第23章解直角三角形單元試卷2025.2026學年滬科版數(shù)學九年級上冊

一、選擇題

1.在△ABC中，已知ZC=90°,cosA=則Z.A等于()

A.30°B,45°C.60°D.90°

2.計算|l-tan60°|的值為()

A.1-V3B.0C.V3-1D.1--

3

3.如圖，把Z.BAC放在正方形網格紙中，則tanzF/lC的值為（）

4.如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，zC=90°,AC=6,。是AC上一點，若tan乙DBA=g

C.V2D.1

5.構建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結合〃思想的重要應用，在計算tanl5。時，如圖，在Rt△

ACB中，4c=90°,4ABC=30°,延長CB至點D,使BD=AB,連接AD,得4。=15°,

所以315。=5=*=—=2-后類比這種方法，計算tan22S的值為（）

CD2+V3

A

30°15°

A.V2+1B.V2-1C.V2

6.如圖，在離鐵塔150m的A處，用測傾儀測得塔頂B的仰角為*測傾儀高AD為1.5m,

則鐵塔的高BC為（）

B

A.(1.5+150tana)m(1.5+-

\tana/

C.(1.5+150sina)m?！皯襪

7.如圖所示，在四邊形ABCD中，Z.DAB=90°,AD//BC,BC=^AD,AC與BD交于點E,

AC1BD,貝ijtan/84c的值是()

C.g

8.如圖所示，AABC中，AB=AC=10,tanA=2,BELAC于點E,D是線段BE上的一個動

點，貝ijCD+^BD的最小值是（）

E

D

R匕-------------

A.26B.4V5C.5V3D.10

二、填空題

9.若a為銳角，sina=冷,貝Utana=.

10.如圖，在Rt△ABC中，Z,ABC=90°,BDLAC,垂足為點D,如果BC=4,siPDBC=j那

J

么線段AB的長是—.

A

K

11.如圖，在Rt△ABC中，LC=90°,AM是BC邊上的中線，sinzC/lM=-,則tanzF的值

5

為.

12.如圖，正方形ABCD的邊長為4,點M在邊DC上，M,N兩點關于對角線AC對稱，若

DM=1,則tanzzlD/V=.

13.在?次數(shù)學實驗活動中，老師帶領學生去測?條南北流向的河的寬度.如圖，某同學在河東岸點

A處觀測河對岸水邊有點C,測得C在4北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到達

D

105>

B

18.如圖，航母由西向東航行，到達A處時，測得小島C位于它的北偏東70。方向，且與航母相距

80海里，再航行一段時間后到達B處，測得小島C位于它的北偏東37。方問.如果航母繼續(xù)

航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行的距離BD的長.(參考數(shù)據：sin70°?0.94,

cos70°?0.34,tan70°?2.75,sin37°?0.60,cos37°?0.80?tan37°?0.75)

19.如圖，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD,甲，乙兩人分別在A,B兩處，甲測得點。的仰角為

45。，乙測得點C的仰角為60。，己知兩人使用的測角儀的高度AF,BG相等，且A,E三

點在一條直線上，48=8m,BE=15m,求廣告牌CD的高(精確到1m).

20.關于三角函數(shù)有如下的公式：

sin(a+夕)=sinacos，+cosasin/?,........①

cos(a+/?)=cosacosp—sinasin/?,........@

+……③

利用這的公式可將某曲不是特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如:

tanl05°=tan(45°4-60e)

_tan450+tan60°

l-tan45°tan600

_]+百

=(1W3)(1+V3)

一(1-V3)(1+V3)

=-(2+V3).

根據上面的知識，你可以選擇適當?shù)墓浇鉀Q下面的實際問題：

如圖，直升飛機在一建筑物CD上方4點處測得建筑物頂端D點的俯角a=60。，底端C點

的俯角0=75。，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42m,求建筑物CD的高.

答案

一、選擇題（共8題）

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

【解析】作于E,如圖所示，

由題意得&=45°,BC=AC=6,AB=672.

設AE=x,

則DE=x,AD=V2x,

vtanz.DBA=

???BE=5x,

:.x+5x=6V2,

解得x=V2,

則AD=V2x=2.

CB

5.【答案】B

【解析】思路分析：模仿題目中求半角三角函數(shù)的方法即可，22.50是45。的一半.

如圖.在Rt△ACR中.ZC=90°./.ARC=45°.

延長CB至點。，使BD=AB,連接AD,

得乙D=22.5°,

設4C=BC=1,則AB=BD=

???tan22.50=—=—二=V2—1.

CD1+V2

故選：.

A

6.【答案】A

【解析】思路分析：利用仰角a的三角函數(shù)計算即可.

過點4作AE1BC,E為垂足，如圖所示，

則四邊形ADCE為矩形，，4E=150m,

/.CE=AD=1.5m.

在Rt△ABE中，

BEBE

tana=-=—

AE150

:.BE=150tana?

BC=CEBE=(1.5+150tana)m.

故選：A.

7.【答案】C

【解析】vAD//BC,Z.DAB=90°,

二Z.ABC=180°-/,DAB=90°,Z.BAC+LEAD=90°.

AC1BD,

:./-AED=90°,

Z.ADB+Z.EAD=90°,

:.Z.BAC=Z.ADB,

ABCs△DAB,

AB^_B￡

'''DA~~AB'

?:BC=^AD,

:，AD=2BC,

AAB2=BCxAD=BCx2BC=2BC2,

AB=V2BC.

在RfABC中,tan?C吟=募=圣

8.【答案】B

【解析】如圖所示，作DH1AB于H,CMLAB于M.

?:BE1AC,

???Z.AEB=90",

設AE=a,BE=2a,則有100=a2+4a2,解得a=2遮或a=-2遍（舍去）,

???BE=2a=4V5.

-AB=AC,BELAC,CMJ.AB,

：.CM=BE=4V5.

vZ.DBH=Z.ABE,乙BHD=^BEA,

DHAE

???sm?^‘.D八BH=—=—=—?S

BDAB5

:.DH=yFD,

...CD+^BD=CD+DH,

.?.當H與M重合時，CD+DH的值最小,

.'.CD+^BD的最小值為4遍.

二、填空題（共6題）

9.【答案】V3

10.【答案】26

【解析】在Rt△BDC中，

BC=4,sinzD/yC=

3

?EBCxs…Ci瀉,

BD=\/BC2-CD2=—,

3

???AABC=90°,BDLAC.

Z.A=Z.DBC,

在Rt△ABD中，

BD4,5、，3r=

???AB=--=—x-=2oV5,

sinz/l32

故答案為：26.

11.【答案】;

12.【答案】\

13.【答案】30

14.【答案】\

【解析】???在△48C中，4871c=90°,AB=AC=5,

???Z.B=乙C,

vBE=3,AB=5,

AE=2,

?.?將AABC折疊，使點B落在AC邊上的點0處，

:?ABEF出>DEF,

???BE=DE=3,NB=乙EDF=Z-C,

Z.ADE+Z.EDF=Z.C+乙DFC,

:.Z.ADE=Z.DFC,

???sinzCFD=sin￡ADE=襄=二

DE3

三、解答題（共6題）

15.【答案】

原式=A/3—14-9—4X^

=8-V3.

原式=V3xV3+V2xy-3+1

(2)=3+1-3+-

2

=1?

16.【答案】

(1)在Zk/IBC中，zC=90°,4A=30°,BC=2,

AB=2BC=4,AC=y^BC=2Vs.

(2)在AABC中，Z-C=90°,tan/1=—,AB=6y/2,

4

BCx/2

就=7'

設BC=V2k,AC=4k,

:.AB=>/BC2+AC2=3岳=6vL

:.k=2,

：?BC=>/2k=2停AC=4k=8.

17.【答案】作BELAD于點E,

???Z.CAB=30",

???Z.ABE=60°,

vLABD=105°,

???乙EBD=45°,

:.Z-EDB=45°,

BE=DE=—BD=2km?

2

AE=y/3BE=2x/3km,

/W=4E+DE=（2+2x/3）km.

18.【答案】由題知：/-ACD=70°,乙BCD=37°,AC=80.

在Rt△ACD中