有一次隨機(jī)摸球

的機(jī)會.已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為:：從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次

抽中的概率為若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為g.記該顧客第〃次摸球抽中獎品的概率為

⑴求6的值，并探究數(shù)列｛舄的逐項(xiàng)公式;

⑵求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程.

、r-1

【答案】(1)京19，P”31

77、6J

(2)第二次，證明見解析

【分析】(1)根據(jù)全概率公式即可求解利用抽獎規(guī)則，結(jié)合全概率公式即可由等比數(shù)列的定義求解,

(2)根據(jù)《=?—；(—[)，即可對〃分奇偶性求解.

z.、2

【詳解】(1)兀該碩客第4ieN|次摸球抽中獎品為事件A,依延意，4=亍，

…(4)=P(A)尸(4⑷+咽川4仄)=河+(|-

因?yàn)镻(AIA,T)=；,網(wǎng)41寸)=[6=p(4),

O乙

所以尸(4)=尸(47)月(4141)+尸(北)?(41看)，

所以匕T+《(I—91)=一3匕1+:，

所以『2底

3、

7>

231

又因?yàn)椤?亍，則[_亍=_亍工0,

3]11

所以數(shù)列〈匕一二是首項(xiàng)為一二，公比為一二的等比數(shù)列,

^7J76

3I319

(2)證明：當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，—T<^<—,

//O/42

31

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，4==+三月.則匕隨著〃的增大而減小，

77-6

19

所以，pn<p2=—,綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大.

3.從甲、乙、丙等5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定?人第一次將球傳出，每次傳球時(shí),

傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.

(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(2)若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記〃次傳球后球在甲手中的概率為

凡,〃=1,2,3,…，

①直接寫出〃】，生，凸的值;

②求P向與P”的關(guān)系式(〃eM),并求p05eM).

【答案】(1)分布列見解析

IIII(―])〃

⑵①Pi=o,P2=-,〃3=;：②P”+I=_不〃”+5，〃=1，2,3：-i+-^zr

【分析】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列可解；

(2)記兒表示事件“經(jīng)過”次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求

凡+1=一/十：，再由數(shù)列知識，由遞推公式求得通項(xiàng)公式?

【詳解】(1)X可能取值為123,

p(X=l)=等q；p(X=2)=警q〃(X=3)=警*

所以隨機(jī)變量x的分布列為

X123

331

P

105K)

(2)若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且〃次傳球后球在甲手中的概率為/??,?=1,2,3,...,

一八2121

則佝月=0,〃2=尹=5,小=3=^，

記4表示事件“經(jīng)過〃次傳球后，球在甲手中”，

%4+i+A4所以P*I=2(A-4+1+A.**)=。(A.A+J+P(4-

=P(A)P(A+M)+P(4)P(%I4)=(I-P“)T+P”-O[(I-P“)

即P0+I=-gp“+；，〃=l，2,3,

所以P”+|_；=_g(凡_g),且=T

所以數(shù)列，凡一:，表示以-2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

3J32

II(1y-11(1iff1Y-1"

所以〃所以凡=.丁-？+彳寸十寸.

1「(-1)"]

即八次傳球后球在甲手中的概率是3I+1-q-.

JJ

2023屆惠州一模

4.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)?/p>

餐和面食套餐.已知某同學(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母?/p>

率為2,而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?,前一天選擇面食套餐后一天

34

繼續(xù)選擇面食套餐的概率為:，如此往復(fù).

（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?/p>

（2）記該同學(xué)第〃天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?/p>

25

（［）證明：j匕一為等比數(shù)列；（H）證明：當(dāng)〃22時(shí)，^f<—.

【解析】（1）設(shè)同一”第1天選擇米飯?zhí)撞汀埃?一“第2天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t4=“第1天不選杼米

飯?zhí)撞汀?，于是，尸（A）=；P伍）=1P（&IA）=1P（4I司=>；=1，

由全概率公式

JIJJ

（2）（?）設(shè)4=”第〃天選擇米飯?zhí)撞汀?則E=P（4）,p伍）=1-K,

尸（心聞=?尸（4+J%）=W，

*=P（4j=P（4）P（*l4）+P（%）P（Ael4）=/+，l-a）=—

2\（2^f21241

所以？+i-g=—七一《，一^是以q-w二正為首項(xiàng)，一1為公比的等比數(shù)列。

24f1Y，-1

（IDP=-+—x—L,

〃515I4j

當(dāng)〃為大于1的寺數(shù)時(shí)，『=2十工2十色=上；

〃515UJ515UJ12

24（1Y-125

當(dāng)〃為正偶數(shù)時(shí)，P=----<-<—:

"515⑷512

綜上所述，當(dāng)〃22時(shí)，^.<—.

12

2023屆佛山二模?16

5.有〃個(gè)編號分別為1,2,3,…，〃的盒子，第I個(gè)盒子中有2個(gè)白球1個(gè)黑球，其余盒子均為I個(gè)白球1個(gè)

黑球，現(xiàn)從第1個(gè)盒中任取一球放入第2個(gè)盒子，再從第2個(gè)盒子中任取一球放入第3個(gè)盒子，以此

類推，則從第2個(gè)盒子中取到白球的概率是,從第〃個(gè)盒子中取到白球的概率是.

【答案】記事件兒表示從第i（i=l,2,…個(gè)盒子中取出白球，則p（A）=一,尸（4）二一，

33

P（4）=P（A&）+P（誦）=P（A）P（&IA）+P伍）P（4閭號：+抬=永

P(A)=P(4)P(4I4)+P區(qū))P(A周二；p(Aj+g吟，

p(4)=p(4)P(4iA)+P(Qp(4iA)=；p(A3)+g,

P(4)=!P(A“T)+:，尸(4)一：=「2(4-)一￡|,P(A)—：=]

35/」2o

_1是以，為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，P（A?）十村小。

尸(4)2J

1"1

m.)=—x+—.

23；2

2023?唐上調(diào)研

6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，?次由甲傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的

任何一人.設(shè)第攵次傳球后球在甲手中的概率為以，攵wN’，則下列結(jié)論正確的有（）

1

A.P1一°B./A=-C.P&十2P"|一1D.“2023,§

-3

【答案】Pl表示第1次傳球后球在甲手中的概率，所以P|=0,A選項(xiàng)正確.

P2表示第2次傳球后球在甲手中的概率，則〃2=一，B選項(xiàng)錯誤.

PA-I=PAX0+(1-A)X1?即0+2p*]=l,C選項(xiàng)正確.

4

11111111

PA-I=-TPA--=--PkPk--

，1是首項(xiàng)為-2，公比為一’的等比數(shù)列,

所以數(shù)列，pk--

32

1111

所以所以p*—■---X

3I2I0二3一丁2>

12022?11

“2023=--X—<-,D選項(xiàng)錯誤.

3322g3

2024屆武漢高三九月調(diào)研T16

7.甲，乙，丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，

若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3,則甲將球保留；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)

大于4,則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若股子點(diǎn)數(shù)大于3,

則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始時(shí)，球在甲手中，投擲n次骰子后（〃cN）,

記球在甲手中的概率為I”,則〃3Pn

倍)，〃=3"MeN

111<11Y

【答案】—2?U—4；,”=3火+1,女wN

24

5<11Y

—12?[—24),〃=32+2,丘N

【分析】結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，結(jié)合題意，利用列舉法和分類討

論，即可求解.

【詳解】由題意，當(dāng)投擲3次嵌子后，球在甲手中，共有4中情況：

其^率為gxI1

①：甲―甲一＞甲f甲,—x—

22-8

其概率為*/[A

②：甲?甲?乙?甲，

其概率為33；=春

③：甲-乙一甲一甲,

……1211

④：甲一乙T丙T甲,其極率為一x-x-=-

2326

所以投擲3次后，球在甲手中的概率為p、=—F—4---1—=.

81212624

記當(dāng)投擲〃-3次殷子后，球在甲手中的概率為幾.3,

再三次投擲后，即投擲〃次，球仍在甲手中的概率為幾，

,1、311r121111111〃11

則Pn=(-)2-3+7Pn-yX彳X2+X彳x1x3=$p,T+;pn_3+-pn_y+-P-=T7P“-3，即P，，=五P“T，

2o2232X1212o2424

pn11

即1=—

Pn324

…J11/、2115II

又因?yàn)椤?=1,四=/,〃2=(/)+-X-=—,P3=^

當(dāng)〃=3七&eN時(shí)，〃“=(工)"；當(dāng)〃=3攵+l,&eN時(shí)，〃“二2?(??)《；

24224

當(dāng)〃=3*+2,&cN時(shí)，凡《即,

f11

、n=3k、keN

<24

1f11

所以Pn=j--l—=3%+IMwN

A/lll

〃=3&+2?eN

12124J

2024屆?湖北荊荊恩高三9月起點(diǎn)聯(lián)考?21

8.甲、乙兩個(gè)盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取

一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)〃(〃wN)次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個(gè)數(shù)為X,，甲盒中

恰有2個(gè)黑球的概率為P”，恰有3個(gè)黑球的概率為％.

⑴求PM；

12

(2)設(shè)q=〃“+2鞏，證明：c,t+1=-cn+-；

j3

(3)求。的數(shù)學(xué)期望E(X“)的值.

52

【答案】(1)歷=§,[=5

(2)證明見解析，(3)2

【分析】(I)交換后甲盒有2黑球，說明兩個(gè)盒子相互交換1個(gè)白球或者交換1個(gè)黑球，若交換后甲盒有3黑

球，說明甲給乙白球，乙給甲黑球；

(2)根據(jù)全^率公式進(jìn)行求解；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論和期望公式進(jìn)行求解即可.

22115172

【詳解】(1)由題可知：Pi='?1+￡?￡=：，=O,7=Q

(2)〃次操作后，甲盒有一個(gè)黑球的概率aX,MDT-p,-%：由全榻率公式知：

P(X向=2)=P(X〃=l)P(Xe=2|X“=l)+P(X“=2)P(X”M=2|X“=2)+P(X”=3)尸(X川=2寓=3)

252

內(nèi)引=§.1.(1一〃“一%)+§P“+1

21

/Vl=---Pn

JX

p(X.“=3)=P(X“=2)p(Xg產(chǎn)3區(qū)=2)+尸(X.=3)P(X?+I=3|X“=3)

12.1

???4向

21

?4i=-/A,+-^

7J

21212

P“+i+2q“.i=§+§P“+y/=§(P“+2%)+§,

?12

即%+[=§%+§

121

(3),??c?=-c+-,.,.^-1=-(^-1)

+IJnJJ+1

r5c2?

又,?,<:1=P1+24r1=-+2-=l,

=即cn=pn+2qn=\

E(X”)=1?(1-p“-％)+2pn+3q,=1+pn+2qlt=2

9.2022年2月6R,中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝R本女足.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門

將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有3的可能

性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望;

⑵好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳

下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人,

如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為Pn,易知P,=1,生.

①試證明｛凡-；｝為等比數(shù)歹U；

②設(shè)第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為％,比較與小。的大小.

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=;：⑵①證明見解析：②/%＜為

【分析】(1)先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；

(2)遞推求解，記第〃次傳球之前球在甲腳下的^奉為凡，則當(dāng)〃N2時(shí)，第n-l次傳球之前球在甲腳下

的概率為Pi，滿足Pn=Pi?0+0-%Jg=Pn-i+1?

【詳解】(I)解析I:分布列與期望

依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為〃=?X!X3X1=!

3326

門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,I,2,3,

125i25

21672

x,X的分布列為:

6

(1)解析2：二項(xiàng)分布

門將每次可以撲出點(diǎn)球的稷率為〃=《二!，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)可能的

依題意可得,X!X3X1X

3326

、3-&

2,3,易知X~4(3,[(1A5

取值為0,1,,P(X=k)=C；x-x,〃=O,I,2,3.X的分布列為:

3

X0123

125255I

p

2167272Il6

期望E(X)=3x1=—.

62

(2)解析：遞推求解

①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為凡，則當(dāng)〃22時(shí)，第n-1次傳球之前球在甲腳下的概率為P“_1,

第n-l次傳球之前球不在甲腳下的概率為,則pn=，。+(1.1)?：=-；%.]+；,

從而%Pi一了)，又Pi一!==，，,[〃"一：1是以3為首項(xiàng).公比為一!的等比數(shù)列.

4314J44I4J43

②由①可知P"='(一；)+；，Ao+：<；，%()=鼻(1_〃10)>W，故Pio</o,

4^3/44\3/4434

2023?濟(jì)南開學(xué)考

10.甲、乙兩人進(jìn)行拋擲骰子游戲，兩人輪流地?cái)S一枚質(zhì)均勻的骰子.

規(guī)定：先擲出點(diǎn)數(shù)6的獲勝，游戲結(jié)束.

(1)記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為X，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結(jié)束時(shí)，X的分布列和期望;

(2)己知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率.

【解析】

(1)依題意，拋擲般子一次獲勝的概率p=1,X的可能值為1,2,3,4,

6

P(X=1)J,P(X=2)=(l-i｝xl=d

P(X=3)]」丫[=至，P(X=4)125

I6j6216I6J216

所以X的分布列為：

X1234

2525125

P

636216216

期望E(X)=lx，+2x2+3x25125671

+4x

216216216

(2)設(shè)甲拋擲第〃次骰子且不獲勝的事件的概率為凡(〃￡N').a,=1

5525

當(dāng)〃22時(shí),x-x-=—CI

6636'

因此數(shù)列｛4｝是以°為首項(xiàng)255(25、

二為公比的等比數(shù)列，a=-x—當(dāng)〃之2時(shí)，甲拋擲第〃次骰子

636"6I36J

511

515(251----X顯然當(dāng)〃=1時(shí)，6=,滿

且獲勝的事件的概率為P?=an_.X—X—=—X--666

666V36>6

1，25丫“

足上式，所以甲恰好拋n次骰子并獲得勝利的概率為己=HGN*.

6136>

2023屆?杭州二模

11.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言

處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，

X—,X,_1,X,,Xl+i,???,那么X,+］時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)X,,即

P（Xl+1|...,Xl_2,Xt_pXl）=P（Xl+I|xj.現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模

型.假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭藏可以嬴得1

元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)鬒元.賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情

況才會結(jié)束賭博游戲：?種是手中賭金為0元，即賭徒輸光：?種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止

賭博.記賭徒的本金為&八eN',4<8）元，賭博過程為如圖所示的數(shù)軸.當(dāng)賭徒手中有〃元

（0W〃w8〃eN）時(shí)，最終輸光的概率為。（〃），請回答下列問題：

0.50.5

―?——1——1_L--?——L^J——I-------------->

0JB

05（）5

（1）請直接寫出尸（0）與Q（B）的數(shù)值;

（2）證明｛0（〃）｝是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d：

（3）當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算8=200,5=1000時(shí)，尸（4）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)Bf+8時(shí)，

P（A）的統(tǒng)計(jì)含義.

【解答】（1）當(dāng)〃=0時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此。（0）=1.當(dāng)“=8時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再

賭了，因此輸光的梭率P（8）=0.

（2）記事件M=”賭徒有〃元是最后輸光的“，事件N二"賭徒有〃元下一場贏”，

由全概率公式，尸（M）二尸（N）-P（M|N）+P（H）P（M|N）,即p（〃）=gp（〃一++

所以P（??+l）-P（/i）=P（/i）-7D（/?-l）,所以｛2（〃）｝是一個(gè)等差數(shù)列.

設(shè)=則P（〃）—P（0）=/W,故尸（8）_p（0）=此得"=

A

（3）由。（A）—0（0）=Ad,即尸（A）=l+4d=l—萬，A=100,當(dāng)8=200時(shí)，P（A）=50%,當(dāng)

3=1000,P（A）=90%,當(dāng)8->+8時(shí)，P（A）-1,因此可知久賭無贏家，即便是一個(gè)這樣看似公平

的游戲，只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.

12.校足球隊(duì)中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者

都等可能的將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到。記

開始傳球的人為第1次觸球考，第〃次觸球者是甲的概率記為2,即［=1.

(1)求8；

(2)證明：數(shù)列［乙-；，為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.

【解析】

(1)由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個(gè)，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給

甲的概率為』，故己=」.

33

(2)第〃次觸球?yàn)榧椎母怕蕿樨埃?/p>

則當(dāng)〃之2時(shí)，第〃一1次觸球?yàn)榧椎臉O率為Ci，第〃一1次觸球不是甲的概率為1-Ei，

則匕=°Ri+g(l-月i)=g(l-K-J，從而月=T(匕7一；,

131131

又斤一一=-,所以〈心一:》是以二為首項(xiàng)，一一為公比的等比數(shù)列，

444J43

-89

D3(1Y'\.3(1Y11?3f1V11

匕=-x——+—，=-x——+->-,A=-x——

M4I3J4194t3/44-04V3j44

故第19次觸球者是甲的概率大.

2023屆?河北省衡水中學(xué)三調(diào)

13.學(xué)?；@球隊(duì)30名同學(xué)按照1,2,...?30號站成一列做傳球投籃練習(xí)，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)

則要求：第/〃(14〃?428.〃?￡N)號同學(xué)得到球后傳給〃7+1號同學(xué)的概率為。，傳給〃什2號同學(xué)的概率

為;,直到傳到第29號(投籃練習(xí))或第30號(投籃練習(xí))時(shí)，認(rèn)定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)

投籃命中的概率為：，3()號同學(xué)投籃命中的概率為與，設(shè)傳球傳到第〃(2<〃<30,〃eN)號的概率為匕.

⑴求A的值;

(2)證明：仍用一舄(2W〃W28)是等比數(shù)列；

(3)比較29號和30號投籃命中的概率大小.

222R

【詳解】(I)解：依題意，籃球傳至］4號有以下三種途徑：I號傳2號傳3號傳4號其概率為可又可乂鼻=百

DJD4，

212122

1號傳2號傳4號其概率為5X5=3；1號傳3號傳4號其概率為=g

因…此R”=一8+—2+—2=一20.

4279927

（2）解：依題意籃球傳到第〃-2號，再傳給〃號其概率為§匕一：

291

籃球傳到第〃一1號，再傳給〃號其概率為4匕1,因此有2=可？1+a匕2，

1、（\22A21

可得匕一匕T=一鼻（z匕_1一匕-2），且8一巴=K+QXQ-Q=d，

所以｛E,+「q｝是首先為"，公比為一;的等比數(shù)列?

⑶解：*，■，s貨獷，…，中守叱）,

…中T，…總

所以29號投籃命中的概率為

3。號投籃命中的概率為、鴻＜1%卜?4

所以29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率

2023屆?茂名一模

14.馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈?馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第〃+1次狀態(tài)的概

率分布只跟第〃次的狀態(tài)有關(guān)，與第〃-1，〃-2,〃-3,…次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子,

盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球.從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行

次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為X.,甲盒中恰有I個(gè)黑球的概率為巴，恰有2個(gè)黑球的

概率為2.

⑴求X1的分布列；（2）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（3）求兀的期望.

【答案】（1）答案見解析；（2）仆=3+2.:（3）1

【分析】（I）由題意分析X1的可能取值為o,I,2.分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到

I?3132I

〃"=—￡為+.，判斷出數(shù)列凡一2為以4-：=一去為首項(xiàng)，以一G為公比的等比數(shù)列即可求解；（3）利

211

用全概率公式求出4八'%求出"￡,進(jìn)而求出雙X”）.

【詳解】（1）（1）由題可知，X]的可能取值為（），1,2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知:

八\?22力/v11225212

Pn(/Xv=0)=-x-=-；P(X.=l)=-x-+-x-=-；PD(/Xv.=2)=-x-=-,

v1,339、,33339、7339

故為的分布列如下表:

X012

252

p

999

（2）由全概率公式可知:

尸(心=1)

=P(X?=l)-P(Xf,.1=l|Xo=l)+P(Xn=2)P(X^1=l|X?=2)

+P(x“=o).p(x”i|x〃=o)

=品+依卜(X“=l)+(|xl卜(X”=2)+(lx|卜(X.=0