2025-2026學(xué)年度山東省滕州市張汪中學(xué)第一學(xué)期單元試題

八年級(jí)數(shù)學(xué)第一章勾股定理

一、單選題

1.以下列各組三條線段長(zhǎng)為邊，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,2,3B.5,12,13C.8,12,16D.7,20,25

2.在VA6C中，的對(duì)邊分別是則下列條件中不能說叨VA6C是直角三

角形的是（）

A.（47-Z?）=c2B.ZA=90°-ZZ?

C.a:b:c=l:2:3D.6ZA=2N8=3NC

3.如圖，一木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處.木桿折斷之前的高

C.9mD.10m

A8=8,則等腰VA4c的面積為（)

12D.13

5.如圖，三個(gè)正方形的面積分別為4,S2，S,且，=2§=3,則S的值為（：）

6.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A,8,C,。均在格點(diǎn)上，若從中任取二點(diǎn)構(gòu)成二角

形，則其中是直角三角形的有（）

A

?▼?——▼?——▼一——、

6…十…

:D

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

7.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則下列

結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

B

A.BC=5B.ZBAC=90°

C.VA4C的面積為10D.點(diǎn)A到直線4C的距離是2

8.如圖，在mA8C中，ZC=9O°,。為AC上一點(diǎn).若D4=O3=15,△A4O的面積為

90,則C。的長(zhǎng)是（）

C.12D.II

9.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8cm,16cm的長(zhǎng)方形紙片A8CO折疊，使點(diǎn)。與A重合，則

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

10.如圖，在四邊形A3CO中，AC/8D于點(diǎn)0,若AB=2CD=4,則人少+小不的，宜為

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

）

D

A.20B.24C.28D.30

二、填空題

11.在一直角三角形中，己知兩邊的長(zhǎng)是3、4,則第三邊的長(zhǎng)是.

12.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)3離點(diǎn)。的距離為5,一只螞蟻如果要

沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是.

13.如圖，以的三邊為直徑向外作半圓，其面積分別為，、S?、S、,若$3=1E,

14.凹四邊形/WC。的各邊長(zhǎng)度如題圖所示，已知N/UX*=90。，那么凹四邊形的面積

為.（其中40=8,8=6）

15.如圖所示，在乙ABC中，ZC=90°,將工ABC沿著AD翻折，使。點(diǎn)落在邊A8上的點(diǎn)E

處.BC=6,AC=8,則C。的長(zhǎng)為

的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得風(fēng)箏的垂直高度CE,他們進(jìn)行了如下操作：

①測(cè)得水平距離4。的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線AC的長(zhǎng)為25米;

③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米.

A\

(I)求風(fēng)箏的垂直高度CE；

(2)如果小明想風(fēng)箏沿C。方向卜降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？

20.如圖，在VA8C中，A。=61。=8,43=1(),。,石分別為邊人叫8。上的點(diǎn)，AE垂直平

，分CD,垂足為廣，連接CD,DE,AE.

(I)VA/比是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由：

⑵求BE的長(zhǎng).

21.在一-條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)4,B,其中A3=AC,由

于某種原因，由。到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水

點(diǎn)在一條直線上)，并新修一條路C”,測(cè)得C4=3千米，C”=2.4千米，”4=1.8

千米.

(1)問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明；

(2)求原來(lái)的路線4c的長(zhǎng).

22.如圖，在VABC中，ZACB=90°,AB=5cm,8c=3cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每

秒2cm的速度沿AfCTAfA運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(f>0).

(1)若點(diǎn)P在AC上，且滿足24=心，求出此時(shí)/的值；

(2)若點(diǎn)尸恰好在284C的平分線上，求，的值.

23.如圖①，在VABC中，若人4=6,AC=4,求邊上的中線A。的取值范圍.

【問題解決】

(1)解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使DE=AD，再連接酩(或?qū)?.ACD

繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到△E8。，把A3、AC,2Ao集中在中，利用三角形三

邊的關(guān)系即可判斷.由此得出中線A。的取值范圍是_______；

【應(yīng)用】

(2)如圖②，在VA8C中，點(diǎn)。為邊8c的中點(diǎn)，已知AB=10,AC=6,4)=4,求8c

的長(zhǎng)；

【拓展】

(3)如圖③，在VABC中，NC=90。，點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊AC上，過點(diǎn)。作

DN上DM交邊AC于點(diǎn)、N,連接MN.已知AM=1,BN=3,則MN的長(zhǎng)為.

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案

題號(hào)12345678910

答案BCBCBBCBAA

11.5或近

【分析】本題考查了勾股定理，分兩種情況：當(dāng)3、4均為直角邊時(shí)；當(dāng)3為直角邊，4為

斜邊時(shí)；利用勾股定理計(jì)算即可得解，熱練掌握勾股定理是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)3、4均為直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為疹衣=5，

當(dāng)3為直角邊，4為斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為"二三=近，

綜上所述，第三邊的長(zhǎng)是5或"，

故答案為：5或五.

12.25

【分析】本題主要考查幾何體的展開圖及勾股定理，熟練掌握幾何體的展開圖及勾股定理是

解題的關(guān)鍵.把長(zhǎng)方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開，或沿長(zhǎng)方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開，分別

計(jì)算48長(zhǎng)度進(jìn)行比較即可得到答案.

【詳解】由題意得：

①當(dāng)把長(zhǎng)方體按照正面和右側(cè)進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示：

，8。=15,AO=20,

，在Rl/\ADB中，AB2=BD~+AD2=625；

則A8=25；

②當(dāng)沿長(zhǎng)方體的右側(cè)和上面進(jìn)行展開時(shí)，如圖所示:

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

/.BD=25,AD=\O,

在RtAADB中，AB2=I3D2+AD2=725：

V725>625,

???一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)從需要爬行的最短距離是25,

由長(zhǎng)方體的特征可得其他路徑必定比①②兩種更遠(yuǎn)，故不作考慮；

故答案為：25.

13.3兀

【分析】本題考查圓的面積公式及勾股定理，設(shè)AC=2Z7.A8=2c,8c=2a,根據(jù)其=1E,

S?二8兀及勾股定理求出護(hù)，從而可求

【詳解】設(shè)AC=2ZJ,A8=2C,8C=〃,

則5=半5=苧㈤=耳，

2?2?2

VS3=1In,S?=8兀,

tz2=16,c2=22,

在RtZ^ABC中，(助)2+(2a『=(2c、y,

即。2+/=/,

，6=22-16=6,

.nb2

??c==37t9

12

故答案為：371.

14.36

【分析】本題考查的是三角形面積以及勾股定理的應(yīng)用，連接AC,過8作_LAC于M,

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

因?yàn)锳8=8C=13,所以AM=CM=《AC=gxlO=5,由勾股定理計(jì)算AC,8W,凹四邊形

的面積=S"c-S八女，由此解答本題.

【詳解】解：連接AC,過3作8WJ.AC于M,

VZADC=90°,AO=8,CD=6

，AC2=82+62=102，

解得AC=10（負(fù)值舍棄），

VAB=BC=\3,BMLAC,

AM=CM=-AC=-x\0=5,

22

/.BM2=AB2-AM2=132-52=122,即BM=12,

，凹四邊形的面積為=5加「S/MULBM?人。一1八。。。=,乂10x12—2x6x8=36,

2222

故答案為:36.

15."

33

【分析】本題考查了折疊問題以及勾股定理，運(yùn)用折疊的性質(zhì)以及勾股定理列方程求解是本

題的關(guān)鍵.勾股定理求得A8=10,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=AC=8,CD=CE,設(shè)CO=〃，

則￡>E=a,BD=6—a,進(jìn)而在RtBDE中,BE2+DE1=BD2^根據(jù)勾股定理列出方程，

解方程，即可求解.

【詳解】解：在Rt.AAC中，BC=6,AC=S,

'AB=y]AC2+BC2=10,

,折疊，C點(diǎn)落在邊A8上的點(diǎn)E處，

:.AE=AC=S,CD=DE,Z4￡O=NC=90。，

:.BE=AB-AE=2,

設(shè)CD=〃，則OE=〃，BD=6-a,

在RtBDE中,RE2+DF2=RD2,

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

即22+?2=(6-?)2,

解得〃=

二吟，

故答案為：I

16.1.23

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，利用AAS可證，絲，ABC,

得到6=4月，jiTTnnJWDE2+AB2=DE2+CD2=CE2=1.44,即得S3+S4=1.44,同理可

得S1+S2=l.0,邑+邑=1.21,據(jù)此即可求解，由全等三角形得到8=人笈是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，,/ZEDC=ZABC=ZACE=9()°,

???ZECD+ZACB=ZCAB+ZACB=9()°,

/.NECD=NCAB,

在.CDE和VA4C中，

NEDC=NCBA

<Z.ECD=ZCAB,

EC=CA

工..C。匡4BC(AAS),

ACD=AB,

DE2+AB2=DE2+CD2=CE2=1.44,

即§3+54=1.44,

同理可得S|+S2=L0,5.4-5.=1.21,

/.S,+52+S3+54=1.0+1.44=2.44.

AS,+S4=2.44-1.21=1.23,

故答案為：1.23.

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

17.（1）圖見解析

（2）圖見解析

【分析】本題格點(diǎn)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等.

（1）如圖①中，取格點(diǎn)E，連接CE交A8于點(diǎn)。，線段C。即為所求.根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)相等

可判定.4V8,推出NMEC=N248,進(jìn)而可證NADC=90。；

（2）如圖②中，利用格點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形A8H,8”交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求

【詳解】（1）解：如圖①中，線段CO即為所求；

圖①

（2）解：如圖②中，構(gòu)造等腰直角三角形A3”,交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)E即為所求.

（2）6平方米

【分析】本題考杳勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用；

（1）直角三角形48c中，利用勾股定理解出AC=2.5,再利用勾股定理的逆定理判斷.ACD

是直角三角形；

（2）由S陽(yáng)影部分=S,皿-。皿，結(jié)合三角形面積公式解答.

【詳解】（I）解：直角三角形ABC中，

、：BC=6,AB=6.5,ZACB=90°

/.AC=y）AB2-BC2=V6.52-62=2.5，

???AD=2,CD=1.5,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

/.22+1.52=6,25=2.52,

AD2+CD2=AC2,

AAC。是直角三角形：

⑵s陰影部分=SABC-SACD

=-ACBC--ADCD

22

=—x2.5x6-■-x2x1.5

22

=6（平方米）.

19.(1)風(fēng)箏的高度CE為21.6米

(2)他應(yīng)該往回收線8米

【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：

(1)利用勾股定理求出CO的長(zhǎng)，再加卜.力￡的長(zhǎng)度，即可求出CE的高度:

(2)根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：在RtZXCOB中，

由勾股定理得，=25?-152=400,

所以，CD=20(負(fù)值舍去)，

所以，CE=C￡>+DE=20+1.6=2L6(米)，

答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米；

(2)解：由題意得，CM=12,

.?.=\lDM2+BD2=VS2+I52=17（米），

/.BC-BM=25-17=8（米）,

???他應(yīng)該往回收線8米.

答案笫6頁(yè)，共12頁(yè)

20.(l)VAOE是直角三角形，理由見解析；

(2)跖的長(zhǎng)為5.

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質(zhì).

(1)運(yùn)用勾股定理逆定理得到VA8C是直角三角形，且NAC8=90。，再證明

必C比.4。研SSS),由此即可解答；

(2"艮據(jù)題意得至ij6￡>=A6-Ar)=l()-6=4,DE=8-BE,/BDE=90°,在Rt^BDE中,

由勾股定理得BD2+DE2=BE2，由此列式求解即可.

【詳解】(1)解：VAOE是直角三角形，

理由：?.AC=6,BC=8,AB=10,

AC2+BC2=IOO=AB\

.〈ABC是直角三角形，且NACB=90。，

?.?人石垂直平分。。，

AC=AD,CE=DE,

在AACE和VAOE中，

AC=AD

<AE=AE,

CE=DE

.二AC加工AZ)E(SSS),

:.ZADE=ZACB=90°,

.?.VADE是直角三角形；

(2)解：由(1)知A力;AC=6,CE=DE,ZADE=90°,

:,BD=AB-AD=\0-6=4,DE=8—BE,ZBDE=%。,

在RtZ\BDE中，由勾股定理得/比)2+。爐=BE2,

即42+(8-BE)2=BE2,

解得BE=5,

「.BE的長(zhǎng)為5.

21.(1)C”是從村莊C到河邊的最近路，理由見解析

(2)2.5千米

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，垂線段的性質(zhì)，證明C/78是直角三角形是解題的

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理的逆定理證明4c”8是直角三角形，可得CHJ.4B,由垂線段最短，可

知C”是從村莊C到河邊的最近路；

(2)利用勾股定理解RtZXCAM即可.

【詳解】(1)解：C”是從村莊C到河邊的最近路，理由如下：

222

vCB=3fCH=2.4,HB=1.8,2.4+1.8=9=3?

CH2+HB2=CB2,

二CHB是直角三角形,其中NCHA=90。，

/.CH±AB,

二?CH是從村莊C到河邊的最近路

(2)解：設(shè)AC=AB=x,則A”=A8—8"二工一1.8,

在中，AH2+CH2=AC\

(1.8)2+2.4?=jr2,

解得x=2.5,

即原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為2.5千米.

22.(1)^|

16

⑵|或6

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，熟練掌

握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)勾股定理求出AC=4cm,繼而得到PC=AC-P4=(4-2/)cm,得到

2

(2/)-=(4-2r)-+3,求出r=布;

(9)當(dāng)點(diǎn)。在的角平分線上，作莊于點(diǎn)E,證明-AC&AAEP(AAS).得到

AE=AC=4cmf得出8P=(7—2/)cm,PE=PC=(2/-4)cm,根據(jù)勾股定理得到

(7-2t)2=(2/-4)2+l2,求出；當(dāng)點(diǎn)/＞到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，/=土芋=6,

即可得到答案.

【詳解】(1)解：ZAC8=90。，AB=5cm,8C=3cm.

22

/.AC=JAR-RC=X/.52-32=4Cm

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

PA=2/（cm）,PA=PB,

:.PC=AC-PA=（4-2l）cn\,

VPB2=PC2+BC2，

,-.（2/）2=（4-2/）2+32,

25

t=一,

16

25

??當(dāng)，二77時(shí)，PA=PB;

16

（2）解：當(dāng)點(diǎn)尸在NBA。的角平分線上，如圖，作PE工AB于點(diǎn)E,

ZAEP=ZACP=90°,ZC4P=4EAP、PC=PE,

Z.CAP=ZEAP

在jCAP和-E4P中，ZACP=ZAEP,

PC=PE

.\.ACP^AEP（AAS）,

AE=AC=4cm,

:.BE=AB-AE=5-4=\cm,

AC+CP=（2/）cm,

BP=（AC+^C）-2/=（7-2/）cm,PE=PC=（2/-4）cm,

-BP2=PE2+I3E2^

/.（7-2t）2=（2/-4）2+l2,

8

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，，=安產(chǎn)=6,

綜上，當(dāng)f=g或/=6時(shí)，點(diǎn)P恰好在一胡。的角平分線上.

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

23.(I)\<AD<5(2)4713(3)MN=M

【分析】(1)根據(jù)C4p絲?班普(SAS),得到帆=AC,利用三角形三邊關(guān)系定理解答即可.

(2)延長(zhǎng)人。到點(diǎn)G；使QG=AO,連接BG.證明△CAD^^GO(SAS),

得到A8=10,BG=6,AG=2AD=8,根據(jù)勾股定理的逆定理，證明NC4O=NG=