2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)科特長(zhǎng)試卷一試（滿分120分）一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）設(shè)(a,b)為不相等的實(shí)數(shù)，二次函數(shù)(f(x)=x^2+ax+b)滿足(f(a)=f(b))，則(a+b=)________。若實(shí)數(shù)(x,y)滿足(x^3+2y=10)，(y^3+2x=14)，則(x+y=)________。已知復(fù)數(shù)數(shù)列({z_n})滿足(z_1=1+i)，(z_{n+1}=z_n+2i)（(i)為虛數(shù)單位），則(z_{2025}=)________。在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(AD=2)，線段(AD)上的動(dòng)點(diǎn)(P)與延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)(Q)滿足(AP=CQ)，則(\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{DQ})的最小值為________。在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中隨機(jī)取三條棱，它們兩兩異面的概率為________。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集(S={(x,y)||x|+|y|\leq2}\cup{(x,y)||x-1|+|y-1|\leq2})所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積為________。設(shè)(m,n)為正實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)(\theta)使得(\sin\theta+\cos\theta=m)，(\sin2\theta=n)，則(m^2+n)的取值范圍為________。對(duì)四位數(shù)(\overline{abcd})（(a,b,c,d\in{0,1,\cdots,9})，(a\neq0)），若(a+b>c+d)則稱為(P)類數(shù)，若(a+b<c+d)則稱為(Q)類數(shù)，則(P)類數(shù)總量與(Q)類數(shù)總量之差等于________。二、解答題（本大題共3小題，滿分56分）（本題滿分16分）若實(shí)數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=1)，求(a^2+2b^2+3c^2)的最小值。（本題滿分20分）設(shè)(a,b,c,d)為有理數(shù)，使得({a+b\sqrt{2},c+d\sqrt{2}}={1+\sqrt{2},3-2\sqrt{2}})，求(ac+bd)的值。（本題滿分20分）設(shè)(F_1,F_2)分別為橢圓(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線(l)與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，焦點(diǎn)(F_2)到直線(l)的距離為(d)。若直線(AF_1,BF_1,AB)的斜率依次成等差數(shù)列，求(d)的取值范圍。二試（滿分180分）一、（本題滿分40分）設(shè)(x_1,x_2,\cdots,x_n)為實(shí)數(shù)，證明：可以選取(\epsilon_i\in{-1,1})（(i=1,2,\cdots,n)），使得(\left|\sum_{i=1}^n\epsilon_ix_i\right|\leq\max{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_n|})。二、（本題滿分40分）設(shè)(A_1,A_2,\cdots,A_{2025})是2025個(gè)互不相同的有限集合，滿足對(duì)任意(1\leqi<j\leq2025)，均有(|A_i\capA_j|=1)，若每個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)不超過(guò)2025，證明：存在一個(gè)元素屬于至少5個(gè)集合。三、（本題滿分50分）如圖，(\triangleABC)內(nèi)接于圓(O)，(P)為弧(BC)（不含(A)）上一點(diǎn)，點(diǎn)(D)在(AP)上，使得(BD)平分(\angleABC)。過(guò)(B,D,P)三點(diǎn)的圓與邊(AC)交于(E)，連接(BE)交圓(O)于(F)，連接(PF)，延長(zhǎng)(PD)交(BF)于(G)。證明：(GF=EF)。四、（本題滿分50分）求具有下述性質(zhì)的所有正整數(shù)(n)：對(duì)任意正整數(shù)(k)，(2^k+1)均不整除(n^k+1