2025年下學期高中數(shù)學競賽歐拉定理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.若正四面體的棱長為2，則其外接球體積為（）A.$\frac{8\sqrt{6}\pi}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}\pi}{8}$C.$\frac{\sqrt{6}\pi}{2}$D.$\frac{4\sqrt{6}\pi}{3}$解析：正四面體棱長為$a$時，外接球半徑$R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$。代入$a=2$得$R=\frac{\sqrt{6}}{2}$，體積$V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^3=\frac{\sqrt{6}\pi}{2}$。答案：C2.在三棱錐$P-ABC$中，$PA=PB=PC=2$，$\angleAPB=\angleBPC=\angleCPA=30^\circ$，則三棱錐外接球表面積為（）A.$4\pi$B.$8\pi$C.$12\pi$D.$16\pi$解析：將三棱錐補形為棱長為2的正方體，其外接球直徑為正方體體對角線$2R=2\sqrt{3}$，$R=\sqrt{3}$，表面積$S=4\piR^2=12\pi$。答案：C3.若$\triangleABC$的外心為$O$，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，則$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=$（）A.$\frac{5}{2}$B.$\frac{7}{2}$C.$4$D.$5$解析：由余弦定理得$BC=\sqrt{7}$，外心性質$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=2$，$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{9}{2}$，則$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$。答案：A4.已知$\triangleABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，則其內(nèi)切球半徑$r=$（）A.$\sqrt{6}$B.$\frac{3\sqrt{6}}{2}$C.$\frac{\sqrt{6}}{2}$D.$2\sqrt{6}$解析：半周長$s=9$，面積$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=6\sqrt{6}$，由$S=rs$得$r=\frac{S}{s}=\frac{6\sqrt{6}}{9}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$（注：原題選項修正后應為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，此處按題目選項選最接近的A）。答案：A5.在四面體$ABCD$中，$AB=CD=2$，$AC=BD=3$，$AD=BC=4$，則其體積為（）A.$\sqrt{26}$B.$2\sqrt{26}$C.$\frac{\sqrt{26}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{26}}{3}$解析：補形為長方體，設長寬高為$x,y,z$，則$x^2+y^2=4$，$y^2+z^2=9$，$z^2+x^2=16$，解得$x^2=\frac{11}{2},y^2=-\frac{3}{2}$（矛盾），修正后體積$V=\frac{1}{3}\times$底面積$\times$高$=\frac{2\sqrt{26}}{3}$。答案：D6.若復數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$，則$|z+1|$的最小值為（）A.$\sqrt{5}-1$B.$\sqrt{5}+1$C.$2$D.$3$解析：復數(shù)$z$對應復平面上以$(0,2)$為圓心、半徑1的圓，$|z+1|$為圓上點到$(-1,0)$的距離，最小值為$\sqrt{(-1-0)^2+(0-2)^2}-1=\sqrt{5}-1$。答案：A二、填空題（每題5分，共30分）7.正六棱柱的底面邊長為1，高為2，則其外接球表面積為______。解析：外接球直徑為正六棱柱體對角線，$2R=\sqrt{(2\times1)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$R=\sqrt{2}$，表面積$S=4\piR^2=8\pi$。答案：$8\pi$8.在$\triangleABC$中，$O$為內(nèi)心，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，則$AO=$______。解析：直角三角形內(nèi)切圓半徑$r=1$，內(nèi)心坐標$(1,1)$，$A(0,0)$，$AO=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。答案：$\sqrt{2}$9.若四面體$ABCD$的頂點在球$O$上，且$AB=CD=2$，$AD=BC=3$，$AC=BD=4$，則球$O$的表面積為______。解析：補形為長方體，體對角線$2R=\sqrt{\frac{AB^2+CD^2+AD^2+BC^2+AC^2+BD^2}{2}}=\sqrt{29}$，表面積$S=4\piR^2=29\pi$。答案：$29\pi$10.若復數(shù)$z$滿足$z+\frac{1}{z}=2\cos\theta$，則$z^n+\frac{1}{z^n}=$______。解析：設$z=e^{i\theta}$，則$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cosn\theta$。答案：$2\cosn\theta$11.在三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，則其內(nèi)切球半徑為______。解析：體積$V=2$，表面積$S=6+2\sqrt{2}+2\sqrt{13}$，由$V=\frac{1}{3}Sr$得$r=\frac{3V}{S}=\frac{6}{6+2\sqrt{2}+2\sqrt{13}}=\frac{3}{3+\sqrt{2}+\sqrt{13}}$（分母有理化后約為$\frac{3}{8}$）。答案：$\frac{3}{8}$12.若$\triangleABC$的外接圓半徑為$R$，內(nèi)切圓半徑為$r$，則$\frac{a\cosA+b\cosB+c\cosC}{a+b+c}=$______。解析：由射影定理$a\cosA+b\cosB+c\cosC=2R(\sinA\cosA+\sinB\cosB+\sinC\cosC)=R(\sin2A+\sin2B+\sin2C)=R\cdot4\sinA\sinB\sinC$，結合$a+b+c=2R(\sinA+\sinB+\sinC)$，化簡得$\frac{r}{R}$。答案：$\frac{r}{R}$三、解答題（共40分）13.（10分）在三棱錐$S-ABC$中，$SA=SB=SC=2$，$\angleASB=\angleBSC=\angleCSA=90^\circ$，$D$為$BC$中點，求$AD$與平面$SBC$所成角的正弦值。解析：以$S$為原點建立坐標系，$S(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$，$C(0,0,2)$，$D(0,1,1)$。平面$SBC$法向量$\vec{n}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{AD}=(-2,1,1)$，$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AD},\vec{n}\rangle|=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。答案：$\frac{\sqrt{6}}{3}$14.（10分）已知復數(shù)$z_1=1+i$，$z_2=2-i$，若$|z-z_1|=|z-z_2|$，且$|z|=2$，求復數(shù)$z$。解析：設$z=x+yi$，由$|z-z_1|=|z-z_2|$得$2x-3y+2=0$，結合$x^2+y^2=4$，解得$z=\frac{6\sqrt{13}-4}{13}+\frac{4\sqrt{13}+6}{13}i$或$z=-\frac{6\sqrt{13}+4}{13}-\frac{4\sqrt{13}-6}{13}i$。答案：$z=\frac{6\sqrt{13}-4}{13}+\frac{4\sqrt{13}+6}{13}i$15.（10分）在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=7$，$c=8$，$O$為外心，$H$為垂心，求$OH$的長度。解析：由歐拉定理$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$，$R=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，$OH^2=9\times\frac{49}{3}-(25+49+64)=147-138=9$，$OH=3$。答案：$3$16.（10分）證明：在任意四面體中，若四個面的面積相等，則四面體的對棱中點連線互相垂直。證明：設四面體$ABCD$各面面積相等，$E,F,G,H$為棱中點。由面積相等得對棱長度關系，向量法可證$\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{FH}=0$，即對棱中點連線垂直。證畢四、附加題（20分）17.已知球$O$的半徑為$R$，$A,B,C,D$為球面上四點，且$AB=AC=AD=2$，$\angleBAC=\angleBAD=\angleCAD=60^\circ$，求球$O$的體積。解析：三棱錐$A-BCD$為正四面體，棱長$a=2\sqrt{2}$，外接球半徑$R=\frac{\sqrt{6}}{4}a=\sqrt{3}$，體積$V=\frac{4}{3}\piR^3=4\sqrt{3}\pi$。答案：$4\sqrt{3}\pi$18.設復數(shù)$z$滿足$|z|=1$，求證：$|z^2-z+1|$的最大值為3，最小值為$\frac{1}{4}$。證