2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽最大公約數(shù)試卷一、選擇題（每題4分，共40分）下列各組數(shù)中，最大公約數(shù)為1的是（）A.24和36B.15和28C.21和49D.12和18已知正整數(shù)a、b滿足gcd(a,b)=6，且a=24，則b不可能是（）A.18B.30C.42D.54若兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是8，最小公倍數(shù)是96，則這兩個(gè)數(shù)的和可能是（）A.56B.80C.104D.120設(shè)m=23×32×5，n=22×3×7，則gcd(m,n)的值為（）A.12B.24C.36D.60對(duì)于任意正整數(shù)k，gcd(k+3,k-3)一定能整除的數(shù)是（）A.3B.6C.9D.12若gcd(a,18)=6，gcd(a,24)=8，則a的最小值為（）A.24B.36C.48D.72已知a、b為正整數(shù)，且a+b=40，gcd(a,b)=5，則滿足條件的(a,b)共有（）A.2組B.3組C.4組D.5組計(jì)算gcd(1+2+3+…+2025,2025)的結(jié)果是（）A.2025B.1013C.675D.335若三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的最大公約數(shù)為1，則這三個(gè)數(shù)可能是（）A.15,16,17B.21,22,23C.25,26,27D.28,29,30已知gcd(a,b)=d，且a=md，b=nd（m,n互質(zhì)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.gcd(m,n)=1B.gcd(a,m)=dC.gcd(b,n)=dD.gcd(m,d)=1二、填空題（每題5分，共30分）若gcd(2x-1,3x+2)=5，則x的值為_(kāi)_______。已知正整數(shù)a、b滿足a=3b+2，且gcd(a,b)=4，則a+b=________。一個(gè)三位數(shù)，它與12的最大公約數(shù)是6，與18的最大公約數(shù)是9，則這個(gè)三位數(shù)最小是________。計(jì)算gcd(2025,2024!)=________（注：2024!表示2024的階乘）。若四位數(shù)2025與正整數(shù)n的最大公約數(shù)是15，則n的最小值為_(kāi)_______。已知gcd(a,b)=3，gcd(a,c)=4，gcd(b,c)=5，則a、b、c的最小公倍數(shù)是________。三、解答題（共50分）（10分）用輾轉(zhuǎn)相除法求gcd(12345,6789)，并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。（12分）已知正整數(shù)a、b、c滿足：①gcd(a,b)=2，gcd(b,c)=3，gcd(a,c)=4；②a+b+c=140。求a、b、c的值。（14分）證明：對(duì)于任意正整數(shù)n，gcd(n2,n+1)=1。（14分）某班級(jí)學(xué)生人數(shù)在50~60之間，若每6人一組則余4人，每8人一組則余6人，每12人一組則余10人。求該班級(jí)的學(xué)生人數(shù)，并說(shuō)明理由。四、拓展題（共20分）（10分）已知正整數(shù)m、n滿足gcd(m,n)=1，且m+n=2025，求m×n的最大值。（10分）若p是質(zhì)數(shù)，且gcd(p+1,p2+2p-3)=d>1，求p的值及對(duì)應(yīng)的d。參考答案及解析（部分）選擇題B（解析：15=3×5，28=22×7，互質(zhì)）C（解析：設(shè)兩數(shù)為8a、8b，ab=12，a+b=13時(shí)和為8×13=104）填空題13（解析：2x-1=5k，3x+2=5m，消元得x=5(m-k)-5，k=5時(shí)x=13）解答題輾轉(zhuǎn)相除法：12345÷6789=1...55566789÷5556=1...12335556÷1233=4...6241233÷624=1...609624÷609=1...15609÷15=40...915÷9=1...69÷6=1...36÷3=2...0∴gcd(12345,67