專題5?4向量中的隱圓問(wèn)題

目錄

知識(shí)點(diǎn)梳理：構(gòu)隱圓的幾大角度.........................1

題型一定值圓（由模長(zhǎng)是定值構(gòu)造圓）.................3

題型二直徑圓（兩向量垂直構(gòu)造圓）.............8

題型三外接圓（定邊對(duì)定角構(gòu)造圓）.................14

題型四對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造圓...................................................................17

題型五向量與阿氏圓.....................................................................18

題型六向量圓（極化圓）….....................19

題型七其它隱圓22

題型八設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，構(gòu)造函數(shù)求最值.........................................................24

|知識(shí)點(diǎn)?梳理］

構(gòu)隱圓的幾大角度

角度一、定值圓（由模長(zhǎng)是構(gòu)造圓）

AP±AC^=AAP-AB-AC=2,都可以得出隱圓

記A,B,C為定點(diǎn)，若出現(xiàn)H=4,f

有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)c-a-Z?=入這種膨式，我們可以設(shè)Q=OA，b-OB>c=OC?也能轉(zhuǎn)化成上面第三種

形式

角度二、直徑圓

圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，因此當(dāng)兩個(gè)向量相互垂直時(shí)，可以選擇一個(gè)共同的起點(diǎn)，則該起點(diǎn)在以兩

個(gè)向量的終點(diǎn)構(gòu)成的線段為直徑的圓上.在向量問(wèn)題中，向量””的垂直條件體現(xiàn)為，（a,b）=90°a_Lb=O,

ab=O等.

角度三、外接圓（定邊定角）

均為定值時(shí)，可以構(gòu)造圓

在三角形中，若遇到一邊一對(duì)角問(wèn)題，可以考慮構(gòu)造此三角形的外接圓，從幾何的角度進(jìn)行解題.同樣的

道理，在向量問(wèn)題中，若兩個(gè)或三個(gè)向量可以構(gòu)造出一個(gè)三角形（如a,b,a-b）,且給出邊一對(duì)角的條件，

可以考慮構(gòu)造外接圓模型進(jìn)行解題.

角度四、四點(diǎn)共圓（對(duì)角互補(bǔ)）

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)南互補(bǔ)：反之，若某四邊形的對(duì)角和為180°,則該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.在向量問(wèn)題

中，只需有三個(gè)向量，選取1個(gè)共同起點(diǎn)，加上3個(gè)終點(diǎn)，便可構(gòu)成一個(gè)四邊形，若該四邊后滿足上述條

件，可以構(gòu)造“隱圓”模型進(jìn)行解題，四點(diǎn)共圓模型可以認(rèn)為是外接圓模型的延伸.

角度五、比例圓（阿波羅尼斯圓）

IP*

在平面上給定兩點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P滿足=入，則當(dāng)入＞0且人于1時(shí)，點(diǎn)P的枕跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱

IPBI

之為“阿波羅尼斯圓”.在向量問(wèn)題中，若|a|二人|b|（入＞0且入手1）,即兩個(gè)向量的模長(zhǎng)呈現(xiàn)一定的比例時(shí),

可以考慮構(gòu)造阿波羅尼斯圓進(jìn)行解題

角度六、向量圓（極化恒等式）

若巴4-尸4=/1（//。且HER），其中點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，A,8為兩個(gè)定點(diǎn)，則點(diǎn)P的枕跡為圓.

簡(jiǎn)證：取A8中點(diǎn)MPA-PB=PM2-AM2=A=＞PM2=PM2+A故尸M為定值

以此為突破口，可以將向量的最值與范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的最值與范圍問(wèn)題進(jìn)行求解.值得注意的是，在向

量問(wèn)題中PA.P8=/l也表示為（C—。）?（c—5）=4，其中。，。為定向量.

角度七、其它隱圓

極化恒等式和型：PA2+PR2=2

定理：若A，5為定點(diǎn)，尸滿足抬2+/＞爐=/1,則尸的軌跡是以45中點(diǎn)M為圓心，『一*為半徑的

圓。(2-LAB2>0)

2

證明：PA2+PB2=2[PM2+4AB）2]=A,所以、“一3"腔，即月的軌跡是以反中點(diǎn)用為圓心,

2PM=1--------

『一產(chǎn)為半徑的圓.

定募方和型

mPA2+PB2=/!

若A，B為定點(diǎn)，以，則夕的軌跡為圓.

mPA2+nPB2=2

證明：mPA2+PB2=n=>機(jī)[(x+c)2+y2]+[(x-c)2+)']=〃=>(m+l)(x2+>,2)+2c(m-l)x+(m+l)c2-n=0

、、2(m-\)cc2(m+\)-n八

=x-+)廣+—------x+-----------=0

m+1m+1

重點(diǎn)題型?歸類精講

定值圓（由模長(zhǎng)是定值構(gòu)造圓）

1.平面內(nèi)非零向量有同=3,W=4,a力=0且c-a-b=2,則同的最大值為

【答案】7

【解析】方法一幾何法：構(gòu)造圓，如下，則同的最大值為7

方法二向量不等式：

向量不等式補(bǔ)充：同向MH珊可*〃區(qū)帆+川反向，反向||同一同歸加+〃|?|同+同同向

記m=c,n=a-\-b,南側(cè)一同<—<同+同

c

4.平面內(nèi)非零向量4,〃，C,有|a|=3,|切=4,〃/=().且|c-a-切=2,則1。1的最大值為7

【解答】解：??,平面內(nèi)非零向量a,b,c,有1。1=3,|切=4,ab=O.

故可建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A(3,0),8(0,4),

設(shè)C(x.y),

因?yàn)閨。一。一〃|=2,

/.(x-3)2+(y-4)2=4,

即c表示以03,4)為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)，

因?yàn)镺O=JF==5，

故|c|的最大值為：5+2=7

5.已知心方是單位向量，“6=().若向量c?滿足|c-。-勿=1，則Icl的最大值是.

【答案】V2+1/1+V2

【解析】法一由4?/?=0,得a_L〃.

如圖所示，分別作OA=a,O8=。,作，OC=a+。，

由于a,〃是單位向量，則四邊形O4C8是邊長(zhǎng)為I的正方形，所以|0。|=四,

作op=C,則Ic一4一〃1=1OP-OCHCP\=\,

所以點(diǎn)P在以。為圓心，1為半徑的圓上.

由田可知，當(dāng)點(diǎn)。，C,尸三點(diǎn)共線且點(diǎn)。在點(diǎn)P,處時(shí)，|。尸|取得最大值夜十

故|：|的最大值是a+1,

故答案為：V2+1

法二由〃力=0,得a_L〃，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則。4=3=(1,0)3=6=(0,1],

i殳c=OC=(x,)，),由|(:一。一力|二1,

得(X-l)2+(y-l)2=|,

所以點(diǎn)c在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.

所以?.=夜+1

6.已知△ABC為等邊三角形，AB=2,AABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足AP-AN-AC=1,|AP|的最小

值為()

A0-1B.20-1C.2石-1D.V7-1

【答案】C

【解析】

法一：建系

A(O，G),B(-hO),C(LO),設(shè)p(x,y)

”二1,)'-@,=⑹.AC=(1，叫

AP-AB-AC=^x,y+y/3y\AP-AB-A(^=^AP-AB-AC^=x2+(y+>/3)2=1

則P到(0,—6)距離為1,則|力尸|最小值為26—I

法二：作點(diǎn)A關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)D,則有AB+AC=A/)

AP-AB-AC=AP-AD=Dfl=l,故P在以D為圓心的圓上運(yùn)動(dòng)

7.已知。|=21〃|=2石，ab=-3，若|c-a-b|=l,則?的取值范圍是()

A.(2,4)B.[2,4]

C.[G-1,G+1]D.[26-1,2指+「

【答案】B,解析咯

c-a-b=\,則的取值范圍是

8.已知平面向量a,hc滿足：a=b=2,ah=-2f

【答案】[0,4]

9.己知平面內(nèi)非零向量”/,c,滿足卜|=2,忖=3,a.b=3,若c?-28.c+8=0，則忖-3的

取值范圍是___.

【答案】[V7-1,^+1]

【解析】C2-2/?-C+8=0=>C2-2/?-C+/J2=1=>(/?-C)2=l=>|/?-c|=lPpBC=1

由余弦定理可得AC=J7,故歸一目的取值范圍是[五一1,近+1]

10.己知平面向量。，b,。滿足悶=3,\b\=\c\=2t則(〃-c)-S—c)的最大值是

【答案】20

【解析】如圖，記q=OA，b=OB，c=OC則5一0)xg—c)=C4?C5

固定C點(diǎn)，當(dāng)CB為直徑且CACB同向時(shí)有最大值，最大值為4X5=20

11.已知是〃、b是單位向量，。0=0，若向量C滿足|c-4+加=2,則|c|的最大值為

【答案】2+0

【解析】由4、人是單行向量，且入〃=0,則可設(shè)“=(1.0),/>=(0,1),c=(x,y),

所以c-〃+〃=(x-1,y+【)，

;向量c滿足卜一。+同=2,

???g_l)2+(>>+1)2=2,

即(工-1尸+()，+1)2=4,

它表示圓心為QLT),半徑為1=2的圓，

又|c|=&U表示圓上的點(diǎn)(X)，)到坐標(biāo)原點(diǎn)0(0,0)的距離，因?yàn)閨OC|=J1+(—I)，=0,

所以同皿=1明+-=2+&?

題I型S直徑圓(兩向量垂直構(gòu)造圓)

12.已知〃涉是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直單位向量，若向量c滿足m-C)3-c)=0,則|c|的最大

值為.

【答案】72

【辭析】

法一：幾何法

法二：代數(shù)法：(。一。)(0—C)=()ndS-e(d十力)十e2=0=>彳2=右.(〃十〃)

|c|2=|c|-a+Z?|-cos^=>|c|=p+Z?|-cos^<|a+Z?|=>/2

13.設(shè)向量4,〃滿足同邪"力=2,且m-d)S-c)=O,則〃S+c)的最大值等于.

【答案】7

簡(jiǎn)證:由同=W=a為=2,可得他今=60。,得到等邊三角形，

由［a-Q(Z?-3)=0,想到構(gòu)造圓

如圖，以等邊三角形的第三邊為直徑構(gòu)造一個(gè)圓，若向量c的起點(diǎn)向量a,力相同，則c的終點(diǎn)

，--5-

在圓上，d(h+c)=2+ac,由投影可知〃?2x^=5,故+c；)W2+5=7

14.己知向量a,b,c滿足：|a+b|=3,|c|=l且a-b+l=(a+b)?c,則|a—b|的取值范圍是____.

【答案】［1,5］

【解析】

C

BD

G

0A

【法一】：|a—b「二(a+b)“-4ab

=9-4[(a+b)-c-l]

=13-4|a+b|-|c|-cos^

=13-12cos0=>|a—b|G[1,5]

【法二】：ab+l=(a+b)c

ab+c2=(a+b)c

(c-a)-(c-b)=0

即C在以AB為直徑的圓上，且2r=|a—b|,

又,,,忖=1,OD=2,.*.OC=I

OG-OC<CG<OC+OG=>i<2r<5

：.|a-b|e[L5]

則口的最大值是（）

15.已知a,〃是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量0滿足(4-。>(2〃-<?)=0,

A.V2B.2C.6D.手

2

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)=OB=b,OE=2b,OC=c,

則"c=CA,2b-c=CE.

因?yàn)?a—c)?(2/?—c)=0,故CACE=0,故CAJ.CE,

所以C在以4七為直徑的圓上，故R的最大值為圓的直徑|A￡|=JH7=6，

故選：C.

16.己知a,》是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足卜-。?伍-2c）=0則Id的最大值是

【答案】4

【解析】因?yàn)?。力是平面?nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，

故不妨設(shè)4=（1,0）,〃=（0,1）,設(shè)c=（x,y）,

由（4-C）?伍-2c）=0得：（l-x,-j）（-2x,l-2y）=0,

即一2x（1-x）—），（1-2y）=0,即（工一《尸+（）,一：）2=三,

2416

則C的終點(diǎn)在以（!，!）為圓心，半徑為好的圓上，

244

17.若。也。都是單位向量，且aW=0,m-c、）,S-c）40,則,+匕-。|能的值為（）

A.72-1B.1C.72D.2

【答案】ABC

【解析】C在圓內(nèi)或圓上運(yùn)動(dòng)，a+h-c=OD-OC=CD<41

18.已知〃，方是平面上夾角為《的兩個(gè)單位向量，c在該平面上，且（，-。優(yōu)-。）=0,同取值

范圍為.

【答案】[^444

19.已知平面向量〃力，若|a|=4,|〃|=3,且々2=0.若向量c=3妨+4幼，且|d|=12&,則可二

；若向量”滿足（G-"），（"-。），則囿的取值范圍是_____.

【答案】1：[0,5]

20.（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）已知向量”，〃，c滿足：卜卜|"卜1，公,一〃）=g，僅一c）[3〃一c）=0,

則卜-d的最小值為（）

A.73-1B.6C,2D.1

【答案】A

【分析】建立平而坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示〃，〃，c,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)匕=O4=（l,0）,a=OA=（/",〃）,c=OC=（x,y）,則

I（1Y3

=—=>lH2--1+7f2=,且〃/+//二］,

解之得m=L〃=或"=--,

222

由（人一c）?（3力_<?）=0=（1_工,_）>（3_工,_卜）=（工―2）2+y2-1=0=>（x-2）'+y2=1,

即c的終點(diǎn)C在以0（2,0）為圓心，1為半徑的圓上，故,一。|=|。|,

由回的對(duì)稱性，不妨令〃=乎，即。=（3‘年），連接A。交圓于E,由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知

|沖網(wǎng)=|明—|所=/；—2）+悍）-1=73-1.

故選：A

21.已知平面向量4、b、6滿足：a與力的夾角為爭(zhēng)（C-〃）?（~）=0,同+同=2,記M是IT的最

大值，則M的最小值是______.

【答案】趙亡！

2

【解析】如圖，

令|a|二x,|〃|二y,|AB|=2r,\OE\=t,

則NAOB=q-,x+y=2?,

因?yàn)镺%=g(OA+OB\AB=OB-()A,

故有QAO8=|OE|2-；|4BF=-gg，=f2-/,

cosZ.AOB=---:------=>-xv=x~+y~-4廠=>4廠=(x+y)~-xy②，

2xy

由①②得戶=1--,從而『=r2=I--xy,xye(0,1],

424

因?yàn)閭饕弧??上一力)=0,所以4C18C,即點(diǎn)C在以48為直徑的圓￡上.

\c-a-b\^c-[a+b)\^OE+EC-2OE|=|EO+EC|<|EO\+\EC\,

M=lc-a-b[^=\EO\+\EC\=1+r=

當(dāng)且僅當(dāng)|a|=|A|=1時(shí)，即D=1時(shí)等號(hào)成立.

則上的最大值是()

22.已知是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(〃-c)S-c)=0,

A.IB.2

C.V2

【答案】C

【解析】設(shè)。A_LO8,且OA=a,O4=A,OC=c,。為線段48的中點(diǎn),

因?yàn)椴凡稺=l,所以AB=￡AZ)=等，

222

則(。一c)(b-c)=CA-Cli-|CD|-|D/I|=|CD|-1=O,所以|CD|=4，

所以點(diǎn)C在以。為圓心，半徑為乎的圓，所以口的最大值即為該圓的直徑,

所以［的最大值為&.

故選：C.

23.已知〃和人是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且卜⑷后，若向量c?滿足則的最大值是（）

A.4+，B.與1C.V2

D.6

【答案】B

【解析】如圖所示:

設(shè)。A=a，OB=b，OC=c，

則CA=a—c,CB=b-c,

因?yàn)?a-c)?(/2-c)=0,所以CA-C8=0,即C4_LC8.

所以。在以AB為直徑的圓上.

設(shè)A8的中點(diǎn)為。，因?yàn)閍和力是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，且〈4⑵=?,

所以|叫=1,=邛

=1。叫符

所以|c|

Imax

題理S外接圓（定邊對(duì)定角構(gòu)造圓）

24.已知向量圓〃滿足|〃|=1,們=6,若向量4一右與。一8的夾角為30°,則的最大值是

【答案】2幣

【解析】定邊對(duì)定角構(gòu)造圓

25.設(shè)向量a,〃,c滿足同=|司=2,a-b=-2,(a-c,%-c)=60。，則1的最大值等于

如圖所以，設(shè)OA=a,O3=〃,OC=e,則CA=a—c,C8=人—c,403=120。.

所以NAC8=60。，所以NAO8+NAC8=180°,所以AO,8,C四點(diǎn)共圓.

不妨設(shè)為圓M,因?yàn)锳B=b-a、所以A3=a2-2ab+b2=12,

所以|A,二2G,由正弦定理可得AAO4的外接圓即圓M的直徑為2R=-1^L=4.

sinZAOB

所以當(dāng)|OC|為圓M的直徑時(shí)，卜|取得最大值4.

26.已知向量4仇c滿足忖=蛔=2倉(cāng)＜〃力＞g(r).(c-6)=-l,則的最大值為

【答案】V2+1

【解析】設(shè)OA=aOB=0.OC=c,以04所在的直線為X軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,

*.*a|-4,|/j|-2\f2,<a,b>=-^-,

則4(4,0),8(2,2),設(shè)C(x,y),

(c-4)(C-Z?)=-1,...X2+y2-6x-2y+9=0,

即(x-3)?+G，-1)2=1,??.點(diǎn)C在以(3,1)為圓心，1為半徑的圓上,

,一4表示點(diǎn)4,C的距離，即圓上的點(diǎn)與44,0)的距離，

???圓心到4的距離為0,

.)卜-4|的最大值為正+L

27.平面四邊形A4c。中，A8=l,AC=g,AC_LA3,NADC言,則的最小值為（）

【答案】D

【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖,

所以AOA8=|4O||48|cos?Q=|AO||A8|cosq+4AQ)=-|AO||A8|sinNC4O二-|AD|sin/C4。，

因?yàn)镹AOC=1，即。在以4C中點(diǎn)。為圓心，0C為半徑的劣弧4c上，

所以要使人。.八4的最小，即IAD|sinZCAD最大即可，

由圓的性質(zhì)知：當(dāng)。為劣弧AC的中點(diǎn)時(shí)|AO|sinNC4D最大，義AC=6

此時(shí)|AQ|sin/CAQ=:，故AO?AB的最小值為

2_

圓對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造圓

28.設(shè)向量a,b,c滿足同二帶1,同似=-g,3。@-0=60°,則|c|的最大值等于.

【答案】2

【解析】由題設(shè)，cos<a,h>=—...=,JQ<a,b[0,zr],M'J<ah>=,

2y3

令a=OA力=OB,c=OC,則a—c=CA,Z?-c=C8,又(a—c,〃—c)=6(V,如下圖示:

所以=ZACB=y,則NAO4+NACB=4,故AQB,C共圓，

一?R=G=7

^\AIi\2=(b-a)2=b"-2ab+a=3,即|A3|=G,故外接圓直徑“一不一~

S，n3

對(duì)于|c|,當(dāng)OC為直徑時(shí)最大，即|c|a=2.

對(duì)角互補(bǔ)

29.已知平面向量db1滿足I萬(wàn)1=1,⑻=2,且@$=—1，若向量。一4,b-d的夾角為60。,則忖1的最大

值是______

141\

【答案】

3

【分析】由數(shù)量積公式得出NA依=120。，再由圓的性質(zhì)得出點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上運(yùn)動(dòng)，1。1的最大值是

的外接圓的直徑，由余弦定理以及正弦定理得出IcI的最大值.

【詳解】設(shè)a=PA,〃=4=PC,由1。1=1,1切=2,且,?=-],可得cosR/六三二一;,乙4尸8=120。,

NX[乙

因?yàn)橄蛄俊ㄒ籆,。-C的夾角為60°,即NAC8=60。，所以點(diǎn)C在優(yōu)弧4臺(tái)上運(yùn)動(dòng)，故Icl的最大值是.工8c的

外接圓的直徑，可算得48=』4+1-2x2xlx（_」]=J7,由正弦定理，直徑2/?="=至1.故|c|的

VI2）sin12003

最大值是2歷

故答案為：粵

向量與阿氏圓

30.在一ABC中，BC=2,若AB=&4C，則8。84的取值范圍是（）

A.（6-4>/2,6+4>/2）B.16-4夜,6+4拉]

C.（8-4>/2,8+4x/2）D.18-4夜,8+4五一

【答案】C

【詳解】以8c的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，8c所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則8（—1,0）,（7（1,0）.設(shè)點(diǎn)人（羽力"0）,由|陰=&慎。,

可得（x+l）2+y2=2[a-i『+y2],化簡(jiǎn)得（X—3）2+.y2=（2x/2）2（y^0）,

故點(diǎn)A的枕跡為圓（不包含與x軸的交點(diǎn)），記圓（x-31+y2=（2閭2與x軸的交點(diǎn)分別為加，N（M在N

的左側(cè)）則|陰二4-2及，|可即=4+2，5,

所以8c.助=|8。?忸4?cosZABC>15C|?|B/W|=8-4V2,8c?BAv|8cHBN|=8+4夜.

故選:C.

31.已知。力,c都是平面中的單位向量，且々.。=0,則|2。-”|+；。-〃的最小值是______,

【答案】叵

2

【解析】

2c-?|+|c-Z?=彌］+陽(yáng)卜2陷］+園＞2（卜6卜3陷

；|同=國(guó)，2（|阿+/陷卜2隰卜當(dāng)

題型旅向量圓（極化圓）

32.在平面內(nèi)，設(shè)A、3為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足:%/8=公（2為實(shí)常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.不能確定

【答案】A

【解析】設(shè)45=勿，以A8所在直線為x軸，A8的中垂線為N軸，建立直角坐標(biāo)系

如圖所示：

則A（一40）,4（40）設(shè)P（x,y）

PA-PB={-a-x,-y)(a-x,-y)=x2+y2-a2=k2

33.已知正方形48CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E,產(chǎn)分別為A。，8c的中點(diǎn)，如果對(duì)于常數(shù)4,在正方形A8C。

的四條i力上，有H.只有8個(gè)不同的點(diǎn)人使得PQP產(chǎn)=又成立，那么義的取信范闈是（）

A.(0,2]B.(0,2)C.(0,4]D.(0,4)

【答案】D

【解析】如圖所示,

PE+PF=2PO

設(shè)E戶的中點(diǎn)為。，則，兩式平方相減得4PEPF=4PO2-￡尸,所以PEPF=PO2=

PE-PF=FE

202=4+4,所以卜。卜萬(wàn)

由對(duì)稱性可知每個(gè)邊上存在兩個(gè)點(diǎn)P,所以點(diǎn)P在邊的中點(diǎn)和頂點(diǎn)之間,

故2V，1+4<272，解得0<N<4

34.如圖，梯形ABCO中，AB//CD,A3=2,CO=4,8c=4。=6,七和尸分別為A。與8c的中點(diǎn),

對(duì)于常數(shù)義，在梯形A8CD的四條邊上恰好有8個(gè)不同的點(diǎn)P,使得=成立，則實(shí)數(shù)丸的取值

范圍是

B.(H)

44

91

C.(~py)D.(——,——)

44204

【答案】D

【解析】以DC所在直線為x軸,。。的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則梯形的高為g=2,.,.4(―1,2)/(1,2),C(2,0)Q(—2,0),

(3)

1)當(dāng)〃在QC上時(shí)，設(shè)〃。;0)(-20<2),則,PF=

I，/

于是尸EPF=(一'

人2J4

.,.當(dāng)4=-：時(shí)，方程有一解，當(dāng)-(<4,?■時(shí)，人有兩解;

⑵當(dāng)。在A8上時(shí)，設(shè)0(x,2)(—14(1),則跖=1：7,-1),「F=

.?.當(dāng)之=一］時(shí)，方程有一解，當(dāng)_；<入一；時(shí)，九有兩解；

⑶當(dāng)夕在AD上時(shí)，直線4。方程為.y=2r+4,

設(shè)P(x,2什4)(-2<x<T),則尸E=-y-x,-2x-3,PF=(；x,-2x-3).

于是PE.P/7=-q(|-:+(-2x-3)2=5x2+12x+y=2,

Q1QQ1

/.當(dāng)^=--或-<二時(shí)，方程有一解,當(dāng)時(shí)，方程有兩解；

2U442x)4

⑷當(dāng)P在C。上時(shí)，由對(duì)稱性可知當(dāng)人=-等或時(shí)，方程有一解,

Q

當(dāng)-5<之<-7時(shí)，方程有兩解；

綜上,若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)P滿足PEPF=4成立，

貝卜.的取值范圍是卜與=

其它隱圓

35.已知48，C。四點(diǎn)共面，BC=2,AB2+AC2=20,CQ=3C4，則|BD|的最大值為

【答案】10

【解析】設(shè)AC=〃z,由題意可得：DC=3m、AB=720-后,

222

AC+BC-AB切-8

則：cosC=

2ACxBC2m

m+2>,20-〃?’

ABC構(gòu)成三角形,則：｛,----解--得：2</H<4,

1"-2]<v20-/zr

由余弦定理：

==j4+9，〃2-2x2x3/〃x^^,

V2/M

當(dāng)皿=4時(shí)，取得最大值為10.

36.正方形48。與點(diǎn)尸在同一平面內(nèi),已知該正方形的邊長(zhǎng)為1,K|E4|2+|PB|2=|PC|2,則|叫的取值

范圍為.

【答案】[2-72,2+72]

【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),B(l,0),C(l,l),D(0,l),

設(shè)點(diǎn)尸(X,)，)，則由儼A『+|P5『二|PC「，

^x24-/+(x-l)2+/=(x-l)2+(y-l)2,

整理得J+(y+l)2=2,

即點(diǎn)〃的軌跡是以點(diǎn)M（0,-l）為圓心，扭為半徑的圓,

圓心M到點(diǎn)。的距離為|ZW|=2，所以儼。|>=2-回P^L=2+72,

所以|PQ|的取值范圍是[2-JI2+J5].

故答案為：[2-72,2+72].

D

A

37.如圖，AA8C是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)。在AA8C所在的平面內(nèi)，且四問(wèn)依|2+|七|二。(〃為

A.當(dāng)。<〃<1時(shí)，滿足條件