2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與信息隱藏試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列實(shí)數(shù)中，為無理數(shù)的是（）A.$\sqrt{4}$B.$\sqrt[3]{8}$C.$\pi$D.$3.1415926$若點(diǎn)$A(2m-1,3)$與點(diǎn)$B(4,2n+1)$關(guān)于$x$軸對稱，則$m+n$的值為（）A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績?nèi)缦卤硭?，其中成績?yōu)?0分的頻率是（）|成績（分）|60以下|60-69|70-79|80-89|90-100||------------|--------|-------|-------|-------|--------||人數(shù)|3|7|12|18|10|A.0.18B.0.36C.0.54D.0.72若關(guān)于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則$k$的取值范圍是（）A.$k<1$B.$k>1$C.$k\leq1$D.$k\geq1$如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=3$，$BC=4$，以點(diǎn)$C$為圓心，$r$為半徑作圓，若$\odotC$與斜邊$AB$相切，則$r$的值為（）A.2B.2.4C.3D.4函數(shù)$y=\frac{\sqrt{x+2}}{x-3}$中，自變量$x$的取值范圍是（）A.$x\geq-2$且$x\neq3$B.$x>-2$且$x\neq3$C.$x\geq-2$D.$x>-2$下列計(jì)算正確的是（）A.$a^3+a^2=a^5$B.$(a^3)^2=a^5$C.$a^3\cdota^2=a^6$D.$a^6\diva^2=a^4$如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，若$AD:DB=1:2$，則$\triangleADE$與$\triangleABC$的面積比為（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9某商店銷售一種商品，每件進(jìn)價(jià)為$a$元，售價(jià)為$b$元，每天可銷售$c$件．若售價(jià)每降低1元，每天可多銷售2件．為了獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為（）A.$b-\frac{c}{4}$B.$b-\frac{c+2a}{4}$C.$\frac{a+b}{2}$D.$\frac{a+b+c}{3}$二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）分解因式：$x^3-4x=$__________．若$a+b=5$，$ab=3$，則$a^2+b^2=$__________．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是__________．如圖，在$\odotO$中，弦$AB=8$，半徑$OA=5$，則圓心$O$到弦$AB$的距離是__________．從$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$這五個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)作為$x$的值，使得分式$\frac{x^2-1}{x+1}$有意義的概率是__________．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(1,0)$，$B(0,2)$，以點(diǎn)$A$為圓心，$AB$長為半徑畫弧，交$x$軸正半軸于點(diǎn)$C$，則點(diǎn)$C$的坐標(biāo)是__________．三、解答題（本大題共8小題，共96分）（本題滿分10分）計(jì)算：$(\sqrt{3}-2)^0+(-1)^{2025}+\vert-2\vert-\tan60^\circ$．（本題滿分10分）解不等式組：$\begin{cases}5x-1<3(x+1)\\frac{2x-1}{3}-\frac{5x+1}{2}\leq1\end{cases}$，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（本題滿分10分）先化簡，再求值：$\left(\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x^2-2x}\right)\div\frac{x+2}{x^2-x}$，其中$x$是方程$x^2-3x+2=0$的根．（本題滿分12分）如圖，在平行四邊形$ABCD$中，點(diǎn)$E$、$F$分別在邊$AB$、$CD$上，且$AE=CF$．求證：$DE=BF$．（本題滿分12分）某校為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果分為“非常喜歡”、“喜歡”、“一般”、“不喜歡”四個(gè)等級，分別用$A$、$B$、$C$、$D$表示．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）若該校共有學(xué)生2000人，估計(jì)“非常喜歡”課外閱讀的學(xué)生人數(shù)．（本題滿分12分）如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，點(diǎn)$D$是$AB$的中點(diǎn)，以$CD$為直徑作$\odotO$，交$AC$于點(diǎn)$E$，交$BC$于點(diǎn)$F$．（1）求證：$AE=BF$；（2）若$AC=6$，$BC=8$，求$\odotO$的半徑．（本題滿分14分）某商場計(jì)劃購進(jìn)$A$、$B$兩種商品，若購進(jìn)$A$商品20件和$B$商品15件，共需3800元；若購進(jìn)$A$商品15件和$B$商品10件，共需2800元．（1）求$A$、$B$兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商場準(zhǔn)備用不超過10000元購進(jìn)這兩種商品，且$A$商品的數(shù)量不少于$B$商品數(shù)量的2倍，問最多能購進(jìn)$A$商品多少件？（本題滿分16分）如圖，拋物線$y=ax^2+bx+c$經(jīng)過點(diǎn)$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)$P$是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)$P$作$PD\perpx$軸于點(diǎn)$D$，交直線$BC$于點(diǎn)$E$．當(dāng)點(diǎn)$P$在第一象限時(shí)，求線段$PE$的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)$Q$，使得$\triangleBCQ$是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．四、信息隱藏綜合題（本大題共2小題，共30分）（本題滿分15分）在密碼學(xué)中，常將英文字母轉(zhuǎn)化為數(shù)字進(jìn)行信息傳遞，如$a=1$，$b=2$，$\cdots$，$z=26$．現(xiàn)有一種“數(shù)學(xué)密碼”，其加密規(guī)則如下：規(guī)則1：將明文中的每個(gè)字母對應(yīng)的數(shù)字$x$，按照$y=2x+3$進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到密文數(shù)字$y$；規(guī)則2：若轉(zhuǎn)換后的密文數(shù)字$y>26$，則減去26的整數(shù)倍，使其落在1-26之間．（1）若明文為“math”，求對應(yīng)的密文；（2）若密文為“3152311”，求對應(yīng)的明文．（本題滿分15分）如圖，在$4\times4$的方格紙中，每個(gè)小方格的邊長為1，點(diǎn)$A$、$B$、$C$、$D$均在格點(diǎn)上．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出點(diǎn)$A$、$B$、$C$、$D$的坐標(biāo)；（2）將$\triangleABC$繞點(diǎn)$C$順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$90^\circ$得到$\triangle